幂等矩阵的性质及应用

JIU JIANG UNIVERSITY

毕业论文（设计）

题目幂等矩阵的性质及应用

英文题目Properties and Application

of Idempotent Matrix 院系理学院

专业数学与应用数学

姓名邱望华

年级 A0411

指导教师王侃民

二零零八年五月

幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。

[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合

The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.

[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,

linear combination

符号表

R 实数域

n R 实数域n 维列向量空间 n n R ⨯ 实数域上的n ×n 阶矩阵 C 复数域

n C 复数域n 维列向量空间 n n C ⨯ 复数域上的n ×n 阶矩阵 A ' 矩阵A 的转置

*A 矩阵A 的伴随

1A - 矩阵A 的逆

det()A 矩阵A 的行列式 rank()A 矩阵A 的秩

()N A 矩阵A 的核空间，即}{

()0,n N A x P Ax P =∈=是一个数域

()R A 矩阵A 的值域，即}{

(),n R A Ax x P P =∈是一个数域 dim V 线性空间V 的维数

1T - 线性变换T 的逆变换 TV T 的值域,即TV ={}T V ξξ∈

1(0)T - T 的核,即{}1(0)0,T T V ξξξ-==∈

目录

第一章预备知识 (1)

1.1幂等矩阵的概念及刻划 (1)

1.2幂等矩阵的一些简单性质 (3)

第二章相关的重要结论 (7)

2.1幂等矩阵的等价条件 (7)

2.2幂等变换 (14)

2.3幂等矩阵线性组合的幂等性 (17)

2.4幂等矩阵线性组合的可逆性 (23)

2.5幂等矩阵的秩方面的有关性质 (26)

结束语 (29)

参考文献 (30)

第一章 预备知识

1.1 幂等矩阵的概念及刻划

定义1[1].对n 阶方阵A ,若2A A =,则称A 为幂等矩阵.

为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.

命题1.若A 是幂等矩阵,则与A 相似的任意矩阵是幂等矩阵. 证明：若A 相似于B (记作~A B ),则有同阶可逆矩阵P ,使B =1p -A P [1]

,

从而

2B =1p -A P ·1p -A P =1p -2A P =1p -A P =B . ▌

命题2.若A 是对角分块矩阵，设A =12

r A A A ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

， 则A 是幂等矩阵⇔i A (1,2,,)i r = 均是幂等矩阵.

由于每个n 级复数域矩阵A 都与一个若尔当矩阵相似[1]，据命题1和命题2知， 我们只需要讨论若尔当块的幂等性.

若A 是一个2阶复数域矩阵,则A 的若尔当标准型有两种可能的形式:

第一种: 10λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭

,但它不是幂等矩阵.否则有

2

10λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭=10λ⎛⎫

⎪

λ⎝⎭

,有,212λ=λλ=.矛盾.

第二种: 00

1

2λ⎛⎫

⎪λ⎝⎭ ,由2

000

1

122λλ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪λλ⎝⎭⎝⎭

,有22

1122,λ=λλ=λ,从而有01λ=或1,20λ=或 1.于是该情况有四种可能的形式:0000⎛⎫ ⎪⎝⎭,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,0001⎛⎫ ⎪⎝⎭

(1)