二重积分基本概念

如果当各小闭区域的直径中的最大值 d 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f ( x, y) 在闭区域D上的二重积分。
记为
其中 积分域
被积函数
积分表达式
x, y 称为积分变量
面积元素
说明： 1) 在定义中，对闭区域的划分是任意的。 di 表示第 i 个小区域的直径，即为区域内任意两 点距离的最大值，
大化小
用任意曲线网分D为n个区域
1,2, , n
f (k ,k )
D
以它们为底把曲顶柱体分为n个
( k ,k)
k
小曲顶柱体
常代变
在每个 中任取一点
则 f (k ,k )
Vk f (k , k )k (k 1,2,, n)
D
近似和
n
f (k , k ) k
k 1
( k ,k)
k
求极限
二 二重积分的定义和几何意义
A(1,0)
ln( x y)d [ln( x y)]2 d
D
D
C(2,0)
x y1
例 估计下列积分之值
dxdy
I D 100 cos2 x cos2 y
解： D 的面积为 (10 2)2 200
D : x y 10
y
10
由于
1 1
1
102 100 cos2 x cos2 y 100
微积分
Calculus
第八章 二重积分
二重积分的基本概念 二重积分的计算
二重积分的基本概念
一 引例
曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:
D
底 ：xoy 面上的闭区域 D 顶：连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 Z 轴的柱面
求其体积.
解法: 类似定积分解决问题的思想: “大 化小, 常代变, 近似和, 求极限”
D
曲顶柱体的体积的相反数。 3 ) 若 z f (x, y) 在区域 D 上的值有正有负，则曲顶
柱体的体积取其二重积分的代数和。
（xoy平面上方柱体的体积取正， xoy平面下方柱体的体积取负）
四 二重积分的性质 （二重积分与定积分有类似的性质）
性质 1 当k 为常数时，
性质 2
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
定义 设 f ( x, y)在有界闭区域 D上有定义，将闭区
域 D 任意分成 n个小闭区域 1， 2 , ， n， 其中 i 表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在
每个 i 上任取一点(i ,i )，
作乘积 并作和
f (i ,i )i ，
n f (i ,i ) i ，
i1
(i 1,2,,n)，
例 比较 ln( x y)dσ 与 [ln( x y)]2 dσ 大小
D
D
其中区域D为以A(1,0) B (1,1) C (2,0)
为顶点的三角形闭区域。
B(1,1)
解： BC 的方程 x y 2
D 内 1 x y 2, 0 ln(x y) 1
所以 ln( x y) [ln( x y)]2
4) 由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数
f ( x, y) 在D上的二重积分 V f ( x, y)dσ.
D
在二重积分定义中，对区域 D的划分是任意的， 故如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来 划分D ，则除了包含边界的一些小闭区域外，其余 的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域Aak 的边长为xi 和 y j , 则 Δσk Δxi Δyj
则有 f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
推论 f (x, y)d f ( x, y) d .
D
D
即证： 证明：
由于 据性质4
性质５ 如果在D上恒有 f ( x, y) 1，s 是 D 的面积，
则
f ( x, y)d d s
D
D
高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
D
10 o 10 x
10
根据性质6 200 I 200 102 100
即 1.96 I 2
性质8 （积分区域的对称性）
1、若D关于y 轴对称，且被积函数满足
f ( x, y) f (x, y)
则 f ( x, y)d 0.
D
若D 关于y 轴对称，且被积函数满足
f (x, y) f ( x,y)
D
证: 由性质6 可知,
m
1
f
(
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x,
y)d
M
D
由多元连续函数介值定理, 至少有一点
使
f
(
,
)
1
D
f ( x, y)d
D
f ( x, y)d
f ( , )
中值定理的几何意义：
在区域 D上以曲顶 z f (x, y)为顶的曲顶柱体的
体积，等于区域 D上以某一点( ,) 的函数值f ( ,)
为高的平顶柱体的体积。
di
di
di
di
定义表达式中 d m1aixn {di } 0
则代表每一个小区域的直径均将趋向于0，小区域趋
向于一个点。
说明：
2) 若 f ( x, y)d 存在，称 f ( x, y) 在D上可积。
D
3) 若函数 f (x, y) 在有界闭区域 D上连续；或 f ( x, y) 在D上有界，且 f (x, y) 的间断点落在有限条光 滑曲线上，则 f ( x, y) 在D上可积；
则 f ( x, y)d 2 f ( x, y)d .
其中
D
D1
D1为D 在第一四象限的部分。
故在直角坐标系下，二重积分可写为
f ( x, y)dσ f ( x, y)dxdy
D
D
直角坐标系下面积元素 d
y
dσ dxdy
D
yj
k
x
O
xi
三 二重积分的几何意义
1) 若 f ( x, y) 0， f ( x, y)d 表示以区域D为底的
曲顶柱体的体积。D
2) 若 f ( x, y) 0 ， f ( x, y)d 表示以区域D为底的
性质６ 设M 、m分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的
最大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x, y)d M
D
（二重积分估值不等式）
性质7 (二重积分的中值定理)
设函数 f ( x, y) 在闭区域D上连续, 为D 的面积 ,
则至少存在一点
使
f ( x, y)d f ( , )
D
D
[ f ( x, y) g( x, y)]d
D
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
性质 3 对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
f (x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D1
D2
性质 4 若在D上 f ( x, y) g( x, y),