第七章 第一讲 无向图及有向图

握手定理(The Handshaking Theorem)
定理1 设G＝<V,E>为任意无向图，V＝{v1,v2,…,vn}，
|E|＝m，则
d (v ) 2 m
i 1 i
n
说明 任何无向图中，各顶点度数之和等于边数的两倍。
证明 G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中 各顶点度数之和时， 每条边均提供2度，当然，m条边 ，共提供2m度。
例2 判断下列各非负整数列哪些可图化的？哪些可简单图 化的？ (1) (5,5,4,4,2,1) 不可图化。
(2) (5,4,3,2,2)
可图化，不可简单图化。若它可简单图化，
设所得图为G，则(G)＝max{5,4,3,2,2}＝5，这与定理矛盾
(3) (3,3,3,1)
可图化，不可简单图化。
假设可以简单图化，设G＝<V，E>以该序列为度数列 设V＝{v1,v2,v3,v4}且 d(v1)＝d(v2)＝d(v3)＝3,d(v4)＝1， 由于d(v4)＝1，因而v4只能与v1，v2，v3之一相邻，去掉 v4后，与v4关联的边也去掉，于是剩余的v1，v2，v3组成的
ห้องสมุดไป่ตู้
问题2(哈密顿环球旅行问题，1857年): 十二面体的20个顶点代表世界上20个城市， 能否从某个城市出发在十二面体上依次经过每个 城市恰好一次最后回到出发点？
哈密顿圈（环球旅行游戏）
问题3(四色问题): 对任何一张地图进行着色，两个共同边界的 国家染不同的颜色，则只需要四种颜色就够了.
问题4(关键路径问题): 一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育 中心,小至组装一台机床,一架电视机, 都要包括 许多工序.这些工序相互约束,只有在某些工序完 成之后, 一个工序才能开始. 即它们之间存在完 成的先后次序关系,一般认为这些关系是预知的, 而且也能够预计完成每个工序所需要的时间. 这时工程领导人员迫切希望了解最少需要多 少时间才能够完成整个工程项目, 影响工程进度 的要害工序是哪几个？
完全图举例
K5
3阶有向完全图
4阶竞赛图
子图(subgraph)
定义8 设G＝<V,E>，G＝<V ,E>为两个图(同为无 向图或同为有向图)，若V V且E E，则称G 是G的子图，G为G 的母图，记作G G。 若V V或E E，则称G 为G的真子图。
1
2
第一讲 无向图及有向图
知识结构
图的定义
图的一些概念和规定
简单图和多重图
顶点的度数与握手定理 图的同构
子图与补图
引例1：哥尼斯堡七桥问题（图论应用的开始）
普雷格尔河


问：能否从某地出发，通过每桥恰好一次，走遍了七桥 后又返回到原处？ 瑞士数学家欧拉在1736年发表了一篇论文讨论这个问题， 指出这个问题无解。
简单图与多重图
不是简单图。
顶点的度数(degree)
定义4 设G＝<V,E>为一无向图，v∈V，称v作为 边的端点次数之和为v的度数，简称为度，记做 dG(v)。 在不发生混淆时，简记为d(v)。 设D＝<V，E>为有向图，v∈V， 称v作为边的始点次数之和为v的出度(out-degree) ，记做d+D(v)，简记作d+(v)。 称v作为边的终点次数之和为v的入度(in-degree) ，记做 d -D(v)，简记作d-(v)。 称d+(v)+d-(v)为v的度数，记做d(v)。
设G＝<V,E>为一个n阶无向图，V＝{v1,v2,…,vn}，称 d(v1)，d(v2)，…，d(vn)为G的度数列。
对于顶点标定的无向图，它的度数列是唯一的。
类似地，设D＝<V,E>为一个n阶有向图，V＝ {v1,v2,…,vn}，称d(v1)，d(v2)，…，d(vn)为D的度数列 ，另外称d+(v1)，d+(v2)，…，d+(vn)与d-(v1)，d-(v2)， …，d-(vn)分别为D的出度列和入度列。
图的度数应该是2、3、3，此时因为最大度为3，不满足
≤n-1=2的要求，因此这三个点构成的图必定有平行边或 者环，不是简单图，此时若加入v4及与v4关联的边构成的 图必定也不是简单图。 即有(3)中序列也不可简单图化。
(5) (4,4,3,3,2,2)
可简单图化。下图中两个6阶无向简单图都以(5)中 序列为度数列。
关联与关联次数、环、孤立点
设G＝<V,E>为无向图，ek＝(vi,vj)∈E，
称vi,vj为ek的端点，ek与vi或ek与vj是彼此相关联的。
若vi≠vj，则称ek与vi或ek与vj的关联次数为1。 若vi＝vj，则称ek与vi的关联次数为2，并称ek为环。 任意的vl∈V，若vl≠vi且vl≠vj，则称ek与vl的关联次数 为0。
4
欧拉：传奇的一生
年少时，听从父亲的安排，巴塞尔大学，学习神学和希伯来语 ，结果被约翰· 伯努利欣赏，17岁获得硕士学位之后，才开始 专供数学。
为获得圣彼得堡科学院的医学部的职位空缺，欧拉在巴塞尔便 全力投入生理学的研究，并出席医学报告会。1727年，等他到 达俄罗斯时，叶卡捷琳娜一世女皇去世，他进入数学部。 1733年，欧拉回到瑞士，并结婚，一生共生育13个孩子，5个 存活。 为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响 的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了。 可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了。 欧拉到底出了多少著作，直至1936年人们也没有确切的了解。 但据估计，要出版已经搜集到的欧拉著作，将需用大4开本60 5 至80卷。彼得堡学院为了整理他的著作整整花了47年。
度数列为 4,4,2,1,3。 度数列，出 度列，入度 列分别为
5,3,3,3
4,0,2,1
16
1,3,1,2
图的度数的相关概念
在无向图G中，
最大度 最小度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
在有向图D中， 最大出度 △+(D)＝max{d+(v)|v∈V(D)} 最小出度 δ+(D)＝min{d+(v)|v∈V(D)} 最大入度 △-(D)＝max{d-(v)|v∈V(D)}
设D＝<V,E>为有向图，ek＝<vi,vj>∈E，称vi,vj为ek的 端点。 若vi＝vj，则称ek为D中的环。
无论在无向图中还是在有向图中，无边关联的顶点均 称为孤立点(isolated vertices)。
相邻与邻接
设无向图G＝<V，E>，vi，vj∈V，ek，el∈E。
若et∈E，使得et＝(vi，vj)，则称vi与vj是相邻的。 若ek与el至少有一个公共端点，则称ek与el是相邻的。 ek el vi vj 设有向图D＝<V，E>，vi，vj∈V，ek，el∈E。
(2) 在图同构的意义下，图的数学定义与图形表示 b a b a 是一一对应的。
方法一：边 伸缩
d
c c 方法二：点 挪动
d
a e c
a b c ≌
d
d
e e1 e2 ≌ e2
b
×
≌
e1
完全图(complete graph)
定义6 设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点均 与其余的n-1个顶点相邻，则称G为n阶无向完 全图，简称n阶完全图，记做Kn(n≥1)。 设D为n阶有向简单图，若D中任意两个不同的 顶点之间都存在两条方向相反的边，则称D是 n阶有向完全图。 n阶无向完全图的边数为： n阶有向完全图的边数为： n(n-1)/2 n(n-1)
E={(v1,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v2,v3),
(v2,v5),(v1,v5),(v4,v5)}.
定义2 一个有向图（ directed graph ）是一个有序的 二元组<V，E>，记作D，其中
（1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。
（2）E为边集，它是笛卡儿积V×V的多重子集， 其元素称为有向边，简称边。
定义5 设G1＝<V1,E1>，G2＝<V2,E2>为两个无向图，
若存在双射函数f：V1→V2，对于vi,vj∈V1，(vi,vj)∈E1 当且仅当 (f(vi),f(vj))∈E2，
并且(vi,vj)与(f(vi),f(vj))的重数相同， 则称G1与G2是同构的(isomorphic)，记做G1≌G2。 说明 (1) 点数、边数和度数列对影响等。
例1 （2）E＝{<a,a>,<a,b>,<a,b>,
<a,d>,<c,d>,<d,c>,<c,b>}
图的一些概念和规定
G表示无向图，但有时用G泛指图(无向的或有向的)。 D只能表示有向图。 V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集。 若|V(G)|＝n，则称G为n阶图。 若|V(G)|与|E(G)|均为有限数，则称G为有限图。 若边集E(G)＝，则称G为零图，此时，又若G为n阶 图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别地，称N1为平凡 图(trivial graph)。
解： (3,3,2,1)，(3,2,2,1,1) 不可以图化
(3,3,2,2)可以图化
(3,2,2,2,1)可以图化
定理4 设G为任意n阶无向简单图，则△(G)≤n-1。
证明 因为G既无平行边也无环，
所以G中任何顶点v至多与其余的n-1个顶点均相邻，
于是d(v)≤n-1，由于v的任意性，所以△(G)≤n-1。
2 m d ( v ) d (v ) d (v )
vV
vV1 vV2
由于2m和
vV2
d (v )
，所以
vV1
d (v) 为偶数，
但因V1中顶点度数为奇数， 所以|V1|必为偶数。
若非负整数列可以对应为图的度数列，则 称之为可图化。
例：(3,3,2,1)，(3,2,2,1,1) (3,3,2,2)、 (3,2,2,2,1) 是否可图化？
在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并 且这些边的始点和终点相同(也就是它们的方向相同)， 则称这些边为平行边(parallel edges)。含平行边的图称 为多重图(multigraph)。 既不含平行边也不含环的图称为简单图(simple graph)。 例如：在图 中e5与e6是平行边，
定理2 设D＝<V,E>为任意有向图，V＝{v1,v2,…,vn}， |E|＝m，则
d (vi ) 2m, 且 d (vi ) d (vi ) m
i 1 i 1 i 1 n n n
推论
推论 任何图(无向或有向)中，奇度顶点的个数是偶数。
证明 设G＝<V，E>为任意一图，令 V1＝{v|v∈V∧d(v)为奇数} V2＝{v|v∈V∧d(v)为偶数} 则V1∪V2＝V，V1∩V2＝ ，由握手定理可知
最小入度 δ-(D)＝min{d-(v)|v∈V(D)}
称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬 挂边。度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
图的度数举例
度数列：4、4、2、1、3
△＝4，δ＝1，
v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
边：7
d(v1)＝4(注意，环提供2度)，
出：4、0、2、1 入：1、3、1、2 d+(a)＝4，d-(a)＝1 △+＝4 δ+＝0 △-＝3 δ-＝1 度数列：5、3、3、3 边数：7
二、图的概念
设A，B为任意的两个集合，{{a,b}|a∈A∧b∈B} 为A与B的无序积，记作A&B。
可将无序积中的无序对{a,b}记为(a,b)，并且允许 a＝b。无论a,b是否相等，均有(a,b)＝(b,a)，故 A&B＝B&A。 元素可以重复出现的集合称为多重集合或者多重 集。例如 多重集合{a,a,b,b,b,c,d}, {(a,a),(b,b),(b,b)}.
若et∈E，使得et＝<vi，vj>，则称vi为et的始点，vj为 et的终点，并称vi邻接到vj，vj邻接于vi。
若ek的终点为el的始点，则称ek与el相邻(adjacent)。 el ek vi vj
定义3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条 ，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。
定义1 一个无向图（undirected graph）是一个有序的二元 组<V，E>,记作G，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点（ vertices, nodes）。
（2）E称为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元 素称为无向边，简称边（edges）。 例1 (1) 给定无向图G＝<V,E>，其中 V＝{v1,v2,v3,v4,v5}，