初中数学 含参方程(组)和不等式
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模块一 含参方程（组）的题型 1．同解问题 2．整数解问题 3．错解问题
模块二 含参方程（组）的基本解法
1．含参方程和含参方程组
当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，这些字母系数称为参数，因此也叫做含参数的方程，简称含参方程．由至少一个含参方程组成的方程组叫做含参方程组．
2．含参一元一次方程
含参的一元一次方程总能化成ax b =的形式，方程ax b =的解根据a ，b 的取值范围分类讨论．
①当0a ≠时，方程有唯一解b
x a
=；
②当0a =，且0b =时，方程有无数个解，解是任意数； ③当0a =，且0b ≠时，方程无解．
3．含参二元一次方程组
对于方程组111
222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，需要先通过消元转化为一元方程后再对解的情况进行
讨论．
①当
11
22a b a b ≠时，方程有唯一解； ②当111222a b c
a b c ==时，方程有无数个解；
③当111222
a b c
a b c =≠时，方程无解．
模块三 含参不等式的基本解法
1．含参不等式ax b <
①当0a >，解集为b
x a <；
②当0a <，解集为b
x a
>；
③当0a =，若0b >，则解集为任意数；若0b ≤，则这个不等式无解．
（1）已知关于x 的方程1(1)12x k -=-和351
148
x k x +--=的解相同，
则k 的值为____．
（2）关于x ，y 的方程组354522x y ax by -=⎧⎨+=-⎩与234
8x y ax by +=-⎧⎨-=⎩
有相同的解，则()b a -=_____．
（1）两个方程的解分别为21x k =-和72x k =-，
由于两个方程的解相同，有1272k k -+=-，解得2k =． （2）8-．
【教师备课提示】这道题主要考查含参方程（组）的同解问题．
（1）（2014石室联中期末）关于x 的方程
3
8764
x k x +=+的解比关于x 的方程1123x x
-+=的解大3，则k 的值为____________．
（2）（西川半期）已知关于x 、y 的二元一次方程组323221y x k y x k +=+⎧⎨-=-⎩
的解满足6x y +=，
则k 的值为 ．
（1）
38764x k x +=+的解为283
8k x -=
， 1123x x -+=的解为3-，所以28308k -=，3
28
k =
． （2）解方程得：947
517k x k y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
，代入，求得：32k =．
【教师备课提示】这道题主要考查已知方程根的情况，求参数的值． 模块一 含参方程（组）的题型
（1）（树德期末）当方程组25
20x ay x y +=⎧⎨-=⎩
的解是正整数时，整数a 的值为 ．
（2）m 为正整数，已知二元一次方程组210
320
mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，则2m =_______．
（1）解方程得：104
54x a y a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，
∴41,2,5,10a +=；41,5a +=．∴3a =-或1.
（2）解方程得：103
153x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，
∴35,10m +=；35,15m +=．得2m =，24m =．
【教师备课提示】这道题主要考查含参方程（组）的整数解问题．
（1）解方程组87ax y x by +=⎧⎨-=⎩时，由于粗心，小宝看错了方程组中的a ，得到解为3
5x y =-⎧⎨=⎩
，
小茹看错了方程组中的b ，得到解为1
10x y =-⎧⎨=⎩
．求方程正确的解．
（2）已知方程组1620224ax by cx y +=-⎧⎨+=-⎩的解应为8
10x y =⎧⎨=-⎩
，小超解题时把c 抄错了，因此
得到的解为12
13
x y =⎧⎨=-⎩，则22a b c 2++的值为____________．
（1）小宝看错了a 意味着b 是正确的，即解满足方程第二式，代入得357b --=；
小茹看错了b 意味着a 是正确的，即满足方程第一式，代入得108a -+=．
解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以32x y =⎧⎨=⎩
．
（2）22234a b c ++=．
【教师备课提示】这道题主要考查含参方程（组）的错解问题．
（1）解关于x 的方程：428
ax x
-=+．
（2）当a、b满足什么条件时，方程251
x a bx
+-=-满足：①有唯一解；②有无数解；
③无解．
（1）原方程可化为(2)12
a x
-=．
当2
a≠时，方程有唯一解
12
2
x
a
=
-
；
当2
a=时，有012
=，方程无解．
（2）方程化为(2)4
b x a
+=-，
①有唯一解时，20
b
+≠，即2
b≠-．
②有无数解时，20
b
+=，40
a-=，42
a b
==-
，
∴．
③无解时，2040
b a
+=-≠
，，24
b a
=-≠
，
∴．
【教师备课提示】这道题主要考查含参方程的基本解法．
（1）（2014成外期末）已知关于x的方程(23)3125
a x bx x
++=+有无数多个解，则a=_________，b=_________．
（2）若a、b为定值，关于x的一元一次方程2
2
36
kx a x bk
+-
-=，无论k为何值时，
它的解总是1
x=，求23
a b
+的值．
（1）原方程整理为(2312)53
a b x a
+-=-，
则由题意得，
23120
530
a b
a
+-=
⎧
⎨
-=
⎩
，解得
5
3
26
9
a
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
；
（2）方程2
2
36
kx a x bk
+-
-=可化为：(41)212
k x a bk
-++=，
由该方程总有解1
x=可知，41212
k a bk
-++=，即(4)132
b k a
+=-，
又k为任意值，故
40
1320
b
a
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，解得
13
2
4
a
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，∴231
a b
+=．
【教师备课提示】这道题主要考查已知解的情况，求参数的值．
模块二含参方程（组）的基本解法