扭转切应力
扭转切应力
两类切应力
扭转切应力
弯曲切应力
扭转切应力
圆轴扭转时得应力变形特征
圆轴扭转时横截面上得切应力分析
矩形截面杆扭转切应力公式
圆轴扭转时得应力变形特征
外加力偶矩与功率与转速得关系
变形特征
横截面与纵截面都有切应力存在
——切应力互等定理
外加力偶矩与功率与转速得关系
应用此公式时要注意单位。
将圆轴表面如图划分为许多小方块,这些小方块可近似地瞧作矩形。轴受扭以后，小方块就发生变形，变成菱形。
如图就是放大后得情形.产生这样得变形就是因为在两个横截面上出现了切应力。作用在ＡB、ＣＤ面上得切应力组成一个力偶,显然它就是不能使这个微元平衡得,因此,在两个纵截面上也产生切应力。通过应变知道横截面上有切应力,再通过平衡知道纵截面上也有切应力.微元得直角改?
横截面上与纵截面上得切应力有何关系？我们取出如图微元分析,横截面上得切应力τ乘以其作用面积dyｄz，再乘以力臂ｄx，组成一个力偶；纵截面上得切应力τ’也同样组成一个力偶，这两个力偶就是大小相等,方向相反得。最后消掉公因子dxdydz,就得到τ=τ’.根据平衡得要求?
圆轴扭转时横截面上得切应力
根据变形特征与切应力互等定理,现在分析圆轴扭转时横截面上得切应力．反对称分析论证平面保持平面
由平面保持平面导出变形协调方程
由物性关系得到应力分布
切应力公式
方法与过程
反对称分析论证平面保持平面
首先用反对称关系.如图,对称圆轴两端作用一对反对称得力偶,横截面上C、D两点若不保持在原来得平面上,则从A端瞧,力偶就是顺时针方向得，这两点背离观察者而去得;若从Ｂ端瞧,力偶也就是顺时针方向得，C、Ｄ两点也背离观察者而去。显然这就是矛盾得，因此,C、D两点只能？
第一个结论
圆轴扭转时,横截面
保
持平面，平面上各点只能
在平面内转动
还可以用反对称关系作进一步分析这些平面上得点移动得规律.观察截面上得一条直径,若发生扭曲,当分别从A、B两端瞧过去时,一次呈S形，一次呈反S形,同样产生矛盾得结论.
最终结论
圆轴扭转时,横截面
保
持平面，并且只能发生刚
性转动。也就就是说,任意
直径在转动后仍然保持直
径。
由平面保持平面导出变形协调方程
根据这个关系分析两个相邻截面,从而得到变形协调方程．如图,取出一个微段,相邻两个截面在扭矩得作用下转过一个角度ｄφ,因此，直线ＡC变成AC’,BD变成ＢD’,ＡBCD这个小方块产生角应变γ(Ｒ).从里到外各同心圆表面产生得切应变就是不相同得，设到轴线任意远ρ处得切?
切应变γ与半径ρ成正比。
由物性关系得到应力分布
有了切应变得几何关系，即变形协调方程,但还没有与切应力联系起来,所以还要建立物性关系,得到应力分布。切应变与切应力在弹性范围内加载时满足线性关系,即剪切胡克定律:τ＝Gγ，G就就是切变模量。
于就是从刚才切应变分布就可以得到切应力分布。在整个横截面上,切应力表达式就就是如图所示,它与ρ成正比。由此画出得切应力分布图有两个特点：一，在横截面同一个圆轴上各点切应力相同，因为ρ就是相同得；二，沿着半径方向切应力就是线性分布得，在轴心上为零，在轴表面？
由切应力分布还不能得到切应力公式,还需要静力学方程。如上图（右）横截面上任意取一个微元,即很薄得一个圆环，这个微元上切应力都相等，作用在此微元上所有得力对轴心得力偶矩就等于扭矩，即图示静力学方程.我们已经知道τ(ρ）得分布公式,将它代入,求出扭矩。
切应力公式
于就是就能求出切应力。首先得到图示得公式,其中GIP 就是扭转刚度,IP 就是截面得极惯性矩。这个公式表示一个微段得两个横截面之间得扭转角。dφ/dx就叫做单位长度上得扭转角,或者叫扭转角得变化率．
得到得第二个公式
圆轴扭转时横截面上得最大切应力
刚才就是任意一点得切应力公式，已知横截面上最外沿那点切应力取最大值,所以最大切应力就等于扭矩除以扭转截面系数WＰ,其表达式
如图,与弯曲截面系数有相似之处。
截面得极惯性矩与扭转截面系数
截面得极惯性矩与扭转截面系数又如何求法呢？对于实心圆截面,可以用积分得方法求出如图结果；对于圆环截面，同样可求出如图结果,请思考,为何WＰ得表达式最后一项会与IＰ最后一项相同，都就是α4 ,而不就是α3 ？
对于实心圆截面
对于圆环截面
例题１
已知:如图两轴牙嵌式连接,P＝7、5kＷ，n=100r／min，最大切应力不得超过４0ＭPa,空心圆轴得内外
径之比= 0、5.
求:实心轴得直径ｄ１与空心轴得外径Ｄ2。
轴承受得扭矩就等于外加得力偶矩,可直接求解;再写出实心轴最大切应力得表达式,其中只有d１就是未知得,于就是求出d1 ;
同理求出D2 ，这样,就能求出两轴截面积之比,即重量之比.
例题２
已知：如图机构，Ｅ轴输入功率,Ｐ1＝1４kW，ｎ1=ｎ2= 1２0r/min，ｚ1=３6，。
ｚ3=12;ｄ１=70mm,d2=50ｍm,d3＝3５mm。
求:各轴横截面上得最大切应力.
先求出各轴功率与转速，结果如图．
由此算出三个扭矩.
进一步求出最大切应力。可以瞧到第二根轴上横截面得切应力最大。
以上讲得就是圆截面上得扭转切应力,现在介绍矩形截面杆扭转切应力公式。
矩形截面杆扭转切应力
变形特征
由平衡直接得到得结论
切应力分布
狭长矩形截面
变形特征
翘曲
圆轴扭转后横截面保持平面，而对于矩形杆件,横截面扭转后发生翘曲，不再保持平面.
由平衡直接得到得结论
角点切应力等于零
边缘各点切应力沿切线方向
首先来瞧由平衡可以得到什么结论:在角点取出一个微元，由于杆件表面不受力，根据切应力成对定理，角点切应力等于零;沿着切面得各个边缘得方向取微元，同样根据切应力成对定理可得,边缘各点切应力应沿切线方向。若不沿切线方向，而沿着与边界相交得某个方向，又会？
切应力分布
现在介绍矩形截面扭转时切应力得分布,可以用弹性力学得理论分析出来，也可用实验得方法,即薄膜比拟得方法解决。书中已有详细介绍，这儿仅给出三个结论:
角点切应力等于零;
边缘各点切应力沿切线方向;
最大切应力发生在长边中点。
最大切应力可由如图公式确定,短边中点切应力也有公式确定，Ｃ1＇与矩形截面得高度与宽度之比有关系。
狭长矩形截面
对于狭长得矩形截面，由于厚度δ比较小,切应力可以近似瞧作线性分布。此时C1=1／３,τmax =３Mx /hδ２，这个公式就是相当重要得。
矩形截面结论延伸
开口与闭口薄壁圆环得扭转切应力
用狭长得矩形截面来分析开口得圆环与闭口得薄壁圆环得扭转切应力有何差别.闭口得圆环可以用圆环WP 得公式来计算切应力,但就是有一个特殊情形,就就是当壁厚比较薄时,可以认为横截面上沿着厚度得切应力就是均匀得,这样就能得到一个很简单得公式,请自行导出此公式。
弹性力学柱体的扭转
第九章柱体的扭转 9.1 扭转问题的位移解法 学习思路: 本节讨论自由扭转问题的位移解法。 首先建立自由扭转的位移假设：一是刚截面假设；二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。通过上述假设，将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示，因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数Φ (x，y)。 基本未知量翘曲函数Φ (x，y)。确定后，通过基本方程，将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。 位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。因此只要选取的翘曲函数是调和函数，自然满足自由扭转问题的基本方程。 自由扭转问题的边界条件，可以分为两个部分：侧面边界条件和端面边界条件。 对于自由扭转，侧面边界不受力。根据这一条件，可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。 端面采用合力边界条件，就是端面应力的合力为扭矩T。这一边界条件，采用翘曲函数表达相当复杂。 学习要点： 1. 扭转位移假设； 2. 扭转翘曲函数满足的基本方程； 3. 扭转边界条件； 4. 扭转端面边界条件； 当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。
如果横截面翘曲变形不受限制，称为自由扭转；如果横截面翘曲变形受到限制，就是约束扭转。本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。 对于柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素，使得柱体不产生刚体位移。柱体右端面作用一力偶T，侧面不受力。 设柱体左端面形心为坐标原点，柱体轴线为z轴建立坐标系。 柱体扭转时发生变形，设坐标为z 的横截面的扭转角为α，则柱体单位长的相对扭转角为。而横截面的扭转角α = ? z。 对于柱体的自由扭转，首先考察柱体的表面变形。观察可以发现，柱体表面横向线虽然翘曲，但是各个横向线的翘曲是基本相同的，而且横向线的轮廓线形状基本不变。根据上述观察结论，对柱体部位移作以下的假设： 1．刚截面假设。柱体扭转当横截面翘曲时，它在Oxy平面上的投影形状保持不变，横截面作为整体绕z 轴转动，如图所示 。当扭转角α很小时，设OP=ρ，则P点的位移为 2．横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角?成正比，而且各个截面的翘曲相同,即w=?Φ (x，y)。 Φ(x，y)称为圣维南(Saint Venant)扭转函数，或者称为翘曲函数。
材料力学习题册答案-第3章 扭转
第三章扭转 一、是非判断题 1.圆杆受扭时，杆内各点处于纯剪切状态。（×） 2.杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在距截面形心最远处。（×） 3.薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。（×） 4.圆杆扭转变形实质上是剪切变形。（×） 5.非圆截面杆不能应用圆截面杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平截面假设”不能成立。（√） 6.材料相同的圆杆，他们的剪切强度条件和扭转强度条件中，许用应力的意义相同，数值相等。（×） 7.切应力互等定理仅适用于纯剪切情况。（×） 8.受扭杆件的扭矩，仅与杆件受到的转矩（外力偶矩）有关，而与杆件的材料及其横截面的大小、形状无关。（√） 9.受扭圆轴在横截面上和包含轴的纵向截面上均无正应力。（√） 10.受扭圆轴的最大切应力只出现在横截面上。（×） 11.受扭圆轴内最大拉应力的值和最大切应力的值相等。（√） 12.因木材沿纤维方向的抗剪能力差，故若受扭木质圆杆的轴线与木材纤维方向平行，当扭距达到某一极限值时，圆杆将沿轴线方向出现裂纹。（×）
二、选择题 1.内、外径之比为α的空心圆轴，扭转时轴内的最大切应力为τ，这时横截面上内边缘的切应力为 （ B ） A τ； B ατ； C 零； D （1- 4α）τ 2.实心圆轴扭转时，不发生屈服的极限扭矩为T ，若将其横截面面积增加一倍，则极限扭矩为（ C ） 0 B 20T 0 D 40T 3.两根受扭圆轴的直径和长度均相同，但材料C 不同，在扭矩相同的情况下，它们的最大切应力τ、τ和扭转角ψ、ψ之间的关系为（ B ） A 1τ=τ2, φ1=φ2 B 1τ=τ2, φ1≠φ2 C 1τ≠τ2, φ1=φ2 D 1τ≠τ2, φ1≠φ2 4.阶梯圆轴的最大切应力发生在（ D ） A 扭矩最大的截面； B 直径最小的截面； C 单位长度扭转角最大的截面； D 不能确定。 5.空心圆轴的外径为D ，内径为d, α=d ／D,其抗扭截面系数为 （ D ） A ()3 1 16 p D W πα= - B ()3 2 1 16 p D W πα= - C ()3 3 1 16 p D W πα= - D ()3 4 1 16 p D W πα= - 6.对于受扭的圆轴，关于如下结论： ①最大剪应力只出现在横截面上； ②在横截面上和包含杆件的纵向截面上均无正应力；
第六章 圆轴扭转练习带答案
第六章圆轴的扭转 一、填空题 1、圆轴扭转时的受力特点是：一对外力偶的作用面均_______于轴的轴线，其转向______。 2、圆轴扭转变形的特点是：轴的横截面积绕其轴线发生________。 3、在受扭转圆轴的横截面上，其扭矩的大小等于该截面一侧（左侧或右侧）轴段上所有外力偶矩的_______。 4、圆轴扭转时，横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成___________。 5、试观察圆轴的扭转变形，位于同一截面上不同点的变形大小与到圆轴轴线的距离有关，显然截面边缘上各点的变形为最_______,而圆心的变形为__________。 6、圆轴扭转时，在横截面上距圆心等距离的各点其切应力必然_________。 7、从观察受扭转圆轴横截面的大小、形状及相互之间的轴向间距不改变这一现象，可以看出轴的横截面上无____________力。 8、圆轴扭转时，横截面上切应力的大小沿半径呈______规律分布。 10、圆轴扭转时，横截面上内力系合成的结果是力偶，力偶作用于面垂直于轴线，相应的横截面上各点的切应力应垂直于_________。 11、受扭圆轴横截面内同一圆周上各点的切应力大小是_______的。 12、产生扭转变形的一实心轴和空心轴的材料相同，当二者的扭转强度一样时，它们的_________截面系数应相等。 13、横截面面积相等的实心轴和空心轴相比，虽材料相同，但_________轴的抗扭承载能力要强些。 16、直径和长度均相等的两根轴，其横截面扭矩也相等，而材料不同，因此它们的最大剪应力是________同的，扭转角是_______同的。 17、产生扭转变形的实心圆轴，若使直径增大一倍，而其他条件不改变，则扭转角将变为原来的_________。 18、两材料、重量及长度均相同的实心轴和空心轴，从利于提高抗扭刚度的角度考虑，以采用_________轴更为合理些。 二、判断题 1、只要在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反的外力偶，杆件就会发生扭转变形。（） 2、一转动圆轴，所受外力偶的方向不一定与轴的转向一致。（） 3、传递一定功率的传动轴的转速越高，其横截面上所受的扭矩也就越大。（） 4、受扭杆件横截面上扭矩的大小，不仅与杆件所受外力偶的力偶矩大小有关，而且与杆件横截面的形状、尺寸也有关。（）
拉伸、剪切、挤压、扭转许用应力
拉伸、剪切、挤压、扭转许用应力 剪应力与抗拉强度关系 我们在设计的时候常常取许用剪切应力,在不同的情况下安全系数不同,许用剪切应力就不一样...校核各种许用应力常常与许用拉应力有联系,而许用材料的屈服强度(刚度)与各种应力的关系 一拉伸 钢材的屈服强度与许用拉伸应力的关系 [σ ]= σu/n n为安全系数 a.ASME VIII-II, [σ ]=0.67σs 二剪切 许用剪应力与许用拉应力的关系 1 对于塑性材料 [τ]=0.6—0.8[σ] 2 对于脆性材料 [τ]=0.8--1.0[σ] 三挤压 许用挤压应力与许用拉应力的关系 1 对于塑性材料 [σj]=1.5—2.5[σ] 2 对于脆性材料 [σj]=0.9—1.5[σ] 注：：[σj]=(1.7—2)[σ]（部分教科书常用） 四扭转 许用扭转应力与许用拉应力的关系:
1 对于塑性材料 [σn]=0.5—0.6[σ] a.ASME VIII-II AD132-0.6Sm(Key,shear ring and pin), b.ASME VIII-II AD132-0.8Sm(Sm=0.67σs(circle round of stem ) 2 对于脆性材料 [σn]=0.8—1.0[σ] 轴的扭转变形用每米长的扭转角来衡量。对于一般传动可取 [υ]=0.5°--/m;对于精密传动，可取[υ]=0.25°—0.5°/M；对于要求不严格的轴，[υ]可大于1°/M计算。 五弯曲 许用弯曲应力与拉应力的关系: 1 对于薄壁型钢一般采用轴向拉伸应力的许用值. 2 对于实心型钢可以略高一点,具体数值可参见有关规范..拉应力与材料的屈服强度有关,
扭转切应力
扭转切应力 两类切应力 扭转切应力 弯曲切应力 扭转切应力 圆轴扭转时的应力变形特征 圆轴扭转时横截面上的切应力分析 矩形截面杆扭转切应力公式 圆轴扭转时的应力变形特征 外加力偶矩与功率和转速的关系 变形特征 横截面和纵截面都有切应力存在 --切应力互等定理 外加力偶矩与功率和转速的关系 应用此公式时要注意单位。 将圆轴表面如图划分为许多小方块，这些小方块可近似地看作矩形。轴受扭以后，小方块就发生变形，变成菱形。
如图是放大后的情形。产生这样的变形是因为在两个横截面上出现了切应力。作用在AB、CD面上的切应力组成一个力偶，显然它是不能使这个微元平衡的，因此，在两个纵截面上也产生切应力。通过应变知道横截面上有切应力，再通过平衡知道纵截面上也有切应力。微元的直角改? 横截面上和纵截面上的切应力有何关系？我们取出如图微元分析，横截面上的切应力τ乘以其作用面积dydz，再乘以力臂dx，组成一个力偶；纵截面上的切应力τ'也同样组成一个力偶，这两个力偶是大小相等，方向相反的。最后消掉公因子dxdydz,就得到τ=τ'。根据平衡的要求? 圆轴扭转时横截面上的切应力
根据变形特征和切应力互等定理，现在分析圆轴扭转时横截面上的切应力。 反对称分析论证平面保持平面 由平面保持平面导出变形协调方程 由物性关系得到应力分布 切应力公式 方法与过程 反对称分析论证平面保持平面 首先用反对称关系。如图，对称圆轴两端作用一对反对称的力偶，横截面上C、D两点若不保持在原来的平面上，则从A端看，力偶是顺时针方向的，这两点背离观察者而去的；若从B端看，力偶也是顺时针方向的，C、D两点也背离观察者而去。显然这是矛盾的，因此，C、D两点只能? 第一个结论
轴扭转计算
第5章扭转 5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算 5.1.1、扭转的概念 在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示 5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。 图5.1 图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。 图5.2 图示5.3，载重汽车的传动轴。 图5.3 图示5.4，挖掘机的传动轴。 图5.4 图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。 图5.5 分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。 图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。 5.1.2、外力偶矩的计算 工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为： n N m 9550= （5.1） 式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为m N ?； N-----轴传递的功率，单位为kW ； n------轴的转速，单位为r/min 。 图5.7 5.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图 5.2.1 扭矩 已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a 为受扭圆轴，设外力偶矩为e M ，求距A 端为x 的任意截面n m -上的内力。假设在n m -截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b ），由平衡条件0=∑x M ，得内力偶矩T 和外力偶矩e M 的关系 内力偶矩T 称为扭矩。 扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。 图5.8 图示5.8的b 和c ，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是m N ?或m kN ?。 5.2.2 扭矩图 为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的x 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，
材料力学作业 扭转
第四章 扭转 一、是非题 1 在单元体两个相互垂直的截面上，切应力的大小可以相等，也可以不等。 （ ） 2 扭转切应力公式P I T ρ τρ= 可以适用于任意截面形状的轴。 （ ） 3 受扭转的圆轴，最大切应力只出现在横截面上。 （ ） 4 圆轴扭转时，横截面上既有正应力，又有切应力。 （ ） 5 矩形截面杆扭转时，最大切应力发生于矩形长边的中点。 （ ） 二、选择或填空 1、．图示的圆轴，用截面法求扭矩，无论取哪一段作为研究对象，其同一截面的扭矩大小与符号（ ）。 a.完全相同 b.正好相反 c ．不能确定 2、两根圆轴，材料相同，受力相同，而直径不同，当d 1=2d 2时，则两轴的最大切应力之比 τ1/τ2和单位扭转角21/φφ 分别为 。 A 1/4，1/16 B 1/8，1/16 C 1/8，1/64 D 8，16 3．下列结论中正确的是（ ）。 A ．圆轴扭转时，横截面上有正应力，其大小与截面直径无关 B ．圆轴扭转时，截面上有正应力，也有切应力，其大小均与截面直径无关 C ．圆轴扭转时，横截面上只有切应力，其大小与到圆心的距离成正比 4．如图所示，圆轴扭转时，下列切应力分布图正确的是（ ）。 A B C D 5．实心圆轴扭转时，横截面上的最小切应力（ ）。 A ．一定为零 B.一定不为零 C ．可能为零，也可能不为零 6．空心圆轴扭转时，横截面上的最小切应力（ ）。 A.一定为零 B ．一定不为零 C ．可能为零，也可能不为零
三、计算题 1一传动轴匀速转动，转速n=200r/min，轴上装有五个 轮子。主动轮Ⅱ输入功率为60kW，从动轮Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ Ⅴ依次输出18 kW，12kW，22 kW和8 kW。试做轴的 扭矩图。 2、图示圆截面空心轴，外径D＝40mm，内径d＝20mm，扭矩T＝1kN·m。试计算ρ＝15mm 的A点处的扭转切应力τA及横截面上的最大和最小扭转切 应力。
矩形截面轴扭转切应力分析
矩形截面轴扭转切应力分析 摘要：本文在Ansys10.0 Multiphysics平台上，采用有限元法对矩形截面轴扭转切应力的分析，证明有限元法对模拟分析矩形截面轴切应力问题的有效性。1、引言 内燃机曲轴的曲柄臂，钻井用的钻轴等就是矩形截面的受扭轴。矩形截面轴的自由扭转不同于圆轴的扭转，由于轴向翘曲变形的存在，使得平截面假定不再成立，因此材料力学方法在解决该问题时遇到了很大的困难。本文是以矩形截面轴为例，简略讨论矩形截面轴和圆截面轴扭转切应力的问题，并且得到的实验解与理论解做了比较。 2、弹性力学解答 横截面为矩形的轴，在其侧面画上纵向和横向周界线如图1（a），扭转变形后横向周界线变为空间曲线如图1（b）。横截面上的切应力分布略如图2 所示。 图1 图2 边缘个点的切应力形成于边界相应的顺流。四个角点上的切应力等于零，最大切应力发生于矩形长边的中点，可按下列公式计算： 2 max T hb = а τ 式中а是一个与比值h/b有关的系数。短边的切应力 1 τ是短边上的最大切应力，并且按下列公式计算： 1max = τυτ 式中 max τ是长边重点的最大切应力。系数υ与比值h/b有关。部分h/b列于下表1： 表1 当横截面为圆形时的轴， max t T W = τ，其中， t W为抗扭截面系数。其中
3 16p t I W R ==πD 3、计算模型 问题描述 使用ANSYS 分析该过程主要包括三个步骤： 1.创建有限元模型（矩形轴）——前处理 ① 构建几何模型：矩形轴，采用h/b=1/2,长度L=200mm ，宽度h=100mm ， 高b=50mm 。 圆形轴，长度L=200mm ，半径R=40mm ② 定义材料属性：弹性模量 Ex=210MPa ；泊松比 NUxy=0.3 ③ 单元类型：Quad 4node 42 和 Brick 8node45 ④ 划分单元：矩形轴按六边形单元网格划分 2.施加载荷并求解 施加载荷：给矩形轴分别加扭矩为T=2K N ·m 、3K N ·m 、4K N ·m 3.查看分析结果，检验结果的正确性。 数值比较与计算结果： 当T 分别取2K 、3K 、4K Mpa 时，矩形截面采用h/b=2:1,则 max 2 T hb =τа 的结果分别为32.5Mpa 、 48.7Mpa 和65Mpa 使圆形截面与矩形截面面积相等，得到max t T W =τ 表2矩形轴与圆形轴的理论计算值与实验值 图3 矩形截面的变形图和应力图
扭转习题
第三章 扭转习题 一、单项选择题 1、横截面都为圆的两个杆，直径分别为d 和D ，并且d=。两杆横截面上扭矩相等两 杆横截面上的最大切应力之比maxD maxd ττ为 A 、2倍， B 、4倍， C 、8倍， D 、16倍。 二、1、扭转变形时，公式p Tl GI τ= 中的 表示单位长度的扭转角，公式中的T 表示横截面上的 ；G 表示杆材料的 弹性模量；I P 表示杆横截面对形心的 ；GI P 表示杆的抗扭 。 2、 截面为圆的杆扭转变形时，所受外力偶的作用面与杆的轴线 . 3、实心圆轴扭转时，横截面上的切应力分布是否均匀，横截面上离圆心愈远的点处切应力 ,圆心处的切应力为 ，圆周上切应力 4、两根实心圆轴的直径d 和长度L 都相同，而材料不同，在相同扭矩作用下，它们横截面上的最大切应力是否相同 ，单位长度的扭转角是否相同 。 5、剪切虎克定律的表达式 G τγ =，式中的G 表示材料的 模量，式中 的γ称为 。 6、根据切应力互等定理，单元体两互相垂直截面上在其相交处的切应力成对存在， 且 相等，而 现反。 三、 1、如图所示圆轴，一端固定。圆轴横截面的直径D=100mm ，所受的外力偶矩 M 1=6kNm, M 2=4kNm 。试求圆轴横截面上的最大扭矩和最大切应力。 答：圆轴横截面上的最大扭矩为 kNm ； 圆轴横截面上的最大切应力为 Mpa 。 2、如图所示阶梯形圆轴，一端固定。圆轴横截面的直径分别为50mm 和75mm ，所受的外力偶
矩M C =1200 Nm ，M B =1800 Nm 。 试求BC 段横截面上的扭矩和该阶梯轴的最 大切应力。 答：BC 段横截面上的扭矩为 Nm ； 该阶梯轴的最大切应力为 Mpa 。 3、如图所示圆轴，一端固定。圆轴横截面的直径d=100mm ，所受的外力偶矩M 1=7000 Nm M 2=5000 Nm 。试求圆轴横截面上的最大扭矩和最大切应力。 答：最大扭矩为 Nm 。 最大切应力为 Mpa 。 4、某传动轴为实心圆轴，轴内的最大扭矩 =1.5kN m T g ，许用切应力[]=50MPa τ，试确定该轴的横截面直径。 5、圆轴AB 传递的功率为P = ，转速n = 360r/min 。轴的AC 段为实心圆截面，CB 段为空心圆截面，如图所示。已知D= 30mm 。试计算AC 段横截面边缘处的切应力。 6、已知解放牌汽车主传动轴传递的最大扭矩T=1650N ?m ，传动轴用外径D =90mm ，壁厚t = 2.5mm 的钢管做成。材料为20钢，其许用切应力 [] =70MPa τ。校核此轴的强度。 图3.3.2 图 3.3.3 图3.3.5
扭转时横截面上的应力
第三节扭转时横截面上的应力 一、应力分布规律 为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。 取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。在轴的两端施加转向相反的力偶矩m A、m B，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点： 1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变； 2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度，原来的矩形变成平行四边形。两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度，叫做相对扭转角，见下图。观看动画，理解微元体的获得。
通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果： ★各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生； ★圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力； ★变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。 由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。 下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。 为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动d，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角，而经过半径O2D上任意点H 的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。应该注
工程力学教案-圆轴扭转
工程力学教案 【理、工科】
§4-1 扭转的概念和实例 工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。扭转有如下特点： 1. 受力特点： 在杆件两端垂直于杆轴线的平面作用一对大小相等，方向相反的外力偶--扭转力偶。其相应力分量称为扭矩。 2. 变形特点 横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。若杆件横截面上只存在扭矩这一个力分量则这种受力形式称为纯扭转。 §4-2 扭矩扭矩图 1.外力偶矩 如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率和转速n计算得到的。
如轴在m作用下匀速转动角，则力偶做功为，由功率定义 角速度(单位：弧度/秒，rad/s)与转速n(单位：转/分，r/min)的关系为。 因此功率N的单位用千瓦（KW）时有关系，即 (4-1a) 式中：-传递功率（千瓦，KW），-转速（r/min） 如果功率单位是马力(PS)，由于1KW =1000 N·m/s =1.36 PS，式（4-1a）成为 (4-1b) 式中：-传递功率（马力，PS） -转速（r/min） 2. 扭矩 求出外力偶矩后，可进而用截面法求扭转力--扭矩。如图4-4所示圆轴，由，从而可得A-A截面上扭矩T ， 称为截面A-A上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，矢量离开截面为正，指向截面为负。或矢量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。
【例4-4】传动轴如图4-5a所示，主动轮A输入功率马力，从动轮B、C、D输出功率分别为马力，马力，轴的转速为 。试画出轴的扭矩图。 【解】按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩 从受力情况看出，轴在BC，CA，AD三段的扭矩各不相等。现在用截面法，根据平衡方程计算各段的扭矩。 在BC段，以表示截面I-I上的扭矩，并任意地把的方向假设为如图4-5b所示。
实验五圆管扭转应力实验
实验五 圆管扭转应力实验 一、实验目的 1、用应变电测法测定材料的切变弹性模量G 。 2、验证切应力公式 二、实验设备与仪器 1、材料力学多功能实验台 2、静态电阻应变仪。 3、直尺和游标卡尺 三、实验原理和方法 在剪切比例极限内，切应力与切应变成正比，这就是材料的剪切胡克定律，其表达式为： γτG = （5-1） 式中，比例常数G 即为材料的切变模量。由上式得 γ τ=G （5-2） 式中的τ和γ均可由实验测定，其方法如下： 1、τ的测定：试件贴应变片处是空心圆管，横截面上的内力如图A(a )所示。试件贴片处的切应力为 ： t W T = τ （5-3） 式中，W t 为圆管的抗扭截面系数。 2、γ的测定：在圆管表面与轴线成±45°方向处各贴一枚规格相同的应变片(见图A(a ))，组成图A(b )所示的半桥接到电阻应变仪上，从应变仪上读出应变值γε(由电测原理可知应变值γε应当是45°方向线应变的2倍）即： ?=452εεr （5-4）
另一方面，圆轴表面上任一点为纯剪切应力状态(见图A(c ))。根据广义胡克定律有： []221) (145γττμτμτε==+=--=G E E o 因此： r εγ= （5-5） 把（式5-3）、（式5-4）和（式5-5）代入（式5-2），可得： γ εt W T G = 图A 实验采用等量逐级加载法：设各级扭矩增量为i T ?，应变仪读数增量为ri ε?，从每一级加载中，可求得切变模量为：ri t i W T G ε??= 同样采用端直法，材料的切变模量是以上i G 的算术平均值，即：∑==n i i G n G 1 1 四、实验步骤 1、测量并记录有关尺寸。 2、组桥接线。 3、用手稍微转动加力螺杆，检查装置和应变仪是否正常工作。 4、加载分四级进行，每级加载500N （500 N →1000 N →1500 N →2000 N )，分别记录每级载荷下的应变值。 五、实验结果处理 从三组实验数据中，选择较好的一组，按实验记录数据求出切变模量i G ，即：ri t i W T G ε??= 采用端直法，材料的切变模量为G ，即：∑==n i i G n G 11
圆轴扭转里分析
6．1 圆轴扭转的概念扭转变形Torsion 轴Shaft ——发生扭转变形的杆件。 圆轴扭转Torsional Loads on Circular Shafts 工程背景Background： 力学模型model 扭转变形的特点：
1)受力特点在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。 2)变形特点横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。 6．2 扭矩和扭矩图 首先计算作用于轴上的外力偶矩，再分析圆轴横截面的内力，然后计算轴的应力和变形，最后进行轴的强度及刚度计算。 6．2．1外力偶矩的计算 式中，M e 为外力偶矩Torque （N·mm ）； P Power 为功率（kW ）； n为转速Rotational velocity （r／min ）。 主动轮的输入功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相同； 从动轮的输出功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相反。 6．2．2圆轴扭转时的内力——扭矩torque 截面法求横截面的内力 规定扭矩的正负（右手螺旋法则）：
以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。 6．2．3扭矩图 例输入一个不变转矩Me1 ，不计摩擦，轴输出的阻力矩为Me2 ＝2Me1 ／3，Me3 ＝Me1 ／3，外力偶矩Me1 、Me2 、Me3 将轴 分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭矩。 扭矩图——用平行于杆轴线的x 坐标表示横截面的位置，用垂直于x 轴的坐标M T 表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩随截面位置变化的曲线。 6．3 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算 6．3．1圆轴扭转时横截面上的应力 ?受扭圆轴横截面上有何应力？ ?应力如何计算？
扭转时横截面上的应力复习进程
扭转时横截面上的应 力
第三节扭转时横截面上的应力 一、应力分布规律 为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。 取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。在轴的两端施加转向相反的力偶矩m A、m B，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点： 1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变； 2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度γ，原来的矩形变成平行四边形。两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度?，叫做相对扭转角，见下图。观看动画，理解微元体的获得。
通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果： ★各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生； ★圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力； ★变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。 由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。 下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。 为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动d?，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角γ，而经过半径O2D上任意点H 的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度γρ，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。应该注意，上述剪应变都是在垂直于半径的平面内的。设H点到轴线的距离为ρ，由于构件的变形通常很小，即