扭转切应力

扭转切应力
两类切应力
扭转切应力
弯曲切应力
扭转切应力
圆轴扭转时得应力变形特征
圆轴扭转时横截面上得切应力分析
矩形截面杆扭转切应力公式
圆轴扭转时得应力变形特征
外加力偶矩与功率与转速得关系
变形特征
横截面与纵截面都有切应力存在
——切应力互等定理
外加力偶矩与功率与转速得关系
应用此公式时要注意单位。

将圆轴表面如图划分为许多小方块,这些小方块可近似地瞧作矩形。

轴受扭以后，小方块就发生变形，变成菱形。

如图就是放大后得情形.产生这样得变形就是因为在两个横截面上出现了切应力。

作用在ＡB、ＣＤ面上得切应力组成一个力偶,显然它就是不能使这个微元平衡得,因此,在两个纵截面上也产生切应力。

通过应变知道横截面上有切应力,再通过平衡知道纵截面上也有切应力.微元得直角改?
横截面上与纵截面上得切应力有何关系？我们取出如图微元分析,横截面上得切应力τ乘以其作用面积dyｄz，再乘以力臂ｄx，组成一个力偶；纵截面上得切应力τ’也同样组成一个力偶，这两个力偶就是大小相等,方向相反得。

最后消掉公因子dxdydz,就得到τ=τ’.根据平衡得要求?
圆轴扭转时横截面上得切应力
根据变形特征与切应力互等定理,现在分析圆轴扭转时横截面上得切应力．反对称分析论证平面保持平面
由平面保持平面导出变形协调方程
由物性关系得到应力分布
切应力公式
方法与过程
反对称分析论证平面保持平面
首先用反对称关系.如图,对称圆轴两端作用一对反对称得力偶,横截面上C、D两点若不保持在原来得平面上,则从A端瞧,力偶就是顺时针方向得，这两点背离观察者而去得;若从Ｂ端瞧,力偶也就是顺时针方向得，C、Ｄ两点也背离观察者而去。

显然这就是矛盾得，因此,C、D两点只能？
第一个结论
圆轴扭转时,横截面
保
持平面，平面上各点只能
在平面内转动
还可以用反对称关系作进一步分析这些平面上得点移动得规律.观察截面上得一条直径,若发生扭曲,当分别从A、B两端瞧过去时,一次呈S形，一次呈反S形,同样产生矛盾得结论.
最终结论
圆轴扭转时,横截面
保
持平面，并且只能发生刚
性转动。

也就就是说,任意
直径在转动后仍然保持直
径。

由平面保持平面导出变形协调方程
根据这个关系分析两个相邻截面,从而得到变形协调方程．如图,取出一个微段,相邻两个截面在扭矩得作用下转过一个角度ｄφ,因此，直线ＡC变成AC’,BD变成ＢD’,ＡBCD这个小方块产生角应变γ(Ｒ).从里到外各同心圆表面产生得切应变就是不相同得，设到轴线任意远ρ处得切?
切应变γ与半径ρ成正比。

由物性关系得到应力分布
有了切应变得几何关系，即变形协调方程,但还没有与切应力联系起来,所以还要建立物性关系,得到应力分布。

切应变与切应力在弹性范围内加载时满足线性关系,即剪切胡克定律:τ＝Gγ，G就就是切变模量。

于就是从刚才切应变分布就可以得到切应力分布。

在整个横截面上,切应力表达式就就是如图所示,它与ρ成正比。

由此画出得切应力分布图有两个特点：一，在横截面同一个圆轴上各点切应力相同，因为ρ就是相同得；二，沿着半径方向切应力就是线性分布得，在轴心上为零，在轴表面？
由切应力分布还不能得到切应力公式,还需要静力学方程。

如上图（右）横截面上任意取一个微元,即很薄得一个圆环，这个微元上切应力都相等，作用在此微元上所有得力对轴心得力偶矩就等于扭矩，即图示静力学方程.我们已经知道τ(ρ）得分布公式,将它代入,求出扭矩。

切应力公式
于就是就能求出切应力。

首先得到图示得公式,其中GIP 就是扭转刚度,IP 就是截面得极惯性矩。

这个公式表示一个微段得两个横截面之间得扭转角。

dφ/dx就叫做单位长度上得扭转角,或者叫扭转角得变化率．
得到得第二个公式
圆轴扭转时横截面上得最大切应力
刚才就是任意一点得切应力公式，已知横截面上最外沿那点切应力取最大值,所以最大切应力就等于扭矩除以扭转截面系数WＰ,其表达式
如图,与弯曲截面系数有相似之处。

截面得极惯性矩与扭转截面系数
截面得极惯性矩与扭转截面系数又如何求法呢？对于实心圆截面,可以用积分得方法求出如图结果；对于圆环截面，同样可求出如图结果,请思考,为何WＰ得表达式最后一项会与IＰ最后一项相同，都就是α4 ,而不就是α3 ？
对于实心圆截面
对于圆环截面
例题１
已知:如图两轴牙嵌式连接,P＝7、5kＷ，n=100r／min，最大切应力不得超过４0ＭPa,空心圆轴得内外
径之比= 0、5.
求:实心轴得直径ｄ１与空心轴得外径Ｄ2。

轴承受得扭矩就等于外加得力偶矩,可直接求解;再写出实心轴最大切应力得表达式,其中只有d１就是未知得,于就是求出d1 ;
同理求出D2 ，这样,就能求出两轴截面积之比,即重量之比.
例题２
已知：如图机构，Ｅ轴输入功率,Ｐ1＝1４kW，ｎ1=ｎ2= 1２0r/min，ｚ1=３6，。

ｚ3=12;ｄ１=70mm,d2=50ｍm,d3＝3５mm。

求:各轴横截面上得最大切应力.
先求出各轴功率与转速，结果如图．
由此算出三个扭矩.
进一步求出最大切应力。

可以瞧到第二根轴上横截面得切应力最大。

以上讲得就是圆截面上得扭转切应力,现在介绍矩形截面杆扭转切应力公式。

矩形截面杆扭转切应力
变形特征
由平衡直接得到得结论
切应力分布
狭长矩形截面
变形特征
翘曲
圆轴扭转后横截面保持平面，而对于矩形杆件,横截面扭转后发生翘曲，不再保持平面.
由平衡直接得到得结论
角点切应力等于零
边缘各点切应力沿切线方向
首先来瞧由平衡可以得到什么结论:在角点取出一个微元，由于杆件表面不受力，根据切应力成对定理，角点切应力等于零;沿着切面得各个边缘得方向取微元，同样根据切应力成对定理可得,边缘各点切应力应沿切线方向。

若不沿切线方向，而沿着与边界相交得某个方向，又会？
切应力分布
现在介绍矩形截面扭转时切应力得分布,可以用弹性力学得理论分析出来，也可用实验得方法,即薄膜比拟得方法解决。

书中已有详细介绍，这儿仅给出三个结论:
角点切应力等于零;
边缘各点切应力沿切线方向;
最大切应力发生在长边中点。

最大切应力可由如图公式确定,短边中点切应力也有公式确定，Ｃ1＇与矩形截面得高度与宽度之比有关系。

狭长矩形截面
对于狭长得矩形截面，由于厚度δ比较小,切应力可以近似瞧作线性分布。

此时C1=1／３,τmax =３Mx /hδ２，这个公式就是相当重要得。

矩形截面结论延伸
开口与闭口薄壁圆环得扭转切应力
用狭长得矩形截面来分析开口得圆环与闭口得薄壁圆环得扭转切应力有何差别.闭口得圆环可以用圆环WP 得公式来计算切应力,但就是有一个特殊情形,就就是当壁厚比较薄时,可以认为横截面上沿着厚度得切应力就是均匀得,这样就能得到一个很简单得公式,请自行导出此公式。