第一讲 内力及内力图的绘制

弯矩图为上凸的抛物线
。
F
（五）梁上有集中力用
，
剪力图在集中力作用处有突变，突变 F 值为集中力 ； 弯矩图有拐点 。
（六）梁上有集中力偶作用 剪力图无变化；
，
弯矩图集中力偶作用处有突变，突变 值为集中力偶 。 M
o
（七）梁上最大弯矩可能的位置 1、集中力作用处； 2、集中力偶作用处； 3、分布载荷作用的段内剪力等于零处， 如果没有剪力等于零的点，则该段内无极 值。
1 2 qa 8
B
5 FA＝ qa 2
1 FB qa 2
3 qa 2
－
FA
＋
（二）建立坐标系
（三）确定控制截面
（四）绘内力图 1 qa 2 （五）剪力等于零的截面位置
x x
-qa
M
＋
O
（六）危险截面位置
FS max＝3ql / 2
－
M max＝ ql 2
qa2
典型题4
利用微分关系绘制梁的内力图。
四、内力的符号规定（变形规定）
四、内力的符号规定（变形规定）
杆件的内力分析
1、内力概念:由外力引起的构件内部的力。 2、内力的求解方法 3、内力的符号 4、内力的单位 5、内力图—绘制方法：
（1）、截面法； （2） 、微分关系法
载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系
一、三者的微分关系
dQ( x) q ( x) dx
2.1m
FS 4.2KN
＋ － -3KN
M
x － 3.8KN.m ＋ -3.8KN
（四）绘内力图
（五）剪力等于零的截面位置
（六）危险截面位置
x
1.41KN .m
－ -3KN.m
＋
FS max＝4.2 KN
M max＝3.8KN.m
-2.2KN.m
静定多跨梁的内力图
典型题5 静定多跨梁的内力图 qa
讨论题1
q
解：
（一）建立坐标系
（二）确定控制截面
l FS ＋ x
ql
（三）绘内力图 （四）危险截面位置
M ＋
ql 2 / 2
x
FS max＝ql
M max＝ql 2 / 2
讨论题2
F FAy
FS
解：（一）计算梁的支座反力
（二） 建立坐标系
C
Fb / l
＋
FBy
（三）确定控制截面
（四）绘内力图
Fa / l
x
FS ＋
O
qa/2
（五）危险截面位置 qa/2
x
qa/2
M －
FS max＝ql
M max＝ ql 2 / 2
－
qa2/2
qa2/2
典型题6
利用微分关系绘制梁的内力图。
q
qa2
B
C a
q
A
a （一）计算梁的支座反力 B FB a
D
qa2
D
C FC

MB 0 Fy 0

5 Fc qa 2 3 FB qa 2
dM ( x) Q( x) dx
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
①
②
③
载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系
q
A
FAY
B
l
FBY
剪力和弯矩的方程
FS x＝ql / 2 qx
M x＝qlx / 2 qx2 / 2
0 x l
0 x l
dQ( x) q ( x) dx
FAy
FBy
（二）弯矩的符号规定
梁下凸时弯矩为正；梁上凸时弯矩为负。
+
_
M
FS
FN
FN
M FS
FAy
FBy
三、剪力Fs 、弯矩M 的变化规律
载荷
q( x) 0 qC 0 qC 0
F
Mo
水平直线
Fs 图
+ or 上斜直线 下斜直线 斜直线
F
(剪力图 无变化)
Mo
M 图
or
下凸 抛物线
矩图、梁上的载荷图。
练习题
P128 习题4-2,4-4。 P132- P134 习题4-11,4-14,4-15 。
强化训练1
2qa
2
q
2qa
a
2a
a
强化训练2
强化训练3
强化训练4
强化训练5
强化训练6
绘弯矩图。
强化训练6
绘弯矩图。
强化训练7
图中正确的弯矩图是（ ）。
（a） 正确
（b）错误
（c） 有的正确有的错误 。
强化训练8
图中正确的弯矩图是 [ ] 。
强化训练9
已知剪力图，梁上五集中力偶作用。绘弯
A
a
FB’ B FB
q
qa2
a D
C a
5 Fc qa 2 3 FB qa 2
FS
FC
qa
＋
（二）建立坐标系
（三）确定控制面
x
O
－
（四）绘内力图
M
3qa2 /2
＋
3qa/2
x －
（五）危险截面位置
qa2
/2
FS max＝ 3qa / 2
M max＝ 3ql 2 / 2
3qa2
静定多跨梁的求解方法
1.5m
解：
B FBY
根据力矩平衡方程得
1.5m
M ＝0， M ＝0
A B
（一）计算梁的支座反力
FAy＝0.89 kN FBy＝1.11 kN
A
0.89 kN= FAY
1.5m
1kN.m
C D E F
B
（二）建立坐标系 （三）确定控制截面
1.5m
2kFra Baidu bibliotek 1.5m
FBY＝1.11 kN
FS (kN)
（六）剪力等于零的截面位置 qa
7qa / 4
M
（七）危险截面位置
81qa 2 / 32
（ +）
qa 2
x
FS max＝9qa / 4
O
M max＝81qa 2 / 32
典型题3 F=qa C
a
FS
O
利用微分关系绘制梁的内力图 （一）计算梁的支座反力 q
A
F
y
M A＝0
0
2a E F B
a/2 －
O
0.89
1.11
＋
－ x
（四）绘内力图
（五）危险截面位置
M (kN.m)
0.335
O
x －
1.67
FS max＝ 11.1KN
M max＝ 1.67 KN.m
1.335
典型题2
利用微分关系绘制梁的内力图
q
（一）计算梁的支座反力 FBy
a
qa
FAy
4a
M ＝0， M ＝0
A B
（二）分析控制面
A
（一）计算梁的支座反力 从中间铰处将梁截开
q
B C
D
a
a
a
D
q
B C
qa qa/2
FDy
FDy
FBy
FDy qa / 2 FBy 3qa / 2

MB 0 Fy 0
qa/2
D
B
q
C
FDy qa / 2
FBy 3qa / 2
FDy
FBy qa
＋ －
（二）建立坐标系 （三）确定控制面 （四）绘内力图
上凸 抛物线
Fs处有拐角
四、微分关系法绘制剪力图和弯矩图方法步骤
（一） 列静力平衡方程求梁的支座反力； （二） 利用截面法确定控制截面； （三） 梁上无分布载荷作用时剪力图和弯矩图绘制 （四） 梁上有分布载荷作用时剪力图和弯矩图绘制 （五） 梁上有集中力作用时剪力图和弯矩图绘制； （六） 梁上有集中力偶作用时剪力图和弯矩图绘制 （七） 梁上最大弯矩可能的位置。
考研是一次人生的历练，是强化所学 知识的基本概念、基本理论和基本方法的 训练，重在强化所学知识的理解和掌握， 掌握获取知识和运用知识的方法，提高获 取知识和运用知识的能力、分析问题和解 决问题的能力。 复习考研如古人曰：故立志者，以学 为心也；以学者，立志为事也。复习考研 是意志的磨练、汗水的浇灌、知识的升华、 能力的提高。
考研交流
主要内容
一、内容: 共六次； 二、方法：研讨式。
学习方法
通、深、研
第一讲 内力与内力图的绘制
考点 内力图的绘制
杆件的内力分析
一、内力的概念; 二、求内力的方法; 三、杆件的内力系 内力是连续地分布在截面各个点上的力系， 一般情况下可以向截面形心简化，简化结果 合成为三个内力主矢Fx 、 Fy 、 Fz和三个 内力主矩T 、 My 、 Mz 如图所示。这些合 力和合力矩就是材料力学中所谓的内力。
M
－
x
（五）危险截面位置
Fab / l
＋
FS max＝Fb / l
x
M max＝Fab / l
讨论题3
解：
（一）计算梁的支座反力 （二）建立坐标系
FAy
FS ql / 2
FBy a/2
－ x
（三）确定控制截面
（四）绘内力图 （五）剪力等于零的截面位置。 （六）危险截面位置
FS max＝ql / 2
x
＋
ql / 2
M
ql 2 / 8
＋
M max＝ql 2 / 8
m=Pa
P
B C
讨论题4
解:
A
（一） 建立坐标系 （二） 确定控制截面
x
FS
（三） 绘内力图 （四）危险截面位置
FS max＝ P
－
-P
M
Pa
＋
x
M max＝Pa
典型题1
A FAY
1.5m
利用微分关系绘制梁的内力图
1kN.m 2kN
9 3 FAy＝ qa , FBy＝ qa 4 4
A、B两个截面、支座反力FBy右侧的截面、以及集中 力qa左侧的截面。
q
9 3 FAy＝ qa , FBy＝ qa 4 4
FAy
9 qa FS 4
（ +）
4a
FBy
a
qa
（三）建立坐标系 （四）确定控制面 （五）绘内力图
O
9a / 4
（ -）
x
qa
dM ( x) Q( x) dx
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
①
② ③
载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系
二、三者微分关系绘制剪力图和弯矩图的规律。 三、微分关系法绘制剪力图和弯矩图方法步骤。
（一） 列静力平衡方程求梁的支座反力； （二） 利用截面法确定控制截面； （三） 梁上无分布载荷作用时剪力图和弯矩图绘制 （四） 梁上有分布载荷作用时剪力图和弯矩图绘制 （五） 梁上有集中力作用时剪力图和弯矩图绘制 （六） 梁上有集中力偶作用时剪力图和弯矩图绘制 （七） 梁上最大弯矩可能的位置。
（二） 利用截面法确定控制截面 1、梁的分段点； 2、分布载荷段内Fs = 0,的点； 3、集中力作用处； 4、集中力偶作用处。
（三）梁上无分布载荷作用， 剪力图为水平直线：——— ； 弯矩图为斜直线： 剪力为正，弯矩图右上斜直线 剪力为负，弯矩图右下斜直线
＋
； 。
－
（四）梁上有向下的分布载荷作用 剪力图为右下斜直线 。
1、在中间铰处拆开， 求中间铰处的约束反力； 2、绘内力图时 看作两个独立的梁； 结论 1、中间铰只传递剪力 不传递弯矩； 2、若中间铰处没有外力偶，弯矩恒等于零
刚架内力图的画法
作刚架内力图的方法和步骤与梁相同；
但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：
弯矩图，画在各杆的受拉一侧； 不注明正、负号。 剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧 。
载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系
四、微分关系法绘制 剪力图和弯矩图 的应用
复习前述内容
一、绘制梁弯曲内力的方法 （一）、截面法 （二）、剪力方程和弯矩方程法
（三）、载荷集度、剪力和弯矩之间的关系
微分关系法
二、内力的符号规定
（一）剪力的符号规定
+
_
右下左上的外力产生正剪力；反之为负。
M
FS FN FN M FS
F=3KN q=2KN/m
M 0 6KN.m
C
1m
FAy
A
D
4m 1m
B
FBy
（一）计算梁的支座反力
M
A
0 0
FBy 3.8KN
FAy 7.2KN
M
B
F=3KN
q=2KN/m
M 0 6KN .m
FBy 3.8KN
B
FBy
C
1m
A F
Ay
4m
D
1m
FAy 7.2KN
（二）建立坐标系 （三）确定控制截面