6-5 复合函数的偏导数

y 1 − = cos ucos v ( ydx + xdy ) − sin usin v (− 2 dx + dy ) x x = ( y cos u cos v + y sin u sin v ) dx 2 x
1 + ( x cos u cos v − sin u sin v ) dy x y ∂z = y cos u cos v + 2 sin u sin v x ∂x 1 ∂z = x cos u cos v − sin u sin v x ∂y
∂z ∆z ∂f ∂u ∂f ∂v 因此 = lim = ⋅ + ⋅ ∆x → 0 ∆ x ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
ο (ρ )
同理可证： 同理可证：
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ⋅ = + ⋅ . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
III: 再推广，设 u = φ ( x , y ) 、 = ψ ( x , y )、 = w( x , y ) 再推广， v w 的偏导数， 都在点 ( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2
∂f 2′ ∂f 2′ ∂u ∂f 2′ ∂v ′′ ′′ = f 21 + xyf 22 ; = ⋅ + ⋅ ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂ 2w ′′ ′′ ′′ ′′ = f11 + xyf12 + yf 2′+ yz( f 21 + xyf 22 ) 于是 ∂x∂z
′′ ′′ ′′ = f11 + y( x + z ) f12 + xy 2 zf 22 + yf 2′.
u v w
x
y
IV:特殊地 特殊地
z = f ( u, x , y ) 其中 u = φ ( x , y )
w = y,
即 z = f [φ ( x , y ), x , y ], 令 v = x ,
∂v = 1, ∂x
∂w = 0, ∂x
∂v = 0, ∂y
∂w = 1. ∂y
区 别 类 似
∂ z ∂f ∂ u ∂ f = ⋅ + , ∂x ∂u ∂ x ∂ x
∆v = ψ ( x + ∆x , y ) − ψ ( x , y )
可微， 由于 Z = f ( u, v ) 在点 ( u, v ) 可微，有 ∂f ∂f ∆Z = ∆u + ∆ v + ο (ρ ) ∂u ∂v 其 中 ρ ＝ ( ∆u )2 + ( ∆v )2， 上 式 两 边 同 除 以 ∆x :
∂z ∂z = du + dv . ∂v ∂u
例5
解1
y yz 的全微分. 计算函数 u = x + sin + e 的全微分 2 ∂u y ∂u 1 = 1, = cos + ze yz , ∂x 2 ∂y 2
∂u yz = ye , ∂z
1 y yz yz 所求全微分 du = dx + ( cos + ze )dy + ye dz . 2 2 解2：直接求微分
z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y ), w( x , y )]在对应点 ( x , y ) 的两个
偏导数存在， 偏导数存在，且可用下列公式计算
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w , = ⋅ + ⋅ + ⋅ ; z ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x
∂z ∂ z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂ w = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
u
x
z
v
y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ⋅ = + ⋅ . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
证第一个公式: 证明 证第一个公式 给 x 以 改变 量 ∆x , 相 应 得到 u 和 v 的 改变 量 ∆u = ϕ ( x + ∆x , y ) − ϕ ( x , y )
∂z ∂f ∂u ∂f = ⋅ + . ∂y ∂ u ∂ y ∂y
中
y
z = f [ϕ ( x , y ), x , y ] 中 u y x x
z = f ( u, x , y )
例 1 设 z = e u sin v ，而u = xy ，v = x + y ，
∂z ∂z 和 . 求 ∂ x ∂y
dz ∂f du ∂f dν = ⋅ + ⋅ dt ∂u dt ∂ν dt
z
u v
t
I: 定理推广到中间变量多于两个的情况 定理推广到中间变量多于两个的情况. 中间变量多于两个的情况
z = f [φ(t),ψ (t),ϕ(t)]
u = φ (t ) v = ψ (t ) w = ϕ (t )
如
dz ∂ z du ∂ z dv ∂ z dw = + + dt ∂ u dt ∂ v dt ∂ w dt
z
dz 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt
u v w
t
II: 定理推广到中间变量是多元函数 定理推广到中间变量是多元函数 的情况：定理1(p290) 的情况：定理
z = f [φ ( x, y),ψ ( x, y)].
如果u = φ ( x , y ) 及v = ψ ( x , y )都在点( x , y ) 的偏导数， 具有对 x 和 y 的偏导数，且函数z = f ( u, v )在对应 点( u, v )具有连续偏导数，则复合函数 具有连续偏导数，
t t
= e t (cos t − sin t ) + cos t .
例 3 设 u = f ( x , y , z ), 而 y = ϕ ( x ), z = ln( x 2 + y 2 ),
f , ϕ 可微 , 求
du dx
x u
y
x
解：
du = f x + f y ⋅ dy z y x dx dx ∂z ∂ z dy + fz⋅ + f z⋅ ⋅ ∂x ∂ y dx 2x 2y ϕ′ = f x + f yϕ ′ + f z 2 + fz 2 2 2 x + y x + y
例 2 设 z = uv + sin t ，而 u = e t ， v = cos t ，
dz 求全导数 . dt
解
令w = sin t
dz ∂z du ∂z dv ∂z dw = ⋅ + ⋅ + dt ∂u dt ∂v dt ∂w dt
= ve − u sin t + cos t
t
= e cos t − e sin t + cos t
∆ Z ∂f ∆ u ∂f ∆ v ο (ρ ) = ⋅ + ⋅ + ∆ x ∂u ∆ x ∂v ∆ x ∆x ο ρ） （ 令∆x → 0，则∆u → 0, ∆v → 0，从而 →0 ρ
ο (ρ ) ρ |= lim | |⋅| | 由于 lim | ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x ρ
ο(ρ ) ∆u 2 ∆v 2 ∆u 2 ∆v 2 | ⋅ lim ( ) + ( ) = 0 ⋅ lim ( ) +( ) =0 = lim | ∆x→0 ∆x→0 ρ ∆x→0 ∆x ∆x ∆x ∆x
、 无论 z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v 、 的函数，它的全微分形式是一样的. 的函数，它的全微分形式是一样的
z = f (u , v), u = φ ( x, y ), v = ψ ( x, y )
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ dx + ⋅ + ⋅ dy ∂u ∂x ∂v ∂x ∂ u ∂y ∂v ∂y ∂z ∂u ∂u ∂z ∂v ∂v = dx + dy + dx + dy ∂u ∂x ∂y ∂v ∂x ∂y
解
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
= e u sin v ⋅ y + e u cos v ⋅ 1 = e u ( y sin v + cos v ),
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y u u = e sin v ⋅ x + e cos v ⋅ 1 = e u ( x sin v + cos v ).
2 2
∂z 2x 2x ∂z 2 . =− 2 , = ln( x − 2 y) + 2 x − 2y x − 2 y ∂y ∂x
2
例8
解
y ∂z ∂z 设z = sin ucos v、 = xy、 = , 求 及 u v x ∂x ∂y dz = cos ucos vdu − sin usin vdv
例7
求函数z = x ln( x2 − 2 y)的偏导数和全微分
dz = d[ x ln( x2 − 2 y)] 解
所以
= ln( x − 2 y)dx + x d[ln( x − 2 y)] 2 d( x − 2 y) 2 = ln( x − 2 y)dx + x 2 x − 2y 2x2 2x 2 ]dx − 2 dy , = [ln( x − 2 y) + 2 x − 2y x − 2y
= f x + f yϕ ′ + f z 2 ( x + y ϕ ′ ) 2 2 x + y
例4
设 w = f ( x + y + z , xyz ) ， f 具有二阶
∂w ∂ 2 w 连续偏导数， 连续偏导数，求 和 . ∂ x ∂ x∂ z
解 令 u = x + y + z, 记
v = xyz;
三、 高阶微分
z = f (u , v), u = φ ( x, y ), v = ψ ( x, y )
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y ∂ ∂z ∂z ∂ ∂z ∂z 2 d z = d (dz ) = [ dx + dy ]dx + [ dx + dy ]dy ∂x ∂ x ∂y ∂y ∂x ∂y
一、链式法则
定理 如果函数 u = φ (t ) 及 v = ψ (t ) 都在点 t 可导， 可导，函数z = f ( u, v )在对应点 ( u, v )具有连续偏 导数， 导数，则复合函数 z = f [φ ( t ),ψ ( t )]在对应点 t可 且其导数可用下列公式计算： 导，且其导数可用下列公式计算：
二、全微分形式不变性
∂z ∂z dz = du + dv ;当u = φ ( x , y ) 、v = ψ ( x , y ) 当 ∂u ∂v ∂z ∂z 时，有dz = dx + dy . ∂x ∂y
具有连续偏导数， 设函数 z = f ( u, v )具有连续偏导数，则有全微分
全微分形式不变形的实质： 全微分形式不变形的实质：
y du = dx + d (sin ) + d (e yz ) 2
1 y ＝dx + cos dy + + ze yz dy + ye yz dz 2 2
例6 求 数 = ( x − y)exy的 导 和 微 函 z 偏 数 全 分
dz = d[( x − y)exy ]= ( x − y)de xy + exyd( x − y) 解
z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y )]在对应点( x , y )的两个偏
导数存在， 导数存在，且可用下列公式计算
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ; = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
链式法则如图示
同理有 f 2′,
∂f f1′ = , ∂u
′′ f11 ,
′′ f 22 .
∂ f ′′ f12 = , ∂u∂v
2
∂w ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = f1′ + yzf 2′; ∂x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x
w = f ( x + y + z , xyz )
∂ ∂f1′ ∂f 2′ ∂ w ( f1′ + yzf 2′) = ; + yf 2′ + yz = ∂z ∂z ∂x∂z ∂z ∂f1′ ∂f1′ ∂u ∂f1′ ∂v ′′ ′′ ⋅ + ⋅ = f11 + xyf12 ; = ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z
= ( x − y)e ( y dx + x dy) + e (dx − dy)
xy xy
= e ( xy − y + 1)dx + e ( x − xy −1)dy ,
xy 2 xy 2
所以
∂z ∂z xy 2 = e ( xy − y + 1) , = exy ( x2 − xy −