第4章正则语言的性质

8
证法2: 设L由正则表达式r定义，对r的构造次数进行归纳证明： （1）设r的构造次数为0，即r是，或者a,则R=， {}R={}，{a} R={ a}，此时rR和r相同。 （2）设定理在r的构造次数小于k时成立，讨论r的构造次数 等于k时， 情况① 设r=r1+r2，其中r1和r2的构造次数都小于k， 由归纳假设，可以构造r1R和r2R，使得L(r1R)=L(r1)R， L(r2R)=L(r2)R， 因为L(r)=L(r1)L(r2)，所以L(r)R=L(r1)R L(r2)R， 因此r1R + r2R就是代表L(r)R的正则表达式。 情况② 设r=r1r2，其中r1和r2的构造次数都小于k， 由归纳假设，可以构造r1R和r2R，使得L(r1R)=L(r1)R， L(r2R)= L(r2)R， 由于L(r)=L(r1)L(r2)，因此L(r)R=L(r1)R L(r2)R，所以r1Rr2R就 是代表L(r)R的正则表达式。
17
例7 已知
L1＝L（a*baa*） L2＝L（ab*）
求L1／L2。 首先找到接受L1的DFA如图，
a a
Start q
0
b q
1
a q
2
b b
q
3
a,b
18
定理4.9的方法构造DFA M’=(Q, , ，q0，F’）， 由于F’={qi| qi Q且 y L2，使得 （qi，y）F} 从前图中可以看出，q1，q2 F’ 因此，接受L1／L2的自动机如下图。这个自动机接受由正 则表达式a*b+a*baa*表示的语言，将a*b+a*baa*简化成 a*ba*。因此L1／L2＝L（a*ba*）。
15
例6 设
L1=｛anbm：n1，m0｝{ba｝ L2＝｛bm：m1｝ L2中的符号串至少包含一个b。因此，先找出L1中其后缀为 bt(t1)的串，这些串在｛anbm：n1，m1｝中，将这些串 去掉形为bt( t1)的后缀, 得到 L1／L2＝｛anbm：n1，m0｝ 如果L1，L2是正则语言，L1／L2还是正则的吗？ 定理4.9 如果L1和L2是正则语言，那么L1／L2也是正则语言。 即正则语言在右商运算上是封闭的。 证明： 设M=(Q, , ，q0，F）是DFA，且L1=L(M) 构造一个DFA M’=(Q, , ，q0，F’）， 其中F’={qi| qi Q且 y L2，使得 （qi，y）F}
3
例1 设DFA M如图所示
Start
1
0
q 它接受的语言为L={w01| w{0， 1}* }，即接受所有以01结尾的0 和1组成的串， 用正则表达式的形式描述就是 L（M）=（0+1）*01
0
0 q
1
1 q2
0
1
*-L就是所有不以01结尾的由0
和1组成的串。 右图给出了*-L （M）的自动机， 它把上图中的终结状态变为非 终结状态，非终结状态变为终 结状态。
a
a
Start
b
a q
1
q
0
q
2
b b
q
3
a,b
19
正则代换(regular substitution) 设∑、Δ是两个字母表，映射
f : 2
*
被称为是从∑到Δ 的代换。如果对于a∈∑，f(a) 是Δ 上的 RL ，则称f为正则代换。
20
先将f的定义域扩展到∑*上：
f : 2
*
*
⑴ f(ε )={ε }；
9
Fra Baidu bibliotek
情况③ 设r=r1*，其中r1的构造次数小于k， 由归纳假设，可以构造r1R，使得L（r1R）= L（r1）R， 因为L（r）= L（r1）*， 对于w L（r），w=w1w2…wm，每个wi L（r1）。 wR= wmRwm-1R…w1R，其中每个wiR L（r1）R， 因此wR L（（r1 R）*）。 反之，wL（（r1 R）*），w都有w1w2…wn的形式， 其中wi L（r1）R。 因此，wR= wnRwn-1R…w1R L（r1*）=L(r), 因此（r1 R）*就是代表L（r）R的正则表达式。
13
（1）设r的构造次数为0，即r是， 或者a, 当r是或者 时，L（r）中或者只含空串，或者没有串，此时 L(h(r))=L(r)，所以L(h(r))=h(L(r))。 当r是a时，L(r)={a}，所以h(L(r))=h({a }) 另一方面，h(r)是由符号串h(a )表示的上的正则表达式，因此 L(h(r))={h(a)}， 所以L(h(r))=h(L(r))。 （2）设定理在r的构造次数小于k时成立，讨论r的构造次数等于k时， 设r=r1+r2，其中r1和r2都是构造次数都小于k的正则表达式， 由同态的定义，有h(r) =h(r1+r2)= h(r1)+ h(r2) 所以L(h(r))=L(h(r1)+ h(r2))= L(h(r1)) ∪L( h(r2)) 把h作用到一个语言上时，相当于把它单独作用到语言的每一个字符串， 因此 h(L(r))= h(L(r1) ∪L(r2))= h(L(r1)) ∪ h(L(r2)) 由归纳假设，L(h(r1))= h(L(r1))， L( h(r2))= h(L(r2)) 所以，有L(h(r))=h(L(r))。 对于r=r1r2，和r=r1*，可以类似地证明
1
0
Start q
0
0 q
1
1 q
2
0
1
4
定理4.3 如果L1和L2是正则语言，则L1∩L2是正则语言。 证明： 用构造证明的方法： 设L1＝L（M1），L2＝L（M2）， 其中DFA M1＝（Q1，，1，q0，F1）， DFA M2＝（Q2，，2，p0，F2）， 构造DFA M=（Q1Q2，，，<q0，p0>，F1 F2） ， 其中δ：（Q1Q2）Q1Q2 对 p1Q1，p2Q2，a （<p1，p2>，a）=< 1（p1，a），2（p2，a）>， 由定义可以看出，w被M接受当且仅当w同时被M1和M2接 受，因此，L1∩L2是正则的。
14
定理4.8 设 h是字母表到上的同态映射， L是字母表 上的正则语言，则h-1(L)也是字母表上正则语言。即正 则语言在逆同态运算上是封闭的。 （证明略） 定义4.3 设L1和L2是定义在同一个字母表上的语言，我 们称 L1/L2＝｛x|xy L1对于某个y L2｝ 为L1和L2的右商（right quotient）。 由定义可以看出， L1和L2的右商中的符号串可以这样求 出：先找出L1中所有其后缀属于L2的符号串，由每个这 样的符号串去掉后缀后形成的符号串都属于L1/L2。
第4章
正则语言的性质
1
一、正则语言的封闭性质
定义4.1 如果属于某一语言类的任何语言在某一特定运算下所 得的结果仍然是该类语言，则称该语言类对此运算是封闭的， 并称该语言类对此运算具有封闭性（closure property）。
给定正则语言L1和L2，它们的并集、交集、连接是否仍然是正 则语言？
定理4.1 如果L1和L2是正则语言，那么L1∪L2也是正则语言。 证明：如果L1和L2是正则的，那么一定存在正则表达式r1和r2， 使得L1＝L（r1），L2＝L（r2）。根据定义，r1+r2是表示语言 L1∪L2的正则表达式。因此，正则语言对于并运算是封闭的。
11
例4 已知＝｛0，1｝和＝{a，b，c}，定义h为 h(0)＝ab h(1)＝bcc 那么h(010)＝abbccab。L＝｛00，010｝的同态像为 语言h(L)＝｛abab，abbccab｝。
例5 已知＝｛0，1｝和＝｛a，b，c｝。同态映射 h为 h(0)＝dbcc h(1)＝bbc 如果L是正则语言，使用正则表达式 r=(0+1*)1* 表示，那么 r1=(dbcc+(bbc)*) (bbc)* 表示的语言是正则语言h(L)。
7
定理4.6 如果L是正则语言，则L的逆LR={ w| wT L}（wT 表示w的倒序）也是正则语言。 证明： 证法1（用构造自动机的方法） 假设L是正则语言， M是接受L的自动机，通过下面方法构 造一个接受LR的自动机M’： （1）M’中的弧是M中所有弧的方向反转构成； （2）M’的终结状态是M的初始状态； （3）如果M不止一个终结状态，则在M’中创建一个新的 初始状态，从该状态出发到M的所有终结状态都建立一个 转移。 修改后的NFA M’接受wT，当且仅当M接受w。因此，M’接 受LR，从而证明了逆运算的封闭性。
16
下面证明L（M’）＝L1／L2， 由L1／L2的定义，对xL1／L2，一定存在yL2， 使得xy L1，即 （q0，xy）F 因此，一定存在某个qQ，使得 （q0，x）=q 并且 （q，y）F 因此，根据构造可知qF’，并且M’接受x。 反之，对于M’接受的任意x，我们都有 （q0，x）=qF’ 根据M’的构造，一定存在一个y L2， 满足（q0，xy）F 。 因此，xy属于L1，x属于L1／L2。得到 L（M’）= L1／L2 所以，L1／L2是正则的。
⑵ f(xa)=f(x)f(a)。
*
再将f的定义域扩展到
2
f :2 2
对于L∑*
*
*
∪ f ( x) f ( L)
xL
21
例 8 设∑={0，1}，Δ ={a，b}，f(0)=a，f(1)=b*， 则 f(010)=f(0)f(1)f(0)=ab*a f({11，00})=f(11)∪f(00) =f(1)f(1)∪f(0)f(0)=b*b*+aa=b*+aa f(L(0*(0+1)1*))=L(a*(a+b*)(b*)*) =L(a*(a+b*)b*)=L(a*ab*+a*b*b*) =L(a*b*)
5
例2 设有如图下的两个DFA，M1接受所有包含0的串， M2接受所有包含1的串，
1 0, 1 0 0, 1
Start
0
Start q
1
p
a）
r
b）
s
1
按定理4.3的构造方法，构造出 的DFA M如右图所示,M接受的同 时含有0和1的串。
Start p r
1 p s
0
0
q r
1
q s
0, 1
0
6
定理4.4 如果L1和L2是正则语言，那么L1-L2也是正则语言。 证明： 根据集合差运算的定义有 L1-L2= L1∩L2’ 如果L1和L2是正则的，根据定理4.2，L2’是正则的， 再由定理4.3，L1∩L2’也是正则的。所以，正则语言在差运算 上是封闭的。 定理4.5 如果L1和L2是正则语言，那么L1L2和L1*也都是正则 语言。 证明： 如果L1和L2是正则的，那么一定存在正则表达式r1和r2，使得 L1＝L（r1），L2＝L（r2）。根据正则表达式的定义，r1r2 和r1*分别是表示语言L1L2和L1*的正则表达式。因此，正 则语言在连接和星闭包运算上都是封闭的。
12
定理4.7 如果L是字母表上的正则语言， h是到 上的同态映射，则h(L)也是上的正则语言。即正则 语言在同态运算上是封闭的。 证明： 设L是用正则表达式r表示的正则语言。 用h(r)表示把r中的每个符号a，用h(a)来代替后的 表达式。 根据正则表达式的定义，h(r)也是正则表达式。 下面证明h(r)定义的语言是h(L)， 即L(h(r))=h(L(r))。 对r的构造次数进行归纳：
10
例3 设L是由正则表达式（0+1）0*表示的语言，根据连接规则 可知 LR是（0*）R（0+1）R表示的语言，而（0*）R=0*，0或1的反 转是它自身， 即（0+1）R=（0+1），因此LR的正则表达式为0*（0+1）。 定义4.2 假设 和 是两个字母表。函数 h：* 如果对于x,y，都有h(xy)=h(x)h(y)， 则称h为到*的同态映射（homomorphism）。 对于L*， h（L）=∪{h(x)} * 称为L的同态像。 对于w*， h-1（ w）={x|h(x)=w} 称为w的同态原像。 对于L*， h-1（L）={x|h(x)L} 称为L的同态原像， 并称h-1（L）为L的逆同态。
2
定理4.2 如果L是字母表上的正则语言，则L’=*-L是正则 语言。 证明：如果L是正则的，设接受L的DFA为 M＝（Q，，，q0，F）。 下面构造DFA M’： 取M’与M的终结状态集互为补集，除了终结状态集为Q-F外， M’的其余结构都与M相同，即 M’＝(Q，，，q0，Q-F） 显然，对于M接受的串，M’将不接受，对于M’接受的串，M 将不接受。因此L（M’）=*-L 所以*-L是正则语言。