运筹学01整数规划

例2: 相互排斥的约束条件 某厂拟采用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获 利润以及托运(车运)所受限制如下表, 如采用船运, 其体积托运限制则为 45,问两种货物托运多少箱，可使获得利润为最大？
货物 甲 乙
体积 重量 每 箱 （ m3） 每 箱 （ 吨 ） 4 5 2 1 6
利润 每箱（百元） 4 3
注： 当决策变量(x1, x2 , x3)按(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1),... 方式取值时, 为了减少计算次数, 通常将目标函数中的决策变量的 顺序按其系数的大小重新排序, 以使最优解能较早出现。对最大化 问题, 按从小到大的顺序排列；对极小化问题, 则相反。 例2：求解下述0-1整数规划问题
令
xi
1 当Ai点被选用 = 0 当Ai点未被选用
i=1, …,7
max
Z
=
∑ ∑
x x x x
7
7
c b + + + =
i = 1 i
i
x x x x x 0
i
i = 1 1 4 6 i
i 2 5 7
≤ +
B x
3
≤
2
s .t
≥ 1 ≥ 1 or 1
当采用船运方式 当采用车运方式
其中
1 y = 0
一般情况下, m个约束条件中选择q个约束条件, 则可变成为: ai1x1+ai2x2+…+ainxn≤bi+yiM, i=1,2,…,m y1+y2+…+ym=m-q 其中yi是0, 1变量，且只有一个取0。 • 0-1整数规划问题的解法 整数规划问题的解法 若有n个决策变量, 则可以产生2n个可能变量的组合, 故完全枚 举是不可能的. 求解0-1整数规划问题的解法均是部分枚举法或称 为隐枚举法(Implicit enumeration) 基本思想是: 在2n个可能的变量组合中, 往往只有一部分是可行 基本思想 解. 只要发现某个变量组合不满足其中的某一约束条件时, 就不必 要检验其它的约束条件是否可行。 若发现一个可行解, 则根据它 的目标函数值可以产生一个过滤条件(Filtering constraint), 对于目 标函数值比它差的的变量组合就不必再去检验它的可行性（类似 分支定界法中的定界。实际上，隐枚举法是一种特殊的分支定界 法）。 在以后求解过程中, 每当发现比原来更好的可行解, 则依次 替代原来的过滤条件 (可减少运算次数, 较快地发现最优解)。
以例子说明上述求解方法 例1: 求解下述0-1整数规划问题
max Z = 3 x 1 − 2 x 2 + 5 x 3 x1 + 2 x 2 − x 3 ≤ 2 x + 4x + x ≤ 4 2 3 1 x1 + x 2 ≤ 3 4 x + x ≤ 6 3 2 x 1 , x 2 , x 3 = 0 or 1
(x2 ,x1 ,x4 ,x3 ) （ 0 ,0 ,0 ,0 ） (0 ,0,0 ,1 ) (0 ,0,1 ,0 ) (0 ,0,1 ,1 ) (0 ,1,0 ,0 ) (0 ,1,0 ,1 ) (0 ,1,1 ,0 ) (0 ,1,1 ,1 ) (1 ,0,0 ,0 ) (1 ,0,0 ,1 ) (1 ,0,1 ,0 ) (1 ,0,1 ,1 ) (1 ,1,0 ,0 ) (1 ,1,0 ,1 ) (1 ,1,1 ,0 ) (1 ,1,1 ,1 )
s .t
解：求解过程见下表
(x1,x2,x3) （0,0,0） (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
Z值 0 5 -2 3 3 8 1 6
约束条件
过滤条件 Z≥0 Z≥5
Z≥8
所以，最优解为（x1，x2，x3)T=(1,0,1)T, 最优值为8.
min Z = 3 x 1 + 7 x 2 − x 3 + x 4 2 x1 − x 2 + x 3 − x 4 ≥ 1 x − x + 6x + 4x ≥ 8 1 2 3 4 5 x1 + 3 x 2 + x 4 ≥ 5 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = 0 or 1
Z 值 0 -1 1 0 3 2 4 3 7 6 8 7 10 9 11 10
约束ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件
过滤条件
Z≤3
练习：求解下述整数规划问题
min Z = 10 x1 + 5 x2 + 8 x3 + 4 x4 + 2 x5 3 x1 − 2 x2 + 4 x3 − x4 + x5 ≥ 4 s.t. − 2 x1 + x2 − 4 x3 + x4 − x5 ≥ −5 x = 0 or 1 j = 1,2,L ,5 j
托 运 限 制 20
解: 设x1, x2分别表示甲乙两种货物的托运箱数, 则其整数规划数学模型为
max Z = 4 x 1 + 3 x 2
s .t
4 x 1 + 5 x 2 ≤ 20 + yM 4 x + 5 x ≤ 45 + (1 − y ) M 2 1 2 x1 + x 2 ≤ 6 x ,x ≥ 0 1 2 x 1 , x 2取整数
s .t
解：重新排序为
min Z = 7 x2 + 3x1 + x4 − x3 − x2 + 2x1 − x4 + x3 ≥ 1 − x + x + 4x + 6x ≥ 8 2 1 4 3 s.t 3x2 + 5x1 + x4 ≥ 5 x1, x2 , x3 , x4 = 0 or 1
第四节 0-1整数规划 整数规划
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问题的提出：
0-1整数规划是线性规划及整数规划的一种特殊形式。 模型结构和形式是线性规划，只是决策变量取0或1。 例1：投资场所的选定——相互排斥的计划
某公司拟在城市的东、西、南三区建立分公司，拟议中有七 个位置Ai（i=1, 2,…,7), 规定在东区A1,A2,A3个点中至多选二个; 在 西区A4,A5两点中至少选一个; 在南区A6,A7中至少选一个, 如选用Ai 点,设备投资估计为bi元, 每年可获利润估计为ci元, 但投资总额不能 超过B元, 问应选择哪几个点可年利润最大?