混凝土结构设计原理受弯构件正截面承载力计算

min max min —— 最小配筋率, 是由配有最少量钢筋(As,min)
的钢筋混凝土梁其破坏弯矩不小于同样 截面尺寸的素砼梁确定的。
As,min= min bh c35 min=0.15%
c40 min=0.2%
max —— 最大配筋率, 是适筋梁与超筋梁的界限配筋
率. 适筋梁和超筋梁的本质区别是受拉钢 筋是否屈服。钢筋初始屈服的同时, 压区 砼达到极限压应变是这两种破坏的界限。
M fy (h0 as)
或当As= 0的单筋求As:
s
1
M f cbh0 2
As
1
fcbh0
fy
取较小值。
双筋矩形截面的应力图形也可以采用分解的办法求解：
α1fc
as
As fy
as
x M
α1fcbx M1
As fy
as
as
As
As fy
M2 ＋
As1 fy
As
α1fc x
As2 fy
x
h
h
As
b
T形截面是指翼缘处于受压区的状态, 同样是T形 截面受荷方向不同, 应分别按矩形和T形考虑。
2. T形截面翼缘计算宽度bf'的取值:
T形截面bf越宽, h0越大, 抗弯内力臂越大。但 实际压区应力分布如图所示。纵向压应力沿宽度 分布不均匀。
办法：限制bf'的宽度, 使压应力分布均匀, 并取fc。
1. 截面设计：
• 由结构力学分析确定弯矩的设计值M
• 由跨高比确定截面初步尺寸
• 由受力特性及使用功能确定材性
• 由基本公式, (3-3)求x
• 验算公式的适用条件 x xb ( b)
• 由基本公式 (3-2) 求As
• As
bh0
验算
min
• 选择钢筋直径和根数, 布置钢筋
2. 截面校核：
b
(a)
(b)
x
＋ As1
h
As2 b
(c)
图中:
M = M1 + M2 As = As1 + As2 式中:
M1 = As fy(h0as) As1
M2 = M M1
s2
M2
1 fcbh02
2
As 2
双筋矩形截面梁的设计同样可以利用单筋
矩形梁的表格法(s, , s)。
截面复核: 已知：bh, fc, fy, fy, As, As 求： Mu 解：求x
• 破坏前裂缝、变形有明显的发展, 有破坏征 兆, 属延性破坏。
• 钢材和砼材料充分发挥。
• 设计允许。
3. 超筋梁：
> max
• 开裂, 裂缝多而细，钢筋应力不高, 最终由于 压区砼压碎而崩溃。
• 裂缝、变形均不太明显, 破坏具有脆性性质。
• 钢材未充分发挥作用。
• 设计不允许。
P
P
P
P
..
（1）界限相对受压区高度 b
相对受压区高度 当 < b 超筋梁破坏 当 < b 适筋梁破坏或少筋梁破坏
（2）最小配筋率 min
4.4 单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算
4.4.1 基本公式与适用条件
X 0 1 fcbx As fy
M 0
M
1
fcbx(h0
x) 2
或
M
fy As (h0
对适筋梁的试验：
(1 ~ 1)L 34
应变测点P (1 ~ 1)L
P
34
百分表 L
弯矩M图 剪力V图
可绘出跨中弯矩M/Mu~f点等曲线如图：
第一阶段 —— 截面开裂前阶段。 第二阶段 —— 从截面开裂到纵向受拉钢筋
到屈服阶段。
第三阶段 —— 破坏阶段。
对各阶段和各特征点进行详细的截面应力 — 应变分析：
α1fc
cu=0.0033
As fy
as
s=0.002
M
M
As fy
s
as
(a)
(b)
α1fc
As fy
x h0
As fy
(c)
b
As
x
As
(d)
由计算图式平衡条件可建立基本计算公式:
X 0
As
fy
As
f
y
1
fcbx
M 0
M
1 fcbx(h0
x) 2
As
f
y
(h0
as)
或:
As
fy
As
f
y
1 fcbh0
• 双筋用钢量较大, 故h0=has (50~60mm) • 利用基本公式求解:
1
fcbx
As
f
y
As
fy
M
1
fcbx(h0
x) 2
As
f
y
(h0
as )
两个方程, 三个未知数, 无法求解。 截面尺寸及材料强度已定, 先应充分发挥混凝
土的作用, 不足部分才用受压钢筋As来补充。
令x = xb = bh0
Ia
sAs
II
fyAs IIa
fyAs III
fyAs=Z IIIa
（2） 破坏特性
在弯矩作用下发生正截面受弯破坏； 在弯矩和剪力共同作用下发生斜截面受剪或 受弯破坏。
• 本章要求掌握：单筋矩形截面、双筋矩形截面、 单筋T形截面正截面承载力计算。
4.2.3 配筋率对正截面破坏性质的影响
• 配筋率
第四章
受弯构件正截面承载 力计算
4.1 概 述
受弯构件：
pp
同时受到弯矩M
lll
M
pl
和剪力V共同作用, 而
V
N可以忽略的构件。
p
• 受弯构件截面类型：梁、板
(a)
(b)
(c)
(d)
(f)
(e)
(g)
4.2 试验研究分析
4.2.1 梁的受力性能 4.2.2 梁正截面工作的三个阶段
（1）截面应力分布 •三个阶段
当2asxbh0
截面处于适筋状态, 将x代入求得
Mu
1
fcbx(h0
x) 2
Байду номын сангаас
As
f
y
(h0
as)
当 x < 2as， 截面此时As并未充分利用，求得
M u As fy (h0 as)
及按单筋求得的Mu取两者的较大值作为截面的Mu。
当x > bh0，
截面处于超筋状态, 应取x = xb, 求得：
M =α1 fcbh02 (1－0.5)
或
M = As fy h0(1－ 0.5)
令 s = (10.5)
s = 10.5 , s, s之间存在一一对应的关系, 可预先制
成表待查, 因此对于设计题：
s
1
M f cbh0 2
对于校核题：
As
1
fcbh0
fy
As fy 1 fcbh0
s (1 0.5 )
As
bh0
纵 向 受 力 钢 筋 截 面 面 积 As 与 截 面 有 效 面 积的百分比
1. 少筋梁： < min
• 一裂即断, 由砼的抗拉强度控制, 承载力很低。 • 破坏很突然, 属脆性破坏。 • 砼的抗压承载力未充分利用。 • 设计不允许。
2. 适筋梁：
min max
• 一开裂, 砼应力由裂缝截面处的钢筋承担, 荷 截继续增加, 裂缝不断加宽。受拉钢筋屈服, 压区砼压碎。
x) 2
引入相对受压区高度 也可表为:
1 fcbh0 As fy
M 1 fcbh02(1 0.5)
或
M fy Ash0 (1 0.5 )
M —— 弯矩设计值。
h0 —— 截 面 有 效 高 度 , h0 = h – as 单 排 布 筋 时 as=35mm 双排布筋时 as=60mm
要保证设计成适筋梁，则：
4.5.3 基本公式的应用
截面设计 截面复核
截面设计： 又可分As和As均未知的情况I和已知As 求As‘的情况II。
情况I: 已知, bh, fcm, fy, fy ' 求As及As'
解: • 验算是否能用单筋: Mmax= α1fc bh02b(10.5b)
当M > Mmax且其他条件不能改变时, 用双筋。
M
1
fcbh02 (1 0.5 )
As
f
y
(h0
as)
公式的适用条件：
b
2as' x
条件 b 仍是保证受拉钢筋屈服, 而2as'x 是
保证受压钢筋As'达到抗压强度设计值fy'。
f 'y的取值：
受压钢筋As的利用程度与s'有关,
当 x2as'对I, II级钢筋可以达到屈服强度, 但对于更高强度的钢材由于受砼极限压应变 的限值, fy'最多为400N/mm2。
as )
f cbh0 2
1 1 2s
x = h0
当 > b
说明As太少, 应加大截面尺寸或按As未知的 情况I分别求As及As。
当2as b
将上式求的代入求As
As
1
fcbh0
fy
As
f
y
当x < 2a's
说明As过大, 受压钢筋应力达不到fy，此时 可假定:
令： x 2as
As
(a)
P
P
P
P
...
(b)
P
P
P
P
..
(c)
• 受弯小结
进行受弯构件截面各受力工作阶段的分析, 可 以详细了解截面受力的全过程, 而且为裂缝、变形 及承载力的计算提供依据。
Ia —— 抗裂计算的依据 II —— 正常工作状态, 变形和裂缝宽度计算的依据;
IIIa —— 承载能力极限状态;
4.3 受弯构件正截面承载力的计算
以IIIa阶段作为承载力极限状态的计算依 据, 并引入基本假定：
4.3.1 基本假定
1. 截面平均应变符合平截面假定； 2. 不考虑受拉区未开裂砼的抗拉强度；
3. 设定受压区砼的 — 关系 (图3-8)； 4. 设定受拉钢筋的 — 关系 (图3-9)。
fc
0 0
砼
fy
cu
0
fy
钢筋
4.3.2 受力分析
的综合经济指标较好, 故梁、板的经济配筋率：
实心板 矩形板 T形梁
= (0.4~0.8)% = (0.6~1.5)% = (0.9~1.8)%
4.4.2 基本公式的应用
截面设计： 已知： bh, fc, fy, M 求： As= ?
截面校核：
已知： bh, fc, fy, As 求： Mu= ?
4.3.3 等效矩形应力图形
受压砼的应力图形从实际应力图 等效矩形应力图
理想应力图
xc
D
xc
Dx
D
Mu
Asfy
实际应力图
Mu
Asfy
理想应力图
Mu
Asfy
计算应力图
xc— 实际受压区高度
x — 计算受压区高度，x = 0.8xc。 令 x －相对受压区高度
h0
4.3.4 界限相对受压区高度与最小配筋率
实际应力图块
有效翼缘宽度
bf 等效应力图块
实际中和轴
bf‘的取值与梁的跨度l0, 深的净距sn, 翼缘高度hf及 受力情况有关, 《规范》规定按表4-5中的最小值取用。
Mu 1 fcbh02s
4.5 双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算
荷载效应较大, 而提高材料强度和截面尺寸受 到限制； 存在反号弯矩的作用； 由于某种原因, 已配置了一定数量的受压钢筋。
4.5.1 受压钢筋的应力
4.5.2 基本计算公式与适用条件
基本假定及破坏形态与单筋相类似, 以IIIa作为 承载力计算模式。 (如图)
又 =0.8 c
故可推出软钢和硬钢的b
软钢：
b
1
0.8 fy
0.0033 Es
硬钢：
b
1.6
0.8 fy
0.0033 Es
… 3－5 … 3－6
由相对界限受压区高度b可推出最大配筋率 max及单筋矩形截面的最大受弯承载力Mmax。
1 fcbbh0 f y As,max
max
As,max bh0
应变图
c max
应力图 M
t max
Mcr
M
y
My
M
xf D
Mu Z
sAs
I
ftk sAs
Ia
sAs
II
fyAs IIa
fyAs III
fyAs=Z IIIa
对各阶段和各特征点进行详细的截面应力 — 应变分析：
应变图
c max
应力图 M
t max
Mcr
M
y
My
M
xf D
Mu Z
sAs
I
ftk sAs
Mu
As
f
y
(h0
as)
1
fcbxb (1
xb 2
)
只有当Mu M时截面才安全。
4.6 T形截面受弯构件正截面 承载力计算
4.6.1 概述
矩形截面承载力计算时不考虑受拉区砼的贡 献，可以将此部分挖去, 以减轻自重, 提高有 效承载力。
矩形截面梁当荷载较大时可采用加受压钢筋 As‘的办法提高承载力, 同样也可以不用钢筋 而增大压区砼的办法提高承载力。
b
1
f
f
y
c
设 s= (1– 0.5)
可得 1 1 2s
故单筋矩形截面最大弯矩
Mmax 1 fcbh02b (1 0.5b )
sb1 fcbh02
sb —— 截面最大的抵抗矩系数。
故限制超筋破坏发生的条件可以是：
max b, x xb sb
M Mmax
工程实践表明, 当在适当的比例时, 梁、板
这样才能使As+As最省。
将上式代入求得:
As
M
1
fcbh02b (1
f
y
(h0
as )
0.5b )
将As代入求得As:
As
1
fcbbh0
fy
As
f
y
情况II: 已知, bh, fcm, fy, fy , M 及As', 求As：
解: 两个方程解两个未知数
由式(3-21)求x
s
M
As
1
f
y
(h0
从截面的应变分析可知:
cu
> bh0 bh0 <b
h0
s <y
y s
>y
< b —— 适筋 > b —— 超筋 = b —— 界限
由应变推出截面受压区高度与破坏形态的 关系是：
当 s>y 钢筋先屈服, 然后砼压碎 —— 适筋 当 s<y 钢筋未屈服, 砼压碎破坏 —— 超筋 当 s=y 界限破坏
•求x (或)
• 验算适用条件 •求Mu
As bh0
m in和x
xb (或
b )
• 若Mu M，则结构安全
当 < min Mu = Mcr = m ftw0
当 x > xb Mu = Mmax = α1fcbh02b(1-0.5b)
3. 计算表格的制作和使用
α1fcbh0=Asfy
由公式：