第7章 狭义相对论(参考答案)

y ' y; z ' z; x '
x u2 1 2 c
又设立方体的动质量为 m，密度为ρ，静质量为 m0，密度为ρ0，则
m 1 u2 c2 u2 c2
0
m0 x ' y ' z '
(1
xyz / 1
u2 ) c2
22.解：由相对论中的动能表达式有：Ek 由题意： 可得： 因为
利用洛伦兹变换：
x1
1 u2 1 2 c
x1 ut1
x2
1 u2 1 2 c
x2 ut2
可得：
u 1.8 108 m / s
将其代入洛伦兹变换：
t1 t2 t1 t t2 x2 x1 =4s c
t t / 1 u 2 c2 (60 7.5) / 1 42 52 112.5s
因此，在地球上测量，宇航员接收到反射信号时，飞船离地球的距离为：
4 112.5 c 90c 2.7 1010 m 5
t 1
2
20．解： （1） t

2.6 108 1 0.8
0
23、某一宇宙射线中的介子的动能 EK=7M0c ,其中 M0 是介子的静止质量。试求在 实验室中观察到它的寿命是它固有受命的多少倍？
2
参考答案 1. 相对性原理, 光速不变原理 2. -0.577×10-8 s 3.
c t
4. 0.8c 5. 0.6c 6. 270m 7. 8.89×10-8 s 8. 4.33*10-8 s 9. 0.75 c 10. 4
4 c 的速度飞离地球。 当宇航员 5
发射一无线电信号后，经地球反射，60 s 后宇航员接收到返回的信号。试问： （1） 当信号被地球反射时刻，从飞船上测量地球离飞船有多远？ （2） 当飞船接收到反射信号时，从地球上测量，飞船离地球有多远？ 20. +介子是一种不稳定的粒子，平均寿命是 2.6×10-8 s 。试问： （1）若 +介子相对于实验室以 0.8c 的速度运动，则在实验室坐标系中测量的 + 介子的寿命是多长？ （2） +介子在衰变前运动了多长距离？ 21、观察者看到一立方体沿其一条棱的方向以速度 u 运动，并且测出其质量密度 为ρ，那么这立方体静止时的质量密度应为何值？ 22、 粒子的静止质量为 m ， 当其动能等于其静止能量时， 求其质量、 速率和动量。
1. 狭义相对论的两个基本假设分别是——————————————和——————————————。 2. 在 S 系中观察到两个事件同时发生在 x 轴上，其间距离是 1m。在 S´系中观 察这两个事件之间的距离是 2m。则在 S´系中这两个事件的时间间隔是————— —————————。 3. 宇宙飞船相对于地面以速度 v 做匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员 向飞船尾部发出一个光讯号，经过 Δt （飞船上的钟）时间后，被尾部的接受 器收到，真空中光速用 c 表示，则飞船的固有长度为——————————————。 4. 一宇航员要到离地球为 5 光年的星球去旅行， 如果宇航员希望把这路程缩短 为 3 光年，真空中光速用 c 表示，则他所乘的火箭相对地球的速度应是——— ———————————。 5. 在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为 4s，若相对甲做匀速 直线运动的乙测得时间间隔为 5s，真空中光速用 c 表示，则乙相对于甲的运 动速度是———————————。 6. 一宇宙飞船相对地球以 0.8c（c 表示真空中光速）的速度飞行。一光脉冲从 船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长为 90m，地球上的观察者测得光 脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的空间间隔为——————————————。 7. 两个惯性系中的观察者 O 和 O´以 0.6c（c 为真空中光速）的相对速度互相 接近， 如果 O 测得两者的初距离是 20m , 则 O´测得两者经过时间间隔 Δt ´ = ——————————————后相遇。 8. π+介子是不稳定的粒子，在它自己的参照系中测得平均寿命是 2.6×10-8 s , 如果它相对实验室以 0.8c（c 为真空中光速）的速度运动，那么实验室坐标 系中测得的π+介子的寿命是——————————————。 9. c 表示真空中光速，电子的静能 mo c2 = 0.5 MeV，则根据相对论动力学，动 能为 1/4 Mev 的电子，其运动速度约等于——————————————。 10. α 粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的 5 倍时，其动能为静止能 量的——————————————倍 11. 在 S 系中观察到两个事件同时发生在 x 轴上，其间距是 1000 m。在 S 系中 测得两事件的发生地点相距 2 000 m。试求在 S ′系中这两事件的时间间隔。 12.在惯性系 S 中，观测到相距为∆x = 9×10 8 m 的两地点相隔∆t = 5 s 发生了两事 件。 而在相对于 S 系沿 x 轴正方向做匀速直线运动的 S 系中， 测得两事件正好发 生在同一地点。试求在 S 系中此两事件的时间间隔。 13. 一米尺静止在 S 系中，与 Ox 轴成 30°角。若在 S 系中测得该米尺与 Ox 轴成 45°角，试求： （1）S 系的速率 u； （2）在 S 系中测得米尺的长度。 14. 在惯性系 S 中，相距 5×106 m 的两地发生两事件，时间间隔为 10-2 s;而在相 对 S 系沿 x 轴正向运动的惯性系 S 中观测到这两事件是同时发生的，试求从 S 系中测量到这两事件的空间间隔是多少？
（2） 宇航员测得飞船船身通过观测站的时间间隔：
t0
l0 90 3.75 107 s 8 v 0.8 3 10
19． 解： （1）在飞船上测量，无线电信号到达地球又反射回来，一去一回光速 相等，所用时间也相等，都是 30S。所以在地球反射信号时，地球离飞船的距离 为：
c 30 9 109 m
在飞船中的观察者看来，选手用 12.5 秒时间反向跑了 2.25×109 米。 18. 解： （1） 由相对论效应，观测站测出船身的长度为：
u l l0 1 ( )2 90 1 0.82 54m c
观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔：
t
l 54 2.25 107 s 8 v 0.8 3 10
2 l 0.707l0 2 0
x
x ' v t ' 1
v2 c2 v t ' 2 x ' c t v2 1 2 c
由题意： t ' 0 可得： x ' [( x )2 (c 2 t / c )2 ]1/ 2 4 106 m 15．解：选地球为惯性系，飞船往返一次所需时间为：
2
4.3 10 8 s
（2） x u t 0.8 3 108 4.3 108 10.4m 21.解：设观察者参考系为 S 系，固定在立方体上的参考系为 S’系，在 S 系中 测的立方体的长、宽、高分别为Δx、Δy、Δz，S’系中测的立方体的长、宽、 高分别为Δx’、Δy’和Δz’，立方体沿着 x 轴运动，由洛伦兹变换得到：
15. 半人马星座 α 星是离太阳系最近的恒星，距地球为 4.3×1016 m。设有一宇宙 飞船自地球往返于半人马星座 α 星之间。若飞船的速率为 0.999c ,按地球上的时 钟计算，飞船往返一次需要多长时间？如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间 又为多少？ 16. 一艘飞船和一颗彗星相对地面分别以 0.6c 和 0.8c 的速度相向运动，在地面 上观测，再有 5s 两者就要相撞。试问： （1） 飞船上的观察者测得彗星的速率是多少？ （2） 按飞船上的时钟，在经过多长时间两者相撞？ 17. 一短跑运动员， 在地球上以 10 s 的时间跑完 100 m ,在速度为 0.6c， 平行于百 米跑道的的飞船中的观察者看来，该选手跑了多长时间和多远距离？ 18. 一飞船船身的固有长度为 90 m， 以 0.8c 的恒定速度从地面观测站上空飞过。 试问： （1） 从观测站测得飞船的船身通过观测站的时间是多少？ （2） 从飞船上测得飞船船身通过观测站的时间又是多少？ 19. 一装有无线电发射和接收装置的飞船正以 u
（2）在飞船上测量，在宇航员发射信号时，它离地球的距离为：
4 l c 30 c 30 6c 5
在飞船上测量，在宇航员发射信号时，它飞离地球的时间为：
4 6c c 7.5s 5
宇 航 员 从 发 射 到 接 收 无 线 电 信 号 ， 他 自 己 的 钟 经 过 了 t 60s 为固有时。在地球上测量，飞船飞离地球的时间共计为：
(2)
u2 0.6c t t 1 2 5 1 4s c c
2
17． 解：由洛仑兹变换得：
t ( t
v x ) c2
1 1 ( 0.6c 2 ) c
(10
0.6c 100) 12.5 s c2
x ( x v t ) 1.25 (100 0.6c 10) 2.25 109 m
11． 解：假设 S 系中长度为原长，利用长度的相对论变化公式，可得：
u c 2 1- l l0 =
2

3 2 c

代入同时性的相对性公式：
t1 = t t2

c
x1 -x2 =- 5.77×10-6 s
x2 ， x x2 x1 9 108 m ， t t2 t1 5s 12．解： 根据已知条件可知： x1
mc2 m0c2
Ek m0c2
m 1 2 c
2,
求得： 动量
u
3 c 2 m0v p mv 3m0c u2 1 2 c
23. 解：实验室参考系中介子的能量
E EK E0 7 M0c 2 M0c 2 8E0
度，v 与 u 分别表示飞船与彗星相对地面的速度，根据洛仑兹速度变换：
u x = ux - v v 1- 2 u x c
此时将已知代入上式则有：
-0.8c - 0.6c 0.8c 0.6c -0.946c -0.8c 0.8c 0.6c 1 - 2 0.6c 1 c c2
u
设介子的速度为 u，则 E Mc 2
M 0c 2 1 u2 c2

E0 1 u2 c2
可得： E / E0 8
令固有寿命为 0 ，则实验室中寿命
0
u2 1 2 c
8 0
2 4.3 1010 t 2.87 108 s 9 年 8 0.999 3 10
选飞船为惯性系，设飞船上时钟时间为 t′，根据钟慢效应得：
t
解得：
t 1 v2 c 2
t′ =1.28×107 s ＝0.4 年
16．解：(1) 建立地面参照系 S 及飞船参照系 S′，设 u′ 为彗星相对于飞船的速
13．解：x 方向上米尺长度收缩，y 方向上保持不变，可得：
x x0 1 u
2
c2
y xtg450 x0 tg 300
2 x tg 300 1 u 2 0 c x0 tg45
u2
2 2 c u 0.816c 3
l 2 y 2l0 sin 300
14． 解：由洛仑兹变换：