数学分析课件第6章微分中值定理及其应用培训教材
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f(x1)h f(x1h)f(xx 22 ) x f1 (x1) 令h0 ,因为 f(x2hh)f(x2).
h l im 0 f(x 1 ) h f(x 1 h ) f (x 1 ) f(x 1 ),
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h l im 0 f(x 2 h h ) f(x 2 ) f (x 2 ) f(x 2 ), 所以
( x 3 x 1 ) f ( x 2 ) ( x 3 x 2 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) f ( x 3 ) ,
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即 ( x 3 x 2 ) f ( x 2 ) ( x 2 x 1 ) f ( x 2 ) ( x 3 x 2 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) f ( x 3 ) ,
f(x1)f(x x 22 ) x f1 (x1)f(x2), 故f(x)递 增 .
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( i i ) ( i i i ) 对 于 任 意 x 1 , x 2 I , 不 妨 设 x 1 x 2 .
则 f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( ) ( x 2 x 1 ) x 1 x 2 . 因 为 f(x )递 增 ,所 以
段AB间的任意点C(x,y)可表示为：
B
C
( x 1 ( 1 ) x 2 ,f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ))
A
y
yf(x)
C
x2 x , (01)
x2 x1
x x 1 (1 )x 2
o x1 x x2 x
C ( x 1 ( 1 ) x 2 ,f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ))
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) .
( i i i ) ( i ) 仍 设 x 1 x 2 ， x 3 x 1 ( 1 ) x 2
(01),则
f ( x 1 ) f ( x 3 ) f ( x 3 ) ( x 1 x 3 ) , ( 6 ) f ( x 2 ) f ( x 3 ) f ( x 3 ) ( x 2 x 3 ) . ( 7 )
整理后即为 (3) 式.
（充分性）对于任意 x 1 x 3 , (0 ,1 ) .设
x 2x 1 (1 )x 3 ,
则
f(x2)f(x1)f(x3)f(x2).
x2x1
x3x2
由于必要性的证明是可逆的，从而得到
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f ( x 1 ( 1 ) x 3 ) f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 3 ) ,
f(x 0 h 1 )f(x 0 )f(x 0 h 2 )f(x 0 ).
h 1
h 2
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令 F ( h ) f( x 0 h h ) f( x 0 ) ,则 F ( h )在 ( 0 ,b x 0 ) 上 递 增 . 取 x ( a , b ) , x x 0 , 由 引 理 又 得
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) .
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证 ( i ) ( i i ) 任 取 x 1 , x 2 I 和 正 数 h , 使 x 1 x 2 , 且 x 1 h I , x 2 h I .
已 知 f是 凸 函 数 ， 由 ( 4 ) 式
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引理 f (x)为区间 I上的凸函数的充要条件是：
对I中 于的任 x1意 x2x 三 3,有 点
f(x 2)f(x 1 )f(x 3)f(x 2 )
x 2x 1 y
x 3 x 2
(3 )
f (x3) f (x1)
f (x2)
O
x1
x2
x3 x
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证（必要性）设
所以 f 为 I 上的凸函数.
同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于
I 中 的 任 意 三 点 x 1 x 2 x 3 , 有
f( x 2 ) f( x 1 ) f( x 3 ) f( x 1 ) f( x 3 ) f( x 2 ).( 4 )
x 2 x 1 y
x 3 x 1
x 3 x 2
§5 函数的凸性与拐点
y x2
y
B
OA
x
y x
y
A
O
B
x
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y
yf(x)
y yf(x)
o x1
x2 x
任意弧段位于所张弦 的下方，任意点的切 线在曲线下方
凸函数
o x1
x2 x
任意弧段位于所张弦 的上方, 任意点的切 线在曲线上方
凹函数
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设 A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))，则线
f( x x 0 0 ) x f ( x ) f( x 0 h h ) f( x 0 ),h ( 0 ,b x 0 ) . 这就证明了F(h)有下界. 所以
h l i m 0 F ( h ) h l i m 0 f ( x 0 h h ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) 存 在 .
x3 x3
x2 x1
,
于是
y
x 2x 1 (1 )x 3 .
因为 f (x)为 I 上的凸函数，所以
f ( x 2 ) f (x 1 ( 1 ) x 3 )
•
O x1
f( x 1 ) ( 1 )f( x 3 )
• •
x2 x3 x
从而有
x x3 3 x x1 2f(x1)x x3 2 x x1 1f(x3).
同 理 可 证 f ( x 0 )存 在 .
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定理 6.13 设 f 为区间 I 上的可导函数, 则下述 论断互相等价： ( i)f(x )为 I 上 的 凸 函 数 ; ( i i )f ( x ) 为 I 上 的 增 函 数 ; ( i i i ) 对 于 I 上 的 任 意 两 点 x 1 , x 2 , 有
f (x3) f (x1)
f (x2)
O x1
x2
x3 x
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例 1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么它在
(a, bБайду номын сангаас 中每一点的左、右导数存在.
定理 3.10 设 f 为定义在U(x0)上的单调有界函数,
则右极限 limf(x)存在 . xx0 证 对 于 任 意 的 x 0 （ a , b ） , 0 h 1 h 2 , 使 x 0 x 0 h 1 x 0 h 2 b , 由引理得到
h l im 0 f(x 1 ) h f(x 1 h ) f (x 1 ) f(x 1 ),
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h l im 0 f(x 2 h h ) f(x 2 ) f (x 2 ) f(x 2 ), 所以
( x 3 x 1 ) f ( x 2 ) ( x 3 x 2 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) f ( x 3 ) ,
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即 ( x 3 x 2 ) f ( x 2 ) ( x 2 x 1 ) f ( x 2 ) ( x 3 x 2 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) f ( x 3 ) ,
f(x1)f(x x 22 ) x f1 (x1)f(x2), 故f(x)递 增 .
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( i i ) ( i i i ) 对 于 任 意 x 1 , x 2 I , 不 妨 设 x 1 x 2 .
则 f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( ) ( x 2 x 1 ) x 1 x 2 . 因 为 f(x )递 增 ,所 以
段AB间的任意点C(x,y)可表示为：
B
C
( x 1 ( 1 ) x 2 ,f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ))
A
y
yf(x)
C
x2 x , (01)
x2 x1
x x 1 (1 )x 2
o x1 x x2 x
C ( x 1 ( 1 ) x 2 ,f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ))
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) .
( i i i ) ( i ) 仍 设 x 1 x 2 ， x 3 x 1 ( 1 ) x 2
(01),则
f ( x 1 ) f ( x 3 ) f ( x 3 ) ( x 1 x 3 ) , ( 6 ) f ( x 2 ) f ( x 3 ) f ( x 3 ) ( x 2 x 3 ) . ( 7 )
整理后即为 (3) 式.
（充分性）对于任意 x 1 x 3 , (0 ,1 ) .设
x 2x 1 (1 )x 3 ,
则
f(x2)f(x1)f(x3)f(x2).
x2x1
x3x2
由于必要性的证明是可逆的，从而得到
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f ( x 1 ( 1 ) x 3 ) f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 3 ) ,
f(x 0 h 1 )f(x 0 )f(x 0 h 2 )f(x 0 ).
h 1
h 2
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令 F ( h ) f( x 0 h h ) f( x 0 ) ,则 F ( h )在 ( 0 ,b x 0 ) 上 递 增 . 取 x ( a , b ) , x x 0 , 由 引 理 又 得
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) .
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证 ( i ) ( i i ) 任 取 x 1 , x 2 I 和 正 数 h , 使 x 1 x 2 , 且 x 1 h I , x 2 h I .
已 知 f是 凸 函 数 ， 由 ( 4 ) 式
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引理 f (x)为区间 I上的凸函数的充要条件是：
对I中 于的任 x1意 x2x 三 3,有 点
f(x 2)f(x 1 )f(x 3)f(x 2 )
x 2x 1 y
x 3 x 2
(3 )
f (x3) f (x1)
f (x2)
O
x1
x2
x3 x
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证（必要性）设
所以 f 为 I 上的凸函数.
同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于
I 中 的 任 意 三 点 x 1 x 2 x 3 , 有
f( x 2 ) f( x 1 ) f( x 3 ) f( x 1 ) f( x 3 ) f( x 2 ).( 4 )
x 2 x 1 y
x 3 x 1
x 3 x 2
§5 函数的凸性与拐点
y x2
y
B
OA
x
y x
y
A
O
B
x
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y
yf(x)
y yf(x)
o x1
x2 x
任意弧段位于所张弦 的下方，任意点的切 线在曲线下方
凸函数
o x1
x2 x
任意弧段位于所张弦 的上方, 任意点的切 线在曲线上方
凹函数
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设 A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))，则线
f( x x 0 0 ) x f ( x ) f( x 0 h h ) f( x 0 ),h ( 0 ,b x 0 ) . 这就证明了F(h)有下界. 所以
h l i m 0 F ( h ) h l i m 0 f ( x 0 h h ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) 存 在 .
x3 x3
x2 x1
,
于是
y
x 2x 1 (1 )x 3 .
因为 f (x)为 I 上的凸函数，所以
f ( x 2 ) f (x 1 ( 1 ) x 3 )
•
O x1
f( x 1 ) ( 1 )f( x 3 )
• •
x2 x3 x
从而有
x x3 3 x x1 2f(x1)x x3 2 x x1 1f(x3).
同 理 可 证 f ( x 0 )存 在 .
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定理 6.13 设 f 为区间 I 上的可导函数, 则下述 论断互相等价： ( i)f(x )为 I 上 的 凸 函 数 ; ( i i )f ( x ) 为 I 上 的 增 函 数 ; ( i i i ) 对 于 I 上 的 任 意 两 点 x 1 , x 2 , 有
f (x3) f (x1)
f (x2)
O x1
x2
x3 x
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例 1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么它在
(a, bБайду номын сангаас 中每一点的左、右导数存在.
定理 3.10 设 f 为定义在U(x0)上的单调有界函数,
则右极限 limf(x)存在 . xx0 证 对 于 任 意 的 x 0 （ a , b ） , 0 h 1 h 2 , 使 x 0 x 0 h 1 x 0 h 2 b , 由引理得到