复数的代数运算..

本题给出了几何图形上一些点对应的复数， → ＝－OA →， → 对应的复数为－(3＋2i)， [总结： 解析] ① AO 则AO 即 因此，借助复数加、减法的几何意义求解即可，要学会利 －3－2i. 用复数加减运算的几何意义去解题，主要包含两个方面： → ＝OA → －OC → ，所以CA → 对应的复数为(3＋2i)－(－2＋ ②CA (1)利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去
相加(减)，虚部与虚部相加(减)．
计算： (1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)．
[解析]
(1)原式＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.
(2)原式＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0.
→1及OZ →2在复平面内分别与复数 z1＝5＋3i 及复 设向量OZ
数 z2＝4＋i 对应，试计算 z1－z2，并在复平面内表示出来． [ 解析 ] z1 － z2 ＝ (5 ＋ 3i) － (4 ＋ i) ＝ (5 － 4) ＋ (3 － 1)i ＝ 1 ＋
满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上的对应点的
轨迹是
A．一条直线 C．圆 [答案] C B．两条直线 D．椭圆
(
)
[解析] 解法一：设 z＝x＋yi(x，y∈R)， 总结： 解法一是利用复数的代数形式求解，即“化 则由已知|z－i|＝|3＋4i|， 虚为实”．解法二则是利用复数的几何意义求解．关于复 得|x＋(y－1)i|＝|3＋4i|， 数模的问题，可以转化为复平面内两点间的距离解决． ∴ x2＋(y－1)2＝ 9＋16， 即 x2＋(y－1)2＝25. 故复数 z 在复平面上对应点的轨迹是以(0,1)为圆心，5 为 半径的圆． 解法二：∵|z－i|＝|3＋4i|＝ 9＋16＝5， ∴复数 z 与复数 z1＝i 两点间的距离为常数 5，根据圆的 定义知，复数 z 的轨迹是圆．故应选 C.
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[解析]
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)
＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (3)(a ＋ bi) － (2a － 3bi) － 3i ＝ (a － 2a) ＋ [b － ( － 3b) － 3]i ＝－a＋(4b－3)i. [点评] 两个复数相加(减)，将两个复数的实部与实部
2 1 2 1 2
予几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形 OACB为矩形．
[例 3]
若|z1|＝|z2|＝1，且|z1＋z2|＝ 2，求|z1－z2|.
→1和OZ →2为两邻边的平行 [ 解析] |z1 ＋z2|和 |z1 －z2|是以 OZ 总结： 复数的减法也可用向量来进行运算，同样可 四边形的两条对角线的长． 实施平行四边形法则和三角形法则． 如图所示，由 |z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2，知四边形为正 方形， ∴另一条对角线的长|z1－z2|＝ 2.
第四节 复数代数形式的 四则运算
本课主要学习复数代数形式的加减乘除运算的运用， 以动画引入新课，接着讲述复数代数形式的加减运算的公 式和应用，研究不同题型时，多种求解方式；针对问题给
出一些典例和变式通过解决实际问题，掌握运算方法。
在讲述复数代数形式的加减运算的应用时，采用例题 与变式结合的方法，通过学生自主讨论、分析 ,总结小老 师的方法, 师生互动, 讲练结合, 同学总结提出解题注意事 项,从而突出重点,突破难点。
应明确它们符合向量加 ( 减 ) 法的平行四边形法则．另外，
还可以按三角形法则进行，这样类比记忆就把复杂问题简 单化了．
1．复数加法与减法的运算法则 (1) 设 z1 ＝ a ＋ bi ， z2 ＝ c ＋ di 是任意两个复数，则 z1 ＋ z2 (a－c)＋(b－d)i (a＋c)＋(b＋d)i ＝ ，z －z ＝ .
2．复数减法的几何意义 →1，OZ →2的终点，并指向被减数 复数 z2－z1 是指连结向量OZ 的向量Z→ 1Z2所对应的复数．
3．对复数加减法几何意义的理解
它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何
图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复 数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几 何之中． 4.学习复数的加(减)法，只需把握复数的实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减)即可．对于加(减)法的几何意义，
→1 1.已知复数 z1＝x1＋y1i， z2＝x2＋y2i 及其对应的向量OZ →2＝(x2，y2)．以OZ →1和OZ →2为邻边作平行四边 ＝(x1，y1)，OZ → ＝OZ →1＋OZ →2， 形 OZ1ZZ2，如图．对角线 OZ 所表示的向量OZ →1＋OZ →2所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复 而OZ 数之和 z1＋z2 所对应的有序实数对．
1 2
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ z2＋z1 ， (z1 ＋ z2) ＋z3＝ z1＋(z2＋z3)
2．复数加减法的几何意义 如图：设复数z1，z2对应向量分别为 与z1－z2对应的向量是 .
， ，四边
，
形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是
实战演练 [例1] 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
2i. 如下图所示，Z→ 2Z1即为 z1－z2 所对应的向量．
→1， →2 根据复数减法的几何意义： 复数 z1－z2 是连结向量OZ OZ
的终点，并指向被减数的向量
所对应的复数．
[例 2] 已知复平面内的平行四边形 OABC 的三个顶点 → O，A，C 对应的复数分别为 0,3＋2i，－2＋4i，试求：①AO 对应的复数； → 对应的复数； ②CA ③B 点对应的复数．
4 i)＝5－2i. 处理．
(2)→ 对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作 → ＋AB → ＝OA → ＋OC → ，所以OB → 对应的复数为(3＋ ③OB ＝OA 为工具运用于几何之中．例如：已知复数 z1 ， z2，z1 ＋ z2 在 2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 复平面内分别对应点A，B，C，O为原点，且|z1＋z2|＝|z1－ 即 B 点对应的复数为 1＋6i. z |，判断四边形 OACB的形状．把关系式 |z ＋ z | ＝ |z － z | 给