理解切线长的概念-掌握切线长定理-并运用它

理解切线长的概念-掌握切线长定理-并运用它

第十八讲

知识要点：

1、理解切线长的概念，掌握切线长定理，并运用它解决有关问题；

2、理解弦切角的定义，掌握弦切角定理及其推论，并运用它解决有关角的问题；

3、掌握圆的相交弦定理及推论，能进行有关计算、证明，会作两条线段的比例中项；

4、掌握切割线定理及其推论，并会利用它进行有关的计算和证明；

难题解疑：

例题1：⊙O是△ABC的内切

圆，D、E、F为切点，AB=12cm，

BC=14cm，CA=18cm，求AE、

BF、CD的长；

的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

例题4：从不在⊙O上的一点A作⊙O的割线，交⊙O于B、C，且AB·AC=64，OA=10，求⊙O的半径；

例题5：小张、小李、小王三位同学解下列作图题：“已知线段a、b，求作线段x，使“ab

2 ”，

x2

他们所作的图形如下：

他们作图的方法：

A．小张正确，小李、小王都不正确B．小王正确，小张、小李都不正确

C．小张、小李都正确，小王不正确D．小张、小李、小王都正确

例题6：如图，PQ切⊙O于点

Q，PAB、PCD是⊙O的两条割线，连结AC、AD，且∠PAC=∠BAD，求证：AD

2

=

-2

AC

PA

PQ⋅

例题7：已知AD是⊙O的直径，

AB是⊙O的切线，割线BMN交

AD的延长线于C，且

BM=MN=NC，若AB=2，求（1）

BC；（2）半径r；

基础训练：

1、如图，在△ABC中，AB=18cm，BC=16cm，AC=22 cm，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，M为⊙O上一点，过点M作⊙O的切线PN分别交AB、AC于P、N，则△APN的周长是；

2、如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC、CD、DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长为；

3、如图，半圆与两直角边相切，且圆心O在直角三角形ABC的斜边AB上，若直角三角形面积为S，斜边长为c，则半圆的半径r= ；

4、已知PA切⊙O于点A，割线PBC与⊙O相交于点B、C，PA－PB=BC－PA=10cm，则PA=

cm；

5、如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，D 是CB弧的中点，过点D的切线与AC的延长线相交于点P，若PA=9，PD=6，则⊙O的半径为；

6、如图，AB是半圆O的直径，

C是半圆上一点，过点A、C

的切线相交于点P，PB交半圆

于E，若∠APC=60°，AB=2，

则BE= ；

7、如图，PA和⊙O相切于点A，割线PBC与⊙O相交于点B、C，弦AD与BC相交于点E，若PB=BE=2，AE=3，ED=4，则PA的长为（）

A ．4

B ．52

C ．62

D ．33

8、如图，在△ABC 中，∠

C=90°，点O 在AC 上，以O

为圆心，OC 为半径的⊙O 与

OA 相交于点E ，与AB 相切于点D ，若AD=3AE ，则2

tan B 的值等于（ ） A ．3

1 B ．3

2 C ．21 D ．3

3 9、如图，在△ABC 中，∠

C=90°，半圆直径MN 在AB 上，

分别切AC 、BC 于D 、E ，若

AC=6，BC=8，则AM+BN 值为（ ）

A ．7

22 B ．8 C ．14 D ．10 10、如图，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点B ，若PA=6，PB=4，则⊙O 的半径为（ ）

A ．45

B ．2

C ．2

5 D ．5

11、如图，AB 、AC 分别是⊙O

的直径和弦，D 为劣弧AC 上一

点，DE ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点，

（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？

（2）当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使2

AD=DE·DF。为什么？

12、如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC 于点D，

（1）若∠B=30°，问：AB与AP是否相等？请说明理由；

（2）求证：PD·PO=PC·PB；

（3）若BD：DC=4：1，且BC=10，求PC的长；

13、如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，弦DB∥AP，PD交⊙O于E，CE交PA于F。（1）求证：PF=AF；

（2）如果A、F、P不在同一条直线上，如图2，AF仍为⊙O的切线，PF仍平行于BD，那么上

述结论成立吗？

（3）在第（1）问中，连结AC，如果AC⊥AP，且PB=BC，其他条件不变，如图3，连结BF，设AC、BD相交于H，你能猜想四边形AHBF 是什么样的特殊四边形吗？证明你的猜想；

14、如图，以Rt△ABC的直角边

AB为直径作⊙O，与斜边AC交于

点D，过点D作⊙O的切线交BC

边于点E，

（1）求证：EB=EC=ED；

（2）若DE∥AB，连结AE，求sin∠AEO的值；

本期参考答案：1、24cm ；2、5；3、242c

S c -+；

4、20 cm ；

5、6.5；

6、774

；7、B ；8、A ；9、

A ；10、C ；11、（1）PC=PF ；（2）D 为劣弧AC 的中点；12、（1）相等；（2）2PA PO PD =⋅；（3）310；13、（1）FC FE FA ⋅=2

，△PFE ∽△CFP ；（2）成立；（3）正方形；14、（1）连结BD ，∵∠B=90°，∴CB 是⊙O 的切线，EB=ED ，∴∠EDB=∠EBD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠EDC+∠EDB=∠C+∠EBD=90°，∴∠EDC=∠C ，∴EC=ED ，∴EB=EC=ED ；（2）连结OD ，∵DE 是切线，∴DE ⊥OD ，∵DE ∥AB ，∴AB ⊥OD ，∴△DAO 是等腰直角三角形，又OE ∥CA ，∴△EOB 也是等腰直角三角形，过O 作OH ⊥AE 于H ，设BE=x ，则OE=x 2，AB=2 x ，由△AOH ∽△AEB ，

AB AH EB OH =，∴21==AB EB AH OH ，∴x OH x OH OH 55,)2(2

22==+，∴1010sin ==∠OE OH AEO ；