组合数学第六章

2015-6-27
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递推关系的建立
利用递推关系和初值在某些情况下可以求出序列的通项 表示式H(n) 。 但是对于大多数递推关系，目前还解不出H(n)的显式 来， 即使这样，对于给定的n也可以从初值开始，一步一 步地计算出H(n)的值或者范围，而H(n)一般代表了某个组 合计数问题的解，因此递推关系是组合计数的重要工具。
q n c1q n1 c2 q n2 ck q nk (n k ) ， ck ,
q 是(6.2.2)的解
因为 q 0 ，所以
q k c1q k 1 c2 q k 2
两边除以qn-k q是(6.2.3)的解
即 q 是递推关系（6.2.2）的特征根，反之亦然.
ck f (n k )(n k , ck 0)
f替换为x，n替换为k，并变为指数
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常系数线性齐次递推关系的求解
引理 6.2.1 设 q 是非零复数.则 f (n) qn 是递推关系(6.2.2)的解， 当 且仅当 q 是它的特征根. 证明 设 f (n) qn 是递推关系(6.2.2)的解，即 n
递推关系的建立

多米诺牌（可以看作是2*1大小的方格)完全覆盖一个 n*2的棋盘。覆盖的方案数？
f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥2, n为整数) f(1)=1,f(2)=2 称满足这个式子的数列就成为Fibonacci数列， 数列中的项叫做Fibonacci数.
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n f (n) b1q1n b2 q2 n bk qk
是递推关系（6.2.2）的解.
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常系数线性齐次递推关系的求解
定义 6.2.3 如果对于递推关系（6.2.2）的每个解 h( n) ，都
' 可以选择一组常数 c1' , c2 , ' ，使得 , ck ' n ck qk ' n h(n) c1' q1n c2 q2
的系数行列式为
1 q1 q1k 1 1 q2
k 1 q2
1 qk
k 1 qk

1i j k

(q j qi )
这是著名的 Vandermonde 行列式.因为 q1 , q2 , , qk 互不相等， 所以 该行列式不等于零，这也就是说方程组（6.2.4）有唯一解.
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递推关系的建立
求解递推关系的常用方法 （1）特征根法； （2）迭代归纳法； （3）生成函数法；
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递推关系的建立

例6.1.1（爬楼梯问题）一个小孩要爬上n阶楼梯，每次 可上一阶或两阶，问上n阶有多少种上法？ 解：
显然登上1阶台阶有1种方法，登上2台阶有2种方 法，f(1）=1，f(2)=2 ,称为递推关系的初始条件。 设有f(n) 种方法，要登上这n阶台阶，最后迈上一 个台阶或两个台阶完成. （1）若最后是迈上一个台阶完成的，则前面登上 了n-1阶台阶，有f(n-1) 种方法； （2）若最后是迈上两个台阶完成的，则前面登上 了n-2阶台阶，有f(n-2) 种方法，根据加法原理有 2015-6-27 6 计算机科学与技术学院 递推关系：f(n)=f(n-1)+f(n-2) .
n-1 n
1 2
n-1 n
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递推关系的建立
例 6.1.4 设 P 是平面上 n 个连通区域 D1 , D2 , , Dn 的公共交界点，如图 6.1.3 所示。现用 k 种颜色对其着色，要求有公共边界的相邻区域着以不同的颜色， 令 f (n) 表示不同的着色方案数，求它所满足的递推关系。 解：将所有满足要求的着色方案分成两类 n 4 ： （i） D1与 Dn-1同色。此时， Dn 有 k-1 种着色方案可将 D1与 Dn-2 的着色方案数 为 f (n 2) .故此类着色方案数为 (k 1) f (n 2) （ii） D1与 Dn1 异色。此时， Dn 有 k 2 种着色.又 D1， D2 ，…， Dn1 用 k 种颜 色着色的方案数为 f (n 1) ，故此类着色方案数为 (k 2) f (n 1) . 而容易求得 f (2) k (k 1), f (3) k (k 1)(k 2) ，从而有 f (n) (k 1) f (n 2) (k 2) f (n 1)(n 4), f (2) k (k 1), f (3) k (k 1)(k 2).
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常系数线性齐次递推关系的求解
定义 6.2.1 设 k 是给定的正整数， 若数列 f (0), f (1), , f (n), 的相 邻 k 1项间满足关系
f (n) c1 (n) f (n 1) c2 (n) f (n 2) ck (n) f (n k ) g (n), （6.2.1）
引理 6.2.2 如果 h1 (n), h2 (n) 都是递推关系（6.2.2）的解，b1 , b 2 是常 数，则 b1h 1 (n) b2h2 (n) 也是递推关系（6.2.2）的解. 证明 因为 h1 (n), h2 (n) 都是递推关系（6.2.2）的解，所以
ck h1 (n k )] b2 [c1h2 (n 1) ck h2 (n k )] b1h1 (n) b2 h2 (n) b1[c1h1 (n 1) c1[b1h1 (n 1) b2 h2 (n 1)] ck [b1h1 (n k ) b2h2 (n k )]
2015-6-27 是递推关系（ 6.2.2）的解.
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常系数线性齐次递推关系的求解
引理 6.2.1 设 q 是非零复数.则 f (n) qn 是递推关系(6.2.2)的解，当 且仅当 q 是它的特征根.
f (n) c1 f (n 1) c2 f (n 2)
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(6.2.4)
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常系数线性齐次递推关系的求解
如果方程组（6.2.4）有唯一解 b1' , b2' , , bk' ，这说明可以找到 k 个常
n 数 b1' , b2' , , bk' ， 使 得 h(n) b1' q1n b2' q2 n b1q1n b2 q2 n bk' qk 成 立 ， 从 而 n bk qk 是该递推关系的通解.考察方程组（6.2.4） ，它
齐次递推关系使用特征 方程的求解步骤（1）
成立，则称 b1q1n b2 q2n 中， b1 , b2 ,
n bk qk 是递推关系（6.2.2）的通解，其
, bk 为任意常数。
ck f (n k )(n k , ck 0)
f (n) c1 f (n 1) c2 f (n 2)
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x k c1 x k 1 c2 x k 2 ck 0
ck f (n k )(n k , ck 0)
(6.2.2) (6.2.3)
引理 6.2.2 如果 h1 (n), h2 (n) 都是递推关系（6.2.2）的解， b1 , b 2 是常 数，则 b1h 1 (n) b2h2 (n) 也是递推关系（6.2.2）的解. 由引理 6.2.1 和引理 6.2.2 知，若 q1, q2 , , qk 是递推关系(6.2.2)的特 征根， b1 , b2 , , bk 是常数，那么
f (n) c1 f (n 1) c2 f (n 2)
x k c1 x k 1 c2 x k 2 ck 0
ck f (n k )(n k , ck 0)
(6.2.2)
(6.2.3)
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常系数线性齐次递推关系的求解
第六章 递推关系
§6.1 递推关系的建立 §6.2 常系数线性齐次递推关系的求解 §6.3 常系数线性非齐次递推关系的求解 §6.4* 用生成函数求解递推关系 §6.5* 用其他方法求解递推关系
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递推关系的建立
构建求解递推关系是组合计数的重要方法； 在第三章 Stirling数的性质3.5.1中给出了递推关系。 S2（n+1,k)=S2(n,k-1)+k*S2(n,k) 在第四章讨论错位排列数Dn时，也可以建立关于Dn的递推关 系： Dn=(n-1)(Dn-1 + Dn-2) n≥3 D1=0，D2=1
f (n) c1 f (n 1) c2 f (n 2) ck f (n k )(n k , ck 0) （6.2.2）
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常系数线性齐次递推关系的求解
定义 6.2.2 方程
x k c1 x k 1 c2 x k 2 ck 0
（6.2.3）
叫做递推关系(6.2.2)的特征方程，它的 k 个根 q1, q2 , qk （可能有重根） 叫做该递推关系的特征根，其中 qi (i 1,2, , k ) 是复数.
f (n) c1 f (n 1) c2 f (n 2)
x k c1 x k 1 c2 x k 2 x k c1 x k 1 c2 x k 2 ck ck 0
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常系数线性齐次递推关系的求解
定理 6.2.1 设 q1 , q2 ,
, qk 是递推关系(6.2.2)的 k 个互不相等的特征根，则
n f (n) b1q1n b2q2 n bk qk
是递推关系（6.2.2）的通解。 证明 由前面的分析可知 f ( n) 是递推关系 (6.2.2)的解 . 设 h( n) 是这个递 个 初 值 推 关 系 的 任 意 一 个 解 ， 则 h( n) 由 k
从而 b1h1 (n) b2h2 (n) 也是递推关系(6.2.2)的解. 由引理 6.2.1 和引理 6.2.2 知，若 q1, q2 , , qk 是递推关系(6.2.2)的特 征根， b1 , b2 , , bk 是常数，那么
n f (n) b1q1n b2 q2 n bk qk
对 n k 成立，其中 ck (n) 0 ，则称该关系为 f (n) 的 k 阶线性递推关系. 如果 c1 (n), c2 (n) , ck (n) 都是常数，则称之为 k 阶常系数线性递推关系. 如果 g (n) =0,则称之为齐次的. 如果有一个数列代入递推关系（6.2.1） ，使得其对任何 n k 都成立， 则称这个数列是递推关系（6.2.1）的解。 常系数线性齐次递推关系的一般形式为
h(0) = a0 , h(1) a1 ,
, h(k 1) ak 1唯一地确定，所以有
b1 b2 bk a0 , b q b q b q a , 1 1 2 2 k k 1 , k 1 k 1 k 1 b q b q b q ak 1. 2 2 k k 1 1
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递推关系的建立
定义6.1.1 给定一个数的序列H(0),H(1),…, H(n),…若存在正 整数n0，使得当n≥n0时，可以用等号(或小于，大于号)把 H(n)和前面某些项H(i)，0≤ i <n，联系起来，这样的式子 叫做递推关系。 递推关系也称递归关系，递归方程。从本质上讲，递 推关系是研究整变量函数的或者说是研究数列的，与此对 应的是连续论域中的微分方程。因此，我们可以类似的方 法对它们进行研究。