9.1空间曲线的切线与法平面

对应于 t t0 t.
x
z • M
•M
o
y
割线 MM 的方程为
x x0 y y0 z z0
z
x y z
• M
割线的极限位置称为切线 上式分母同除以 t,
•M
xo
y
x x0 y y0 z z0 , x y z
t
t
t
当M M ,即t 0时 ,

dz x y , dx y z
dy
0,
dx (1,2, 1)
dz
1,
dx (1,2, 1)
dy
0,
dx (1,2, 1)

dz
1,
dx (1,2, 1)
由此得切向量 T {1, y( x0 ), z( x0 )} {1, 0,1},
所求切线方程为 x 1 y 2 z 1,
9.1空间曲线的切线与法平面
第六节 微分法在几何上的应用 一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程
x x(t)

y

y(t )
z z(t )
其中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
例4 求曲线L : x2 y2 z2 6, x y z 0在 点(1,2,1)处的切线和法平面方程.
解 1 直接利用公式;
解 2 将所给方程的两边对x 求导并移项，得

y
dy dx

z
dz dx


x

dy

dz

1

dx dx
dy z x , dx y z
切向量
T

{
Fy Gy
Fz , Fz Gz M Gz
Fx , Fx Gx M Gx
Fy } Gy M
{J M , J1 M , J2 M },
切线方程为: x x0 y y0 z z0 ,
JM
J1 M
J2 M
法平面方程为: J M ( x x0 ) J1 M ( y y0 ) J2 M (z z0 ) 0.
例3 求曲线L : y x2, z 2x3上对应于x 1的点处 的切线和法平面方程.
解 曲线上对应于x 1的点为 (1,1,2),
y 2x, z 6x2, y(1) 2, z(1) 6,
切向量
T
{1,
2, 6},
切线为 x 1 y 1 z 2 ,
126
法平面方程 ( x 1) 2( y 1) 6(z 2) 0,
即 x 2 y 6z 15 0.
例2 求曲线 : x 0t eu cos udu, y 2sin t cos t,
z 1 e3t在t 0处的切线和法平面方程.
解 当t 0时， x 0, y 1, z 2, x et cos t, y 2cos t sin t, z 3e3t ,

y( x) ,
z( x)
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
切向量
T
{1,
y( x0 ),
z( x0 )},
切线方程为 x x0 y y0 z z0 , 1 y( x0 ) z( x0 )
法平面方程为
( x x0 ) y( x0 )( y y0 ) z( x0 )(z z0 ) 0.
1
0 1
法平面方程为 ( x 1) 0 ( y 2) (z 1) 0,
即 x z 0.
、
x(0) 1, y(0) 2, z(0) 3,
切线方程为 x 0 y 1 z 2 ,
1
2
3
法平面方程 ( x 0) 2( y 1) 3(z 2) 0,
即 x 2 y 3z 8 0.
◆特殊地：
1. 空间曲线方程为
y z
1
2
6
法平面为 ( x 1) 2( y 1) 6(z 2) 0,
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即 x 2 y 6z 15 0.
2.
空间曲线方程为
F ( x, G( x,
y, z) y, z)

0 ,
0
设M ( x0,
y0 , z0 ),当
J

Fy Gy
Fz 0时,有 Gz M
曲线在M处的切线方程
x x0 y y0 z z0 . x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,
T

x(t0
),
y(t0
),
z(t0
)
法平面：过M点且与切线垂直的平面:
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0.
例1 求曲线 : x t, y t 2, z 2t 3在t 1处的
切线和法平面方程. 解 当t 1时, x 1, y 1, z 2,
x 1, y 2t, z 6t2,
x(1) 1, y(1) 2, z(1) 6,
切线方程为 x 1 y 1 z 2 ,