柯西不等式

柯西不等式

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

其形式有以下几种：

二维形式

(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2

等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)

扩展：

（（a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+ ...(bn)^2；）≥（a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2;

等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi

都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3，…，n）

三角形式

√（a^2+b^2)+√（c^2+d^2）≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

等号成立条件：ad=bc

注：“√”表示平方根，

向量形式

|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a，…，an），β=(b1,b，…，bn）（n∈N，n≥2）

等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

一般形式

（∑（ai^2；））（∑（bi^2;)) ≥ （∑ai·bi)^2;

等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。

上述不等式等同于图片中的不等式。

推广形式

(x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx)^(1/n)+

（Πy)^(1/n)+…]^n

注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和）

几种形式的证明：

二维形式的证明（a2+b2)(c2+d2）（a,b,c,d∈R) =a2·c2

+b2·d2+a2·d2+b2·c2 =a2·c2 +2abcd+b2·d2+a2·d2－2abcd+b2·c2

=(ac+bd)2+(ad－bc)2 ≥（ac+bd)2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

三角形式的证明

√（a2+b2)+√（c2+d2）≥√[(a-c)2+(b-d)2]

证明：[√（a2+b2)+√（c2+d2)]^2=a2+b2+c2+d2+2*√（a2+b2)*√（c1+d2)

≥a2+b2+c2+d2+2*|a*c+b*d| 注：| |表示绝对值。*表示乘

≥a2+b2+c2+d2-2（a*c+b*d）

=a2-2*a*c+c2+b2-2bd+d2

=(a-c)2+(b-d)2

两边开根号即得√（a2+b2)+√（c2+d1）≥√[(a-c)2+(b-d)2]

一般形式的证明

求证：（∑ai2）（∑bi2) ≥ （∑ai·bi)2

证明：

等式左边=(ai2·bj2+aj2·bi2)+.................... 共n2 /2项等式右边=

（ai·bi）·（aj·bj)+(aj·bj）·（ai·bi)+...................共

n2 /2项

用均值不等式容易证明等式左边≥等式右边得证

向量形式的证明

令m=(a1,a2，…，an），n=(b1,b2，…，bn)

m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√（a12+a22+…+an2) ×√（b12+b22+…+bn2) ×cos

∵cos；≤1

∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√（a12+a22+…+an2) ×√（b12+b22+…+bn2) 注：“√”表示平方根。

推广形式证明

记A1=x1+y1+…，A2=x2+y2+…，….

由平均值不等式得（1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An）≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n）=[（Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n）（1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An）≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n）=[（Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n），……上述m个不等式叠加得1≥[（Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[（Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…即（A1*A2*…*An)^(1/n）≥（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…即

A1*A2*…*An≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n即（x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn+…）≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n，因此，不等式（*）成立.

【柯西不等式的应用】柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。

巧拆常数证不等式

例：设a、b、c为正数且互不相等。求证：

2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)

∵a 、b 、c 均为正数

∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b）

又9=(1+1+1)^2 ∴只需证：

2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/ (b+c)+1/(c+a)]≥（1+1+1)2=9

又a、b 、c互不相等，故等号成立条件无法满足

∴原不等式成立

求某些函数最值

例：求函数y=3√（x－5)+4√（9－x）的最大值。（注：“√”表示平方根）

函数的定义域为[5,9]，y>0

y=3√（x－5)+4√（9－x）≤√（32+42）×√{ [√（x－5)] 2 + [√（9－x)] 2 }=5×2=10

函数仅在4√（x－5)=3√（9－x），即x=6.44时取到。

琴生不等式

琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式）：（注意前提、等号成立条件）

设f(x)为凸函数，则

f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);设f(x)为凹函数，f[(x1+x2+……+xn)/n]≥f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：

f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中

ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.