代数系统解疑

觉得代数系统部分很抽象、概念很难理解、证明难以下手吗？下面跟我一起屡清头绪，找到着眼点。

其实，在学习本章之前，我们已经学过了一些具体的代数系统，像命题代数、集合代数。但在研究的过程中我们发现，很多代数系统是相通的，比如说在学习集合代数的时候，可以把集合变元代替命题变元， 运算代替∧运算， 运算代替∨运算， 运算代替⌝运算，⊕运算代替∇元算，那么命题代数里所有的性质可以平移到集合代数中去。遵照这一思路，抽象代数部分研究不特指的代数系统，并讨论代数系统的性质，研究不同代数系统之间的联系。

关于这部分的用处，如果到高年级之后接触到变异原理的词法分析部分，以及形式语言自动机部分，会用到抽象代数中大量的知识。

了解了该部分主要的研究对象和研究目的，下面跟我一起逐个讨论。

1．代数系统的基本概念

该部分有三个需要注意的知识点：

1.1什么是代数系统？

代数系统的表征形式是一个序偶,S

<Ω>，其中S是非空元素的集合，叫做该代数系统的定义域，Ω是运算的集合。|S|称为代数系统的阶。

要判断一个给定的系统是否是代数系统，需要验证：

A ． 定义的运算满足映射的唯一性（符合函数的定义）

B ． 所有运算都是封闭的。

例：,N <

÷>

不是一个代数系统，因为自然数集合下的÷运算不满足封

闭性；设S 是一个非空集合，那么(),,S ρ<

> 是一个代数系统，其中

()

S ρ为S 的幂集。

1.2子代数系统

如果,S <Ω>是一代数系统，取S 的一个子集1S S ⊆，如果1S 在所有的运算上都满足封闭性，那么1,S <Ω>也是一个代数系统，称之为

,S <Ω>的子代数系统。

要判断1,S <Ω>是否是,S <Ω>的子代数系统，需要验证： A ．

1S S

⊆，并且两个代数系统运算集一样。

B ． 所有运算都是封闭的。 例：,,N <

+⨯>是代数系统,,I <+⨯>的子代数系统。其中

N 表示自然数

集合，I 表示整数集合。

1.3代数系统的同类型

设有两个代数系统1,1,{2,2}U

S V S =<Ω>=Ω，如果可以在两者的运

算集合1,2ΩΩ上构造一个双射12Ω→Ω，并且每个原像和对应的像点运算的阶相同，那么就说代数系统U 和V 同类型。

同类型的概念是讨论同态和同构的基础。

2．代数系统中运算的性质

设代数系统为,,*S <>

2.1运算的定律

结合率：()()()(,,()())x y z x y z S x y z x y z ∀∀∀∈→= 交换率：()()(,)x y x y S x y y x ∀∀∈→= 分配率：

()()()(,,(*)()*())x y z x y z S x y z x y x z ∀∀∀∈→= （ 对*满足左分配率） ()()()(,,(*)()*())x y z x y z S y z x y x z x ∀∀∀∈→= （ 对*满足右分配率）

吸收率：

()()(,(*))x y x y S x x y x ∀∀∈→= （ 对*满足左吸收率） ()()(,(*))x y x y S x y x x ∀∀∈→= （ 对*满足右吸收率）

等幂率：()()x x S x x x ∀∈→= 可约率：设0为零元

()()()(,,0())x y z x y z S x x y x z y z ∀∀∀∈∧≠∧=→= （左可约率） ()()()(,,0())x y z x y z S x y x z x y z ∀∀∀∈∧≠∧=→= （右可约率）

2.2运算中的特异元素

么元e ：

()()l x x S e x x ∀∈→= （l e 为关于 的左么元） ()()r x x S x e x ∀∈→= （r e 为关于 的右么元）

零元0：

()(00)l l x x S x ∀∈→= （0l 为关于 的左零元） ()(00)r r x x S x ∀∈→= （0r 为关于 的右零元）

等幂元：()()

（x为关于 的等幂元）

∃=

∈∧

x x S x x x

逆元：（设,,

∈为关于 的么元）

x y S e

（y为x关于 的左逆元）

=

y x e

（y为x关于 的右逆元）

x y e

=

可约元：（设0

∈∧≠）

x S x

()()(,())

（x是关于 的左可约元）∀∀∈∧=→=

y z y z S x y x z y z

∀∀∈∧=→=

（x是关于 的左可约元）y z y z S y x z x y z

()()(,())

注意：能寻找到常见代数系统中的特异元素

2.3从运算表中判断运算性质的方法

给定代数系统,S

<>

1．封闭性：运算表中的每个元素都属于S。

2． 交换律：运算表关于主对角线对称。

3．

等幂律：运算表主对角线上的元素与对应行或者对应列的表头

元素相同。 4．

零元：x 是关于 的左零元，当且仅当运算表中x 所对应的行

中每个元素都与x 相同；x 是关于 的右零元，当且仅当运算表中x 所对应的列中每个元素都与x 相同。 5．

么元：x 是关于 的左么元，当且仅当运算表中x 所对应的行

中每个元素都与对应的行表头元素相同；x 是关于 的右么元，当且仅当运算表中x 所对应的列中每个元素都与对应的列表头元素相同。 6．

逆元：x 为关于 的左逆元，当且仅当x 所在行的元素中至少

有一个么元，y 为关于 的右逆元，当且仅当y 所在列的元素中至少有一个么元。x 与y 互为逆元，当且仅当运算表中x 行y 列及y 行x 列中的元素都为么元。

例：给定代数系统,S <⊗>

，{,,,,}S a b c d e =，找出下列运算表的特

异元素。