常数项级数的审敛法
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高等数学级数1(2)
l 3l 即 0 v n un v n 2 2
由比较审敛法的推论, 得证.
例4 判定下列级数的敛散性 1 1 ( 2) n (1) sin n n 1 3 n n 1
1 sin n 解 (1) lim 1 比较审敛法的极限形式, 发散 n 1 n 1 n 1 3 n ( 2) lim lim 1 n n n 1 1 n n 3 3
n
1 1 1 1 (3) 调和级数 1 发散 2 3 n n 1 n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
定理2 若0 un vn , 则
v n 收敛 un 收敛 n 1 n 1 un 发散 v n 发散 n 1
(1) 2 sin
n n 1
3
n
( 2) 3
n 1
n
1 n( n 1)
n
解 (1) 0 un 2 sin
3n 3 n 2 而等比级数 收敛. n 1 3
2 2 n
n
3
由比较审敛法
所以, 原级数收敛.
( 2) 3
n 1
1 推论2 若 un ,如果有 p 1, 使un p ( n 1,2,). n 1 n
则 un收 敛;
n 1
1 如 果un ( n 1,2, ), 则 un发 散. n n 1
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
例3 讨论下列正项级数的敛散性.
6. 根值审敛法 (柯西判别法) 定理5 设 un , ( un 0) n 1 1
7-2数项级数的审敛法
·复习 1 级数的概念。
2 级数的敛散性。
3 级数的性质。
·引入 正像数列一样，对于级数也有两个问题应当研究一是它是否收敛，二是如果收敛，它的和等于什么。
一般情况下要判断一个级数的敛散性，只利用级数收敛和发散的定义和性质，常常是很困难的，因此需要建立判定级数敛散性的判别法。
我们先来考察正项级数的敛散性。
·讲解新课7-2 常数项级数的审敛法（一）一 正项级数及其审敛法定义 如果级数∑∞=1n n u 的每一项都是非负数，即0n u ≥，(1,2)n = ，那么称级数∑∞=1n n u 为正项级数．如果级数∑∞=1n n u 是一个正项级数，那么它的部分和数列{}n S 是一个单调增加数列：12......n S S S ≤≤≤≤，如果数列{}n S 有界，即n S 总不大于某一个常数M ，根据单调有界数列必有极限的准则，正项级数∑∞=1n n u 必收敛于和S ，且n S S M ≤≤；反之，如果正项级数∑∞=1n n u 收敛于和S ，即lim n x S S →∞=，根据有极限的数列必是有界数列的性质可知：∑∞=1n n u 有界，因此可得如下结论：定理 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列单调有界。
由此定理可知：如果正项级数∑∞=1n n u 发散，则当n →∞时，它的部分和数列n S →∞，即：1n n u ∞==+∞∑1 比较审敛法设有两个正项级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，如果n u ≤n v ),3,2,1( =n 成立，那么（1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数∑∞=1n n u 也收敛.（2）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散．用比较判别法时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数作为比较的基准，最常被选用作基准级数的是等比级数和p －级数。
定义 当0p >时 ，11111123L L ppppn nn∞==+++++∑.称为 p －级数特别地：当1p =时，p －级数是调和级数11n n∞=∑。
高等数学-无穷级数简要讲解-2
9.2 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
1、正项级数收敛的充要条件
(1)定义:如果级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为正项级数.
(2)正项级数收敛的充要条件:
如果级数 un为正项级数，则
部分和数列n1{sn}为单调增加数列.
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
n
(n
1) n
lim n (1
1 )n
e
1
n
则级数收敛。
5、根值审敛法（柯西判别法）
定理
对于正项级数
n1
un
,
若
lim
n
n
un
，
则当ρ<1时级数收敛， 当ρ>1时级数发散，
ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
例8 判别下列级数的敛散性
1
(1) n1 (ln n)n
234
n
更一般的结论：交错级数
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
三、条件收敛与绝对收敛
下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …
其中un为任意实数。
1、定理
对于级数 un , 若级数 | un |收敛，
n1
n1
则级数 un也收敛。
n1
当 | un |收敛时，我们称任意项级数 un绝对收敛。
n2 1
n
1
而
1 收敛，
n2
n1
所以
n2 1
ln(1
一、正项级数及其审敛法
1、正项级数收敛的充要条件
(1)定义:如果级数 un中各项均有un 0， n1
这种级数称为正项级数.
(2)正项级数收敛的充要条件:
如果级数 un为正项级数，则
部分和数列n1{sn}为单调增加数列.
正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
n
(n
1) n
lim n (1
1 )n
e
1
n
则级数收敛。
5、根值审敛法（柯西判别法）
定理
对于正项级数
n1
un
,
若
lim
n
n
un
，
则当ρ<1时级数收敛， 当ρ>1时级数发散，
ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
例8 判别下列级数的敛散性
1
(1) n1 (ln n)n
234
n
更一般的结论：交错级数
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
三、条件收敛与绝对收敛
下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …
其中un为任意实数。
1、定理
对于级数 un , 若级数 | un |收敛，
n1
n1
则级数 un也收敛。
n1
当 | un |收敛时，我们称任意项级数 un绝对收敛。
n2 1
n
1
而
1 收敛，
n2
n1
所以
n2 1
ln(1
第十一章 第2节常数项级数审敛法
∞
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
常数项级数的审敛法
收敛.
1 证明 令 vn ( un un ) ( n 1,2,), 2 且 vn un , v n收敛, 显然 vn 0,
又 un ( 2v n un ),
n 1 n 1
un 收敛.
n 1
n 1
上定理的作用： 任意项级数 正项级数
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
6.根值审敛法 (柯西判别法)：
设 un 是正项级数,如果lim n un
( 为数或 ) , 则 1 时级数收敛;
1时级数发散; 1 时失效.
n 1
(2) 令
(n 1) 2 n 1 u n 1 e lim lim n u n n n2 n e 2 1 n 1 1 lim 1 n e n e
7.极限审敛法：
设
un 为正项级数, n 1
n n
如果 lim nun l 0 (或lim nun ), 则级数
u
n 1
n 发散;
如果有 p 1 , 使得lim n p un 存在,
n
则级数
u
n 1
n 收敛.
例 7 判定下列级数的敛散性: 1 (1) ln 1 2 ； (2) n 1 (1 cos ) . n n n 1 n 1
n 1
n 1
n 1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn ,
即部分和数列有界
un收敛. n 1
(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
微积分学PPt标准课件06-第6讲常数项级数审敛法
故 M > 0 (不妨取 M > 1) , N > 0, 当 n > N 时,
un M 1 vn
即
0 vn < un
由比较判别法, 当 = 时,
vn 发散 un 发散
n1
n1
20
例4
判别级数
n1
1 n2 a2
的敛散性 ( a > 0 为常数).
1
解 因为 lim n2 a 2 1 ( 即 = 1 为常数 )
34
二. 任意项级数的敛散性 1.交错级数及其敛散性 定义
交错级数是各项正负相间的一种级数, 它的一般形式为
u1 u2 u3 u4 (1)n1un 或 u1 u2 u3 u4 (1)n un
其中, un 0 ( n = 1 , 2 , … ).
35
定理 (莱布尼兹判别法)
S2m u1 (u2 u3) (u4 u5 ) (u2m2 u2m1) u2m u1
2n 1 2n
(n =1, 2, …)
故 当n 1 时, 有
n 1
n1
Sn k 1 2k 1 k 1 2k
1
1
1
n
2 2
1 1
1
1 2n
1
2
即其部分和数列 {Sn} 有界,
从而,
级数
1 n1 2n 1
收敛.
8
3. 正项级数敛散性的比较判别法
设有正项级数 un 与 vn,
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第六讲 常数项级数的审敛法
脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
1
第二章 数列的极限与常数项级数
1-1 常数项级数的概念、性质、收敛性
则 lim σ n = lim sn+ k − lim sk = s − sk . n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁 22
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明
( u1 + u2 ) + ( u3 + u4 + u5 ) + σ 1 = s2 , σ 2 = s5 , σ 3 = s9 , , σ m = sn ,
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
13
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aq n = a + aq + aq 2 + ∑
n= 0
∞
+ aq n +
( a ≠ 0)
的收敛性.
解 如果 q ≠ 1时
sn = a + aq + aq 2 +
n
+ aq n−1
a − aq a aq n = = − , 1− q 1− q 1− q
18
注：定理1.1的否定说法：级数发散的 充要条件是：存在某个 ε 0
> 0 ，对任
何自然数 N ， n。＞N及任意 的正整 ∃ 数P。，使
n + P0
k = n +1
∑u
k
≥ ε0
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
19
1 例 3 证明调和级数 ∑ 发散。 n =1 n
【证】取
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
数项级数及审敛法
但
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
对任意给定的正数
*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
级数, 且
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注:
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
备用题
1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
发散 ,
故原级数发散 .
不是 p–级数
(2)
发散 ,
故原级数发散 .
2.
则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
∴ (B) 错 ;
又
C
胞体的直径相差很大，4-150μm， 细胞体是神经元营养、代谢的中心。
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
证:
是单调递增有界数列,
又
故级数收敛于S, 且
故
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
对任意给定的正数
*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
级数, 且
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注:
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
备用题
1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
发散 ,
故原级数发散 .
不是 p–级数
(2)
发散 ,
故原级数发散 .
2.
则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
∴ (B) 错 ;
又
C
胞体的直径相差很大，4-150μm， 细胞体是神经元营养、代谢的中心。
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
证:
是单调递增有界数列,
又
故级数收敛于S, 且
故
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
713常数项级数审敛法
(3)lim un1 u n
n
ln i m (n 10 n11 )!1n!0 n
n1
或从 N 0开 某 )若 .始 一 n l iu v m n n 项 ,则
(1) 0 时 , un与vn具有相同.的
n1
n1
(2)0时 , vn收 敛 un收. 敛
n 1
n 1
(3 )时 , vn发 散 un发. 散
当 ex时 ,原级;数 (1发 ) 散
当 x e( 1时 ) ,un1 un
e
1
1n n
1,
单调增加有上界, 以 e 为极限.
故 { u n} ,又 u 1e,从,而 n l i m un0, 原级数 . 发
讨 论 下 列 级 数 的 敛：散 性
例7.1.11
n1
n1
大收小收, 小发大发.
n
n
证 (1) 记 Sn uk , Gn vk ,
k 1
k 1
0 un vn (n = 1, 2, …)
0 Sn Gn
若vn收,敛 则部 G n分 有,和 界
n1
从而 un的部S分 n也和 有 , 界
n1
由比较判别法, 当 = 时,
vn 发散 un 发散
n1
n1
例4
判别级数
n1
1 n2 a2
的敛散性 ( a > 0 为常数).
1
解
因为 lim n
n2 a2 1 1
( 即 = 1 为常数 )
n
又
1
12-1(A)无穷级数-常数项级数的审敛法
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件: 一般项 un趋于零, 即
n1
un收
敛
lim
n
un
0.
*证 设 un s, 由 un sn sn1 ,
有
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
注意 1. 一般项不趋于零级数发散;
例如 1 2 3 (1)n1 n 发散
234
n1
。
解an
6
cos
n
6
6
6
0 , 原 式 发 散 。
16/26
*例 7 试把循环小数2.317 2.3171717表示
成分数的形式.
解 2.317
2.3 0.017 0.00017 0.0000017
2.3
17 103
17 105
17 107
2.3
17 103
n0
1 100
n
2.3
2T (1
1 2n )
2
让 n ，上述和 2T ．(与实际经验相符！)
可见， 要把无限多项之“和”＝2T 理解为前 n 项之和，当n 时的极限。
但是，如果以如下方式减速前进：
T
T
3
2
T
1
1
0 14
2
1
此时需化为 8 T T T T ？ 234
实际经验不能给我们任何启示！
若先考虑
Sn
19/26
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
高数课件28无穷级数1常数项级数审敛法
应用举例
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
6-2 常数项级数的审敛法
即 s ≤ s1 = a1 .其余项
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rn = (−1) an+1 + (−1) an+2 +L= (−1) (an+1 − an+2 + L)
n n
n= ( −1) a n +1 − a n + 2 + L ≤ a n +1 ;
n
因为an+1 ≥ 0, 所以 rn ≤ an+1 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法
因此, 级数 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
1 收敛. n
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三、绝对收敛与条件收敛
以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性, 以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性. 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性 形如
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类似地还可得到： 类似地还可得到： 一个正项级数(6-1), 如果对每一个 都有 如果对每一个n都有 一个正项级数
an+1 ≥ g > 1, an
那么这个正项级数是发散的. 那么这个正项级数是发散的
an+1 如果在正项级数(6-1)中,比值 a 的极限存 如果在正项级数 中 比值 n
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1 1 1 n−1 1 +L 例6-13 判别级数 1 − + − +L+ (−1) 2 3 4 n
的敛散性. 的敛散性.
1 1 1 解 因为 a n = , 所以a n + 1 = n + 1 < n = a n , 且有 n
常数项级数判别方法
常数项级数的审敛法定义 形如：级数其中即： 正、负项相间的级数称为交错级数。
列如莱布尼茨判别法 莱布尼茨定理：如果交错级数满足条件则级数收敛，其其和其余项的绝对值注意：只有当级数是交错级数时，才能用此判别法，否则将导致错误 注意：莱布尼兹判别法只是充分条件，非必要条件.使用本判别法时，关键是第一个条件的验证是否收敛时, 要考察与 大小111()n n n u ∞-=-∑n u >0111,2,3,);n n u u n +≥=L （）（lim 0,n x u →∞=（2）1,s u ≤nr 1.n n r u +≤0n u ≥（）n u 1n u +n n u u +≥>10.（）111111111(1)=1(1)234n n n n n∞--=--+-++-+∑L L（）.1112(1)1234(1)n n n n n ∞--=-=-+-++-+∑L L（）.这是一个交错级数又因为n n u u n n +=>=+1111，且显然收敛速度较慢.收敛。
使用本判别法时，关键是第一个条件的验证是否收敛时, 要考察与大小比较 与大小的方法有: 比值法差值法11111111(1)=1(1)234n n n n n∞--=--+-++-+∑1n u n =1lim lim 0n n n u n →∞→∞==n r n ≤+1||.10n u ≥（）n u 1n u +n n u u +≥>10.（）n u 1n u +11n nu u +<10n n u u +->11n n u u +≥（）lim 0n x u →∞=(2)则交错级数111() n n n u ∞-=-∑。
第13章 无穷级数重点内容与练习
都收敛
（B）
un 与
un2 都发散
n 1
n 1
n 1
n 1
（C） un 收敛，而
u
2 n
发散（D）
un 发散，而
un2
n 1
n 1
n 1
n 1
收敛
6. 级数 sin( n2 1) （ ）．答案： B n1
（A）发散
（B）条件收敛
（C）绝对收敛 （D）敛散性无法判定
7.
级数
n1
sin n n2
( )．
（A） a ,b （B） a 2 ,b 2 2 +
2
2
2
2
(C) a ,b
22
答案： D ．
（D） a 2 ,b
2
2
x2 1, 0 x ,
25.设
f
(x)
x2
1,
则 f (x) 以周期为 2 的傅
x 0.
里叶级数在点 x 处收敛于
．
答案： 2 ．
1 n
（
）．答案： C
（A）条件收敛 （B）绝对收敛
（C）发散
（D）无法确定
8. 设正项数列{an }单调减少，且级数 (1)n an 发散， n1
试讨论
(1)n (1 an1 ) 的敛散性．
n1
an
解：依题知
lim
n
an
存在，设
lim
n
an
a
则
a
0
，且
an a, n 1, 2,
而 (1)n (1 an1 ) an an1 an an1
ln
2
2
x
．当
1102常数项级数的审敛法-2
n=2
n −1
的收敛性.
x − (1 + x ) ∵ x ≥ 2时, ( 时 < 0, )′ = x −1 2 x ( x − 1)2
x 故x ≥ 2时,函数 单调递减 , x −1
∴ n ≥ 2时, 有 un > un +1 ,
n 又 ∵ lim un = lim = 0, n→ ∞ n→ ∞ n − 1
例1 判定级数 ∑
∞ (−1)n
n=1
n
的收敛性.
1 解 这是一个交错级数 , 且un = , n
1 1 ∵ un = ≥ = un +1 , 且 lim un = 0, n n+1 n→ ∞
由莱布尼茨定理知, 级数收敛. 由莱布尼茨定理知, 原级数收敛.
例2 判定级数 ∑ 解
∞ (−1)n n
练习题
一 .判定下列级数的收敛性 : 判定下列级数的收敛性
1. ∑ n ; n =1 n 1 4. ∑ ; n = 2 ln n 1 7. ∑ arcsin ; n n= 2 n
∞ 1 ∞
∞
1
2. ∑
∞
1 nn n
n =1
;
3. ∑
∞
1
2n
n =1 n
; n
5. ∑
∞
∞ ( −1)n
n = 2 ln n
∞ ∞
∞ ( −1)n
解 由莱布尼茨定理知 ,级数收敛 , 级数收敛
1 又 ∵ ∑ un = ∑ 发散 , n =1 n =1 n + n
故原级数收敛,且为条件收敛. 故原级数收敛,且为条件收敛.
◆说明: (1)若 ∑ un 收敛 , 则 ∑ un也收敛; 说明:
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n
由比较判敛法可知 注意: 反之不成立. 例如,
u n 收敛 .
2 n 1
n 1 n
1
2
收敛 ,
n 1 n
1
发散 .
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1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
(2)
1 n
发散 , 故原级数发散 .
n级数发散 .
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n 1
un 1 un
n
, 则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可 能发散.
例 7 判别级数
1 的收敛性. n (2n 1) 2n
1 1 1 解 因为 2 , 而级数 2 收敛, 解 (2n 1) 2n n n 1 n
例 1 讨论 p级数
n 1
1 ( p 0) 的收敛性. p n
解 当 p1 时, 1 1 , 而级数 1 发散, 解 np n n 1 n
所以级数
n 1
1 也发散. p n
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2) 若 p 1, 因为当
1 n
p
时,
1 n
p
1 x
p
, 故
n 1 n 1 n 1 n 1
(2)如果 lim
n
例 3 判别级数 sin
n 1
1 的收敛性. n
1 sin 1 n 1 , 而级数 解 因为 lim 解 发散, n 1 n 1 n n
所以级数 sin
n 1
1 也发散. n
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定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
设 un 为正项级数, 如果 lim
n 1
un 1 un
n
, 则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可 能发散. 例5 证明级数
1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 (n 1)
n
n 1
n 1
例 10 判定级数 ln(1
n 1
1 ) 的收敛性. 2 n
解 因为
1 1 n2 lim n un lim n ln( 1 2 ) lim ln( 1 2 ) 1 , n n n n n
2 2
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
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解 因为 lim 解
un 1 un
n
(n 1)! 10n n 1 lim lim , n 1 n 10 n ! n 10
所以, 根据比值审敛法可知所给级数发散.
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定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
设 un 为正项级数, 如果 lim
n
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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定理2(比较审敛法) 设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn(k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散. p级数的收敛性
p级数
n 1
•推论
设 un 和 vn 都是正项级数, 且 un kv n (k0, nN).
n 1 n 1
>>>
若 vn 收敛, 则 un 收敛 若 un 发散, 则 vn 发散.
n 1 n 1 n 1 n 1
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定理2(比较审敛法) 设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn(k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散.
设 un 为正项级数, 如果 lim
n 1
un 1 un
n
, 则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可 能发散.
例 6 判别级数
1 1 2 1 2 3 n! 2 n 的收敛性. 10 10 103 10
设 un 为正项级数, 如果 lim
n 1
n n
un , 则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可 能发散.
例 9 判定级数
n 1
2 (1)n 2
n
的收敛性.
解 因为
n
lim
n
1n 1 n un lim 2 (1) , 2 n 2
是收敛的.
解 因为 lim un 1 lim 1 23 (n 1) lim 1 0 1 , 解
n
un
n
1 23 n
n
n
所以, 根据比值审敛法可知所给级数收敛.
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定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
n
) lim n
n
2
n 1 1 2 1 2 ( ) , n 2 n 2
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
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设正项级数
u n 收敛,
n 1
2 un
能否推出
2 un n 1
收敛 ?
提示: lim
n
un
lim u n 0
所以, 根据根值审敛法可知所给级数收敛.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
1 1 ( n ) un n n
p
n
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
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证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
n 1
n 1
例 11 判定级数 n 1(1 cos
n 1
n
) 的收敛性.
解 因为 lim
n 3 n2
n
3 n 2u
n lim
n
3 n2
n 1(1 cos
n
) lim n 2
n
n 1 1 2 ( ) n 2 n
un lim
n 1(1 cos
n 1
n
n
n
x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
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定理5(根值审敛法, 柯西判别法)
设 un 为正项级数, 如果 lim
n 1
n n
un , 则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可 能发散.
n 1 n p d x
n
n
1
1 1 dx p p 1 p 1 n 1 x p 1 ( n 1) n
1
1
1 1 考虑强级数 的部分和 p 1 p 1 ( n 1) n n2 1 1 n 1 n 1 1 p 1 p 1 p 1 k ( k 1) ( n 1) k 1
(2)如果 lim
n
例 4 判别级数 ln(1
n 1
1 ) 的收敛性. 2 n
解 因为 lim 解
ln(1
n
1 ) 2 1 n 1 , >>> 而级数 2 收敛, 1 n 1 n n2
所以级数 ln(1
n 1
1 ) 也收敛. 2 n
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n
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定理6(极限审敛法)
设 un 为正项级数,
n 1
(1)如果 lim nun l 0(或 lim nun ) , 则级数 un 发散
n n
(2)如果 p1, 而 lim n pun l (0 l ) , 则级数 un 收敛.
1 当 p1 时收敛, 当 p1 时发散. p n
例 2 证明级数
1 n(n 1)
1
是发散的.
n 1
证 因为 证
而级数
1 n(n 1)
1 , (n 1)2 n 1
n 1
1 1 发散, 故级数 也发散. n 1 ) n 1 n(n 1
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(2) lim un 0 ,
n
则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un1. >>>
所以, 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 提示:
(2n 1) 2n (2n 1) (2n 2)
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n
lim
un 1 un
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lim
n
1 , 比值审敛法失效.
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讨论级数
解:
lim u n 1 un
的敛散性 .
lim
( n 1) x nx
由比较判敛法可知 注意: 反之不成立. 例如,
u n 收敛 .
2 n 1
n 1 n
1
2
收敛 ,
n 1 n
1
发散 .
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1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
(2)
1 n
发散 , 故原级数发散 .
n级数发散 .
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n 1
un 1 un
n
, 则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可 能发散.
例 7 判别级数
1 的收敛性. n (2n 1) 2n
1 1 1 解 因为 2 , 而级数 2 收敛, 解 (2n 1) 2n n n 1 n
例 1 讨论 p级数
n 1
1 ( p 0) 的收敛性. p n
解 当 p1 时, 1 1 , 而级数 1 发散, 解 np n n 1 n
所以级数
n 1
1 也发散. p n
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2) 若 p 1, 因为当
1 n
p
时,
1 n
p
1 x
p
, 故
n 1 n 1 n 1 n 1
(2)如果 lim
n
例 3 判别级数 sin
n 1
1 的收敛性. n
1 sin 1 n 1 , 而级数 解 因为 lim 解 发散, n 1 n 1 n n
所以级数 sin
n 1
1 也发散. n
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定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
设 un 为正项级数, 如果 lim
n 1
un 1 un
n
, 则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可 能发散. 例5 证明级数
1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 (n 1)
n
n 1
n 1
例 10 判定级数 ln(1
n 1
1 ) 的收敛性. 2 n
解 因为
1 1 n2 lim n un lim n ln( 1 2 ) lim ln( 1 2 ) 1 , n n n n n
2 2
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
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解 因为 lim 解
un 1 un
n
(n 1)! 10n n 1 lim lim , n 1 n 10 n ! n 10
所以, 根据比值审敛法可知所给级数发散.
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定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
设 un 为正项级数, 如果 lim
n
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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定理2(比较审敛法) 设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn(k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散. p级数的收敛性
p级数
n 1
•推论
设 un 和 vn 都是正项级数, 且 un kv n (k0, nN).
n 1 n 1
>>>
若 vn 收敛, 则 un 收敛 若 un 发散, 则 vn 发散.
n 1 n 1 n 1 n 1
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定理2(比较审敛法) 设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn(k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散.
设 un 为正项级数, 如果 lim
n 1
un 1 un
n
, 则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可 能发散.
例 6 判别级数
1 1 2 1 2 3 n! 2 n 的收敛性. 10 10 103 10
设 un 为正项级数, 如果 lim
n 1
n n
un , 则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可 能发散.
例 9 判定级数
n 1
2 (1)n 2
n
的收敛性.
解 因为
n
lim
n
1n 1 n un lim 2 (1) , 2 n 2
是收敛的.
解 因为 lim un 1 lim 1 23 (n 1) lim 1 0 1 , 解
n
un
n
1 23 n
n
n
所以, 根据比值审敛法可知所给级数收敛.
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定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)
n
) lim n
n
2
n 1 1 2 1 2 ( ) , n 2 n 2
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
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设正项级数
u n 收敛,
n 1
2 un
能否推出
2 un n 1
收敛 ?
提示: lim
n
un
lim u n 0
所以, 根据根值审敛法可知所给级数收敛.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
1 1 ( n ) un n n
p
n
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
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证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
n 1
n 1
例 11 判定级数 n 1(1 cos
n 1
n
) 的收敛性.
解 因为 lim
n 3 n2
n
3 n 2u
n lim
n
3 n2
n 1(1 cos
n
) lim n 2
n
n 1 1 2 ( ) n 2 n
un lim
n 1(1 cos
n 1
n
n
n
x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
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定理5(根值审敛法, 柯西判别法)
设 un 为正项级数, 如果 lim
n 1
n n
un , 则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可 能发散.
n 1 n p d x
n
n
1
1 1 dx p p 1 p 1 n 1 x p 1 ( n 1) n
1
1
1 1 考虑强级数 的部分和 p 1 p 1 ( n 1) n n2 1 1 n 1 n 1 1 p 1 p 1 p 1 k ( k 1) ( n 1) k 1
(2)如果 lim
n
例 4 判别级数 ln(1
n 1
1 ) 的收敛性. 2 n
解 因为 lim 解
ln(1
n
1 ) 2 1 n 1 , >>> 而级数 2 收敛, 1 n 1 n n2
所以级数 ln(1
n 1
1 ) 也收敛. 2 n
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定理6(极限审敛法)
设 un 为正项级数,
n 1
(1)如果 lim nun l 0(或 lim nun ) , 则级数 un 发散
n n
(2)如果 p1, 而 lim n pun l (0 l ) , 则级数 un 收敛.
1 当 p1 时收敛, 当 p1 时发散. p n
例 2 证明级数
1 n(n 1)
1
是发散的.
n 1
证 因为 证
而级数
1 n(n 1)
1 , (n 1)2 n 1
n 1
1 1 发散, 故级数 也发散. n 1 ) n 1 n(n 1
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(2) lim un 0 ,
n
则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un1. >>>
所以, 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 提示:
(2n 1) 2n (2n 1) (2n 2)
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lim
un 1 un
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lim
n
1 , 比值审敛法失效.
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讨论级数
解:
lim u n 1 un
的敛散性 .
lim
( n 1) x nx