质点的角动量定理及角动量守恒定律

第六章角动量

内容：

§6－1 力矩（4课时）

§6－2 质点的角动量定理及角动量守恒定律（4课时）

要求：

１.熟练掌握力对点的力矩。

２.理解对点的角动量定理及角动量守恒定律。

重点与难点：

角动量守恒定律。

作业：

P219 1，2，3，4，

P220 5，6，，

第六章 角动量

§6－1 力矩

一、力对点的力矩：

如图所示，定义力F

对O 点的力矩为： F r M ⨯=

大小为： θs i n

Fr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。

二、力对转轴的力矩：

力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。

1）力与轴平行，则0=M

；

2）刚体所受的外力F

在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之

间的距离d 称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积，称为力F

对

转轴的力矩，用M

表示。力矩的大小为： Fd M ＝

或： θs i n

Fr M ＝ 其中θ是F 与r

的夹角。

3）若力F

不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一

个与转轴平行的分力1F ，一个在垂直与转轴平面内的分力2F

，只有分力2F

才对刚体的转动状态有影响。

对于定轴转动，力矩M

的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。

三、合力矩对于每个分力的力矩之和。

合力 ∑=i F F

合外力矩 ∑∑

∑=⨯=

⨯=⨯i i i M F r F r F r M

＝

即 ∑i M M

＝

四、单位： m N ⋅

注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的单位不能写成焦耳。

（1）与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； （2）与转轴平行的力对转轴不产生力矩；

§6－2 质点的角动量定理及角动量守恒定律

在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。

在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。

本节将从力矩对时间的累积作用，引入的角动量的概念，讨论质点和刚体的角动量和角动量守恒定律。

一、 质点的角动量定理和角动量守恒定律

1．质点的角动量（Angular Momentum ）——描述转动特征的物理量 1）概念

一质量为m 的质点，以速度v

运动，相对于坐标原点O 的位置矢

量为r ，定义质点对坐标原点O 的角动量为该质点的位置矢量与动量的矢量积，即

v m r P r L

⨯=⨯= 角动量是矢量，大小为 L=rmv sin α

式中α为质点动量与质点位置矢量的夹角。

角动量的方向可以用右手螺旋法则来确定。 角动量的单位： kg.m 2.s -1 2）说明：

（1）大到天体，小到基本粒子，都具有转动的特征。但从18世纪定义角动量，直到20世纪人们才开始认识到角动量是自然界最基本最重要的概念之一，它不仅在经典力学中很重要，而且在近代物理中的运用更为广泛。

例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子本身还有自旋运动，具有自旋角动量等等。原子、分子和原子核系统的基本性质之一，是它们的角动量仅具有一定的不连续的量值。这叫做角动量的量子化。因此，在这种系统的性质的描述中，角动量起着主要的作用。

（2）角动量不仅与质点的运动有关，还与参考点有关。对于不同的参考点，同一质点有不同的位置矢量，因而角动量也不相同。因此在说明一个质点的角动量时，必须指明是相对于哪一个参考点而言的。

（3）角动量的定义式v m r P r L ⨯=⨯=与力矩的定义式F r M

⨯=形式相同，故角动量有时也称为动量矩——动量对转轴的矩。

（4）若质点作圆周运动，r v

⊥，且在同一平面内，则角动量的大小为L=mrv=mr 2

ω，写成矢量形式为ω 2mr L =

（5）质点作匀速直线运动时，尽管位置矢量r

变化，但是质点的角动量L 保持不变。 L=rmv sin α=mvd

2．质点的角动量定理（Theorem of Angular Momentum ） （1）质点的转动定律

问题：讨论质点在力矩的作用下，其角动量如何变化。

设质点的质量为m ，在合力F

的作用下，运动方程为

()t

v m t v m a m F d d d d

=

== 用位置矢量r

叉乘上式，得

()

t

v m r F r d d

⨯=⨯

考虑到

()()v m t r v m t r v m r t

⨯+⨯=⨯d d d d d d

和 0d d =⨯=⨯v v v t

r

得 ()v m r t

F r

⨯=⨯d d

由力矩 F r M

⨯＝

和角动量的定义式()v m r t

L

⨯=d d

得 t

L

M d d ＝

表述：作用于质点的合力对参考点O 的力矩，等于质点对该点O 的角动量随时间的变化率，有些书将其称为质点的转动定律（或角动量定理的微分形式）。

这与牛顿第二定律t P F /

=在形式上是相似的，其中M 对应着F ，L 对应着P 。 （2）冲量矩和质点的角动量定理

把上式改写为 L t M

= dt M

为力矩和作用时间的乘积，叫作冲量矩。对上式积分得

122

1L L t M t t

-=⎰

式中1L 和2

L 分别为质点在时刻t 1和t 2的角动量，⎰2

1

t t t M

为质点在时间间隔t 2- t 1内所受的冲量

矩。

质点的角动量定理：对同一参考点，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。 成立条件：惯性系

3．质点的角动量守恒定律（Law of Conservation of Angular Momentum ） 若质点所受的合外力矩为零，即M=0，则

＝恒矢量＝v m r L

⨯

这就是角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外力矩为零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量。 说明：

(1)质点的角动量守恒定律的条件是M =0，这可能有两种情况：

● 合力为零；

● 合力不为零，但合外力矩为零。

例如：质点作匀速圆周运动就是这种情况。质点作匀速圆周运动时，作用于质点的合力