空间直线与平面垂直的判定

线有什么样的位置关系呢？它们之间所成的角又
如何呢？
A
相交 异面
旗杆AB所在直线与地面内 任意一条过点B的直线垂 直．
B
α
与地面内任意一条不过点B 的直线B1C1也垂直．
直线垂直于平面内的 任意一条直线．
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，
我们说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l ．
已知：a∥b，a ⊥α
a
b
求证：b⊥α
m
α
n
证明：在平面α内作两条相交直线m，n
∵ a⊥α
∴ a⊥m ,a⊥n ∵ b∥a
a
b
∴ b⊥m ，b⊥n
m
∴ b⊥α
α
n
练习1：一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上 的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）。如果这 两点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直，为 什么？
斜线
如图,过斜线上斜足以外的
斜足
一点向平面引垂线PO,过垂
足O和斜足A的直线AO叫做
斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面 射影
垂线
垂足
上的射影所成的锐角,叫做
这条直线和这个平面所成的
角。Baidu Nhomakorabea
想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?
说明: 1.若直线垂直平面,则直线和平面所成的 角为90°
“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。
小结:
如何求直线与平面所成的角
1.注意三步法：一是找，在直线上找（除斜足外的） 点，过这一点做面的垂线，确定垂足。二是证，证 明作出的角是线面角。三是算，计算这个角。
2.在这三步中最关键的是找，选择合适的点作面的 垂线，这一点一要便于作垂线，二要便于定垂足， 三要便于计算。
1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条 直线，则此直线垂直于这个平面.
2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条 相交直线，那么此直线垂直于这个平面。
3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于同一个平面。
4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这条直线和 平面垂直
利用定义，我们得到了判定线面 垂直的最基本方法，同时也得到 了线面垂直的最基本的性质.
练习
判断正误： ①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条 直线，那么,这条直线就与这个平面垂直。
②若a⊥α,b 在面α内，则a⊥b。
b
a
α
探究1： 如果直线 l与平面内的一条直线垂直，
则直线 l 和平面 互相垂直?
平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很 特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点 来探究这种形式的相交
生活中有很多直线与平面垂直的实例. 大桥的桥柱与水面垂直
2.3.1直线与平面垂直的判定
旗杆与底面垂直
我们知道旗杆是和地面垂直的，它和地面上的直
1.已知：正方体中，AC是面对角线，BD’是与
AC 异面的体对角线。
D′
C′
求证：AC⊥BD’
A′
B′
2： 如图，点P 是平行四边 形ABCD 所在平面外一点，O
是对角线AC与BD的交点，且
PA =PC PB =PD .求证： PO⊥平面ABCD
D
C
A
B
P
A D
O
B
C
复习引入：
1.直线和平面的位置关系是什么?
（1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）
2.线面平行的判定定理的内容是什么?
如
果
不
在
一新疆 王新敞 奎屯
个
平
面
内
的
一
条
直线
和
平面
内
的一
条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
3.线面平行的性质定理的内容是什么? 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的
a
b
α
探究2：
如果直线 l与平面内的两条直线垂直，
则直线 l 和平面 互相垂直?
如果两条直线平行
如果两条直线相交
a
b
α
结论探：究一：条如直何线将与一一张个长平方面形内贺的卡两直条立相于交 桌直面线？都你垂能直看，出则折该线直与线下与面此两平条面直垂线直的。关 系吗？它与桌面又是什么关系？
直线与平面垂直判定定理1：
D1 A1
D A
C1 解：连结BC1交B1C于点O，连
B1
O
结A1O。 ∵AC1是正方体，∴A1B1⊥面 BB1C1C
C ∴ A1B1 ⊥ BC1
B
又∵BC1 ⊥B1C ∴BC1 ⊥面A1C. A1O为A1B在面A1C上的射影。
∠BA1O为A1B与面AC1所成的角
其余略
小结:
直线与平面垂直的判定方法
垂足

平面 的垂线
l
直线 l 的垂面
P
l
P
α
注：画直线与平面垂直时，要把直线画成和 表 示平面的平行四边形横边垂直。
三点说明:
①“任意”表示所有（提问：若直线与平面内的 无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是, 直线与平面的位置关系如何？） ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊 情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. ③ a⊥α等价于对任意的直线mα，都有a⊥m.
求证：a⊥α。
证明：
∵ b⊥β， β∩γ=a，
∴ b⊥a ；
∵ c⊥γ，β∩γ=a，
∴ c⊥a ；
∵ b∩c=E， bα，
α
cα,
∴ a⊥α。
a
β
γ
bEc
如图,若一条直线PA和一个 平面α 相交,但不垂直,那 么这条直线就叫做这个平面 的斜线,斜线和平面的交点 A叫做斜足。

斜线 P A 斜足
解：如图，旗杆PO＝8，两绳子长PA＝ PB＝10，OA＝OB＝6，A，O，B三点不 共线 因此A，O，B三点确定平面α ， 因为PO2＋AO2＝PA2，PO2＋BO2＝PB2， 所以 PO⊥OA，PO⊥OB 又OA∩OB＝O 所以OP⊥α ，因此旗杆与地面垂直。
2 已知：bα，c α,b∩c=E， β∩γ=a，c⊥β，b⊥γ。
练习
4、如果三条直线共点、且两两垂直，其中 任一条直线是否垂直于另两条直线确定的 平面？为什么？
5、如果一条直线垂直于一个三角形的两边， 能否断定这条直线和三角形的第三条边垂 直？为什么？
例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。 （此定理可看作线面垂直的判定定理二）
2.若直线和平面平行,或直线在平面内, 则直线和平面所成的角为0 °
直线和平面所成角的取值范围为
[0°,90°]
例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求: 直线A1B和平面A1B1CD所成的角 求可线以它面作有角出固关 线定键 面格是 角式过。，线上一一找点，，二找证面，的三垂线计。算这。样
一条直线与一个平面内的两条相交直
线都垂直，则该直线与此平面垂直．
la
l
l b a
b


l



b

Aa
a b A
线不在多，相交就灵
作用：
记忆：线线垂直，则线面垂直
判定直线与平面垂直．
练习
1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？ 2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？ 3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直 线，能否判断这条直线和这个平面垂直？