惯性矩及弯曲变形公式

截面惯性矩及用曲率表示的梁的弯曲变形公式推导

一、定义

截面惯性矩是一个几何量，是一个截面参数，通常被用作描述截面抵抗弯曲的性质。

任意截面如图所示，其面积为A，在坐标为(y，z)的任一点处，

取微面积dA，则下述面积分

I z=⎰A y2dA

I y=⎰A z2dA

分别称为截面对z轴和对y轴

的惯性矩。

二、梁的弯曲变形公式推导

为什么要这样定义惯性矩，这个截面参数有什么意义呢？

为了说明这个问题，我们举个实例来加以说明。

梁在承载力和作用下，是怎么发生弯曲的呢？

如图所示，一小段梁的纯弯曲状

态。梁弯曲时部分“纤维”伸长，比如

图中(a)中的直线ab变为(b)中的弧线

a’b’；部分“纤维”缩短，比如图中(a)

中的直线cd变为(b)中的弧线c’d’；由

伸长区到缩短区，其间必存在一长度不

变的过渡层，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。

用横截面1-1与2-2从梁中切取长度为dx的微段，并沿截面纵向对称轴与中性轴分别建立y轴与z

轴，如图所示。梁弯曲后，纵坐标

为y的直线ab变为弧线a’。设

截面1-1与2-2间的相对转角为

dθ，中性层O1O2的曲率半径为ρ，

则ab的变形量为

a’b’-ab

=a’b’-dx

=(ρ+y)dθ-ρdθ

ab的正应变为ε=(a’b’-ab)/(dx)=((ρ+y)dθ-ρdθ)/(ρdθ)=y/ρ由于距中性层相同距离的各“纤维”的变形相同，所以，上述应变ε即代纵坐标为y的任一“纤维”的正应变。

各“纤维”处于单向受力状态，因此，当正应力不超过材料的比例极限时，即可应用胡克定律，由此得横截面上纵坐标为y处的正应力为σ

σ=Ey/ρ(E为材料的弹性模量)

可见，σ与y成正比，如上图中(c)，

即正应力沿截面高度线性变化，而中性轴

上各点处的正应力则为零。

如右图所示，横截面上各点处的法向

微内力σdA组成一空间平行力系，横梁面

上没有轴力，仅存在位于x-y平面的弯矩M,因此，有

⎰A yσdA=M

⎰A y(Ey/ρ)dA=M

(E/ρ)⎰A y2dA=M

其中，式中⎰A y2dA是一个只与截面有关的参数，这就是截面惯性矩Iz,I z=⎰A y2dA

可见，把⎰A y2dA定义为截面惯性矩，可以大大简化工程计算过程，也非常便于参数化计算，这也是工程计算的需要。这样，

上式就简化成了

/ρ=M

EI

z

)

1/ρ=M/(EI

z

这就是用曲率表示的弯曲变形公式。