[第三章]赋范线性空间

验证得知 满足距离的三条公理，因此，(E, g )在范数意
义下（以后均指这种情况）是距离空间 (E, ) ，称为由范
数导出的距离空间。
注意： 距离空间 赋范线性空间 。
但当距离空间满足下列三个条件时 ① 是线性空间；
② (x, y) (x y,0)；
③ ( x,0) g(x,0) 可用距离定义范数 x (x,0)，验证知三条范数公理成 立，则距离空间 (E, ) 也是(E, g )。
（2）(x y) z x ( y z) （3）“零元素”0 E,有 x 0 x （4）“负元素” x E,有 x (x) 0
（5） (x) ()x
（6）1 x x, 0 x 0
（7） ( )x x x
（8） (x y) x y
则称 E 是（数域 K 上的）线性空间（或向量空间）。 满足八条运算规律的两种运算称为线性运算。
例1 Rn —— n 维向量全体，在通常意义下的“加法” 和“数乘”运算下是线性空间。
例2 C[a,b]、 L[a,b] （在[a,b]上可积分函数全体），在 通常意义下的“加法”“数乘”运算下是线性空间。
§3.1 定义和举例
1）定义（线性空间）设 E 是非空集合，K 是实（或复） 数域。在 E 中定义两种运算
加法：x, y E, 存在唯一 z E, 记作 z x y
数乘：x E, k, 存在唯一 E, 记作 x
且满足八条运算规律：
（1） x y y x
②
x 1
b a
x(t)
dt ，则(C,
x
1 )是赋范线性空间。
例3
L2 [a, b] 是线性空间，若定义
x
(
b
x(t)
2
1
dt ) 2
，则(L2 ,
x
)是赋范线性空间。
a
1
距离 (x, y) x y b x(t) y(t) 2 dt 2 a
例 4 l p (P 1) 是线性空间，若定义
在 L2[a,b]中，按范数
x
b
(
2
a
1
x(t) 2 dt)2 ，(L2,
x
2 )是 Banach
空间
§3.2 按范数收敛
赋范线性空间中点列的收敛性及概念，只要在由
范数导出的距离 (x, y) x y 之下来讨论，就可以得
到相应的结论。
1） 定义 设 E 是赋范线性空间，点列 xn及x E ，如果
第3章 赋范线性空间
§3.1 定义和举例 §3.2 按范数收敛 §3.3 有限维赋范线性空间
在第 2 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
k1
x 2
x 1 k2
x 2。
证：
反证法
§3.3 有限维赋范线性空间
有限维赋范线性空间比一般赋范线性空间有更多的 优势，通常在有限维赋范线性空间中处理问题更简单。
1) 定义 设 E 是赋范线性空间。若存在 n 个线性无关的
元素 e1,e2, L ,en E ，使得x E ，有唯一表达式
n
x x1e1 x2e2 L xnen xiei i1
则称 E 为有限维（n 维）赋范线性空间。称{e1,e2,L ,en}
为 E 的基（底），而称{x1, x2,L , xn}为 E 在该基下的坐标。
2）性质 除了一般的赋范线性空间的性质外，有限维赋 范线性空间还有一些特殊的性质。 （1） 有限维赋范线性空间的各种范数等价。 （2） 有限维赋范线性空间必是完备、可分的空间。 （3） 赋范线性空间 E 是有限维的 E 中的任意有界闭集 是列紧的（即有界闭集中的任意点列都有收敛的子列）。 （4） 任意 n 维赋范线性空间都与 Rn 代数同构（有相同的 代数运算性质）。
例3 Pn (x)——次数不超过 n 的多项式全体，在通常的 “加法”“数乘”运算下是线性空间。
例4 Qn (x) ——次数等于 n 的多项式全体，在通常意义 下的“加法”“数乘”运算下不是线性空间。
2）赋范线性空间 （1）定义 设 E 是实数(或复数)域 K 上的线性空间。 若xE 按规一则定 实数 x 0，且满足下列三条(范数公理)
lim
n
xn x
0
则称点列 xn 按范数收敛于 x ，或称 xn 强收敛于 x ，记作
lim
n
xn

x
(强)。
2）性质 设 E 是赋范线性空间,{xn},{yn} E, {n} K（数域）
（1）有界性：若 xn x (强)，则数列 xn 有界
（2）范数的连续性：即Tx x , T 是连续泛函
4）巴拿赫空间（Banach） 如果赋范线性空间(E, g )按范数导出的距离空间
(E, ) 是完备的，则称 E 是 Banach 空间。
同样的，不完备的赋范线性空间可以完备化。
n
例：在 Rn 中，按范数 x 2 xi 2 ，(Rn, x 2 )是 Banach 空间; i 1
在C[a,b]中，按范数 x max x(t) ，(C, x )是 Banach 空间； t[ a ,b ]
②
x

max 1in
xi
，则(R n ,
x
)是赋范线性空间。

n
③
x 1
xi ，则(Rn, x 1 )是赋范线性空间。
i 1
例2 C[a,b]是线性空间，若
定义
① x max x(t) ，则 (C, x )是赋范线性空间。 t[ a ,b ] 距离 (x, y) x y max x(t) y(t) t[ a ,b ]
若定义 x sup xi ，则(l, x )是赋范线性空间。 1i
注：由于(E, g )在 (x, y) x y 定义下也是 (E, ) ， 所以在(E, g )中可类似定义——邻域、开集、闭集、极 限点、收敛点列、柯西点列等，并可讨论相关的结论： 完备性、可分性、紧性等。
若又由
xn
0
2
xn
0 ，即
1
Hale Waihona Puke Baidu
x
2比
x 1更强，
则称范数 x 1与 x 2等价。
注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数
x、 1
x、 2
x 相互等价
定理（范数等价判别定理）在线性空间 E 中，两种范数
x与 1
x
2等价的 k1 0, k2
0,
对于x E ，都有
（1）正定性： x 0,当且仅当x 0时, x 0 （2）齐次性： x x （3）三角不等式x, y E, 有 x y x y x y
则称实数 x 为 x 的范数，称 E 为赋范线性空间，记作
(E, g )或 E 。
（2）(E, g )与 (E, ) 之间的关系 若在(E, g )中，按范数定义距离，即 x, y E, (x, y) x y ，
x 是 x 的连续泛函 xn x时, xn x
（3）线性运算按范数收敛是连续的
即若 xn x, yn y , n xn yn x y, nxn x
3）范数的等价性
定义
设线性空间 E 中定义了两种范数
x和 1
x 2
如果由 xn 1 0 xn 2 0 ，称 x 1比 x 2更强；

1
x p ( xi p ) p ，则(l p , x p )是赋范线性空间
i 1

p 1/ p
距离 (x, y) x y xi yi ，
i1

特别的， l — 表示一切有界数列 x (x1, x2,L , xn,L ) 的
全体，按通常定义下的“加法”“数乘”运算是线性空间。
3）常见赋范线性空间
例 1 在线性空间 Rn 中，
x (x1, x2,L , xn ), y ( y1, y2,L , yn ) R n
n
定义 ①
x 2
xi 2 ，则(Rn, x 2 )是赋范线性空间。
i 1
n
距离 (x, y) x y (xi yi )2 i 1