全等三角形复习(精品公开课)
全等三角形复习课---公开课省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

B E CF
(4)若∠B=∠DEF=90°BC=EF,要以“HL” 为根据, 还缺条件_A_C=_D_F _
= =
二、挖掘“隐含条件”判全等
AD
1.如图(1),AB=DC,AC=DB,
则△ABC≌△DCB吗?说说理由
B 图(1) C
2.如图(2),点D在AB上,点E在AC B
D
上,CD与BE相交于点O,且
B
5.如图在△ ABC、 △ ADE中∠B=∠ED,
D
AC=AE, 且∠CAE=∠ 吗?为何?
解: BC=DE,理由是: ∵ ∠CAE=∠BAD ∴ ∠CAE+ ∠ EAB ∠ =∠BAD + ∠EAB ∴ ∠CAB= ∠EAD 在△ CAB与△ EAD中 ∠CAB= ∠EAD ∠B=∠D
回忆知识点:
➢1、全等图形旳定义是什么?全等三角形旳定 义是什么?
➢2、全等三角形旳性质是什么?
➢3、一般三角形全等旳鉴定有几种定理?分别 是?直角三角形全等旳鉴定有几种定理?分别是?
➢4、角平分线旳性质是什么?角平分线旳鉴定 是什么?
➢4分钟后,比谁能精确旳回答上面旳问题。
本章总结提升
本章知识框架
CAB旳角平分线AE交边CB于E点,过E点作EF⊥AB于
F,已知AB等于10㎝,求△EFB旳周长?
解:∵AE平分∠ CAB ,EF⊥AB于F ,
C
∠ACB=90°∴EC ⊥AC于C
∴CE=FE, 又∵AE=AE, ∴Rt △ACE≌ Rt
E
△AFE(HL)
∟
∴AC=AF, ∴EF+BE=CE+BE=BC=AC=AF,
AB=AC ∠BAF= ∠CAF AF=AF ∴ △ABF≌ △ACF(SAS)∴ BF=CF
初中数学《全等三角形》复习课公开课精品课件

A
E
D
A E
B
C
B
D A
C
B D
A
E
A
D
C
D
C B
A
D B
C
F
B
A D
B E
C F
A
C
B
基本 图形 演变
D E
C
活动2 知识应用
在△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C
A
B
C
如图,AC=BD,∠CAB= ∠DBA, 你能判断BC=AD吗?说明理由。
C
D
A
B
恭喜你,用家乡话唱两句 班歌或介绍一样家乡特产
课堂小结
本节课你收获了什么? 在证明全等时对同学有什么温馨提示?
分层作业
必做: 《导与练》25页1,3 选做: 《导与练》26页13,14
知识就是力量
“草长莺飞二月天,拂堤杨柳醉春烟, 儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢。” 如图是小东同学自己做的风筝,他根据, AB=AD, BC=DC,不用度量,就知道∠ABC=∠ADC。 请用所学的知识给予说明,并说出说出是应用 哪一章 的知识来解决这个问题的?
全等三角形(复习)
活动1 小组合作 打通脉络
脉络1 概念
. 如图在△ ABC、 △ ADE中∠B=∠D,
AC=AE, 且∠CAE=∠BAD,
则BC=DE 吗?为什么?
B
E
D
C
A
如图,∠ACB=90°,AC=BC, BE⊥CE,AD⊥CE于D, AD=2.5cm,DE=1.7cm。 求:BE的长。
B
E
DCAFra bibliotek已知:AB=AC,BE=CD. 求证:∠B=∠C.
完整版-全等三角形总复习教学课件

判定 到角的两边的距离相等的点在角平分线上 2
全等三角形的判定方法
三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等(可以简写
为“边边边”或“SSS”)。
A
用符号语言表达为:
在△ABC和△ DEF中
B
C
AB=DE
D
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF(SSS) E
F
2024/9/30
3
三角形全等判定方法2
∴ △ABC≌△DEF(AAS)
2024/9/30
6
三角形全等判定方法5
有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等(HL)。
在Rt△ABC和Rt△DEF中
A
D
AB=DE (已知 ) AC=DF(已知 )
C ∴ △ABC≌△DEF(HL)
2024/9/30
B
F
E
7
知识点
1.全等三角形的性质: 对应边、对应角、对应线段相等, 周长、面积也相等。
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
2024/9/30
17
例3. 已知: AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD. 求证:BC=AD.
D
C
A
B
2024/9/30
18
▪例4:下面条件中, 不能证出Rt△ABC≌Rt△A' B'C'的是[ C] (A.)AC=A'C' , BC=B'C' (B.)AB=A'B' , AC=A'C' (C.) AB=B'C' , AC=A'C' (D.)∠B=∠B' , AB=A'B'
全等三角形复习完整版课件

全等三角形复习完整版课件一、教学内容本节课将复习全等三角形的相关知识。
教学内容主要基于教材第十二章第三节“全等三角形的判定与应用”,详细内容包括:全等三角形的定义、判定条件(SSS、SAS、ASA、AAS)、实际应用问题及全等三角形的性质。
二、教学目标1. 理解并掌握全等三角形的定义和判定条件,能够运用这些条件判断两个三角形是否全等。
2. 学会运用全等三角形的性质解决实际问题,提高解决问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点教学难点:全等三角形的判定条件的运用。
教学重点:全等三角形的定义、判定条件及性质。
四、教具与学具准备1. 教具:三角板、量角器、直尺、多媒体课件。
2. 学具:三角板、量角器、直尺、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入通过展示生活中的全等三角形实例,引导学生关注全等三角形的特点,激发学生学习兴趣。
2. 例题讲解讲解教材例题,分析全等三角形的判定方法,引导学生运用判定条件解决问题。
(1)运用SSS判定全等三角形(2)运用SAS判定全等三角形(3)运用ASA判定全等三角形(4)运用AAS判定全等三角形3. 随堂练习(1)判断题:给出四个选项,让学生判断哪些选项是全等三角形。
(2)选择题:给出四个选项,让学生选择正确的全等三角形判定条件。
(3)解答题:运用全等三角形的判定条件,求解实际问题。
4. 小组讨论组织学生进行小组讨论,分享解题心得,互相学习。
六、板书设计1. 全等三角形的定义2. 全等三角形的判定条件(SSS、SAS、ASA、AAS)3. 全等三角形的性质4. 例题及解答步骤七、作业设计1. 作业题目① 两个三角形的三个角分别相等,那么这两个三角形全等。
② 两个三角形的一边和两个角分别相等,那么这两个三角形全等。
(2)已知:在三角形ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E是AC的中点。
求证:三角形ABD和三角形EBC全等。
2. 答案(1)① 错误。
全等三角形复习课.PPT课件

(3):要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;
(4):时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”
2021
27
根据
(用简写法),请写出证明过程。
(2)若∠A=∠D,BC=EF,
则△ABC与△DEF
(填“全等”或“不全等” )
根据
(用简写法)请写出证明过程。
2021
14
3、如图,AB⊥BE于C,DE⊥BE于E,
(3)若AB=DE,BC=EF,
则△ABC与△DEF
(填“全等”或“不全等” )
根据
(用简写法)请写出证明过程。
第12章 全等三角形(复习)
2021
1
注意:两个三角形全等在表示 时通常把对应顶点的字母写在
对应的位置上。
A
D
B
能否记作 ∆ABC≌ ∆DEF?
F CE 应该记作∆ABC≌ ∆DFE
原因:A与D、B与F、C与E对应。
2021
2
A
全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等 B
C
,对应角相等
D
如图: ∵ △ABC≌△DEF
O
A
E
AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm,C
则∠C= 20°,BE= 5c.m说说理由.
图(2)
3.如图(3),AC与BD相交于O,若 A
D
OB=OD,∠A=∠C,若AB=3cm,
O
则CD= 3cm . 说说理由.
B 图(3)C
学习提示:公共边,公共角,
对顶角这些都是隐含的边,角相等的条件!
2021
全等三角形判定复习课(精品公开课)ppt课件

1 A
2
下列条件:①A①BA=BA=EA,②E
D
BC=ED,③∠C=∠D,④
在ΔABC和ΔAED中
∠B=∠E,其中能使
AC=AD
ΔABC≌ΔAED的条件有
∠BAC=∠EAD
( )个. A.4 B.3 C.2 D.1
AB=AE
∴ΔABC≌ΔAED(SAS)
可编辑课件PPT
12
C
E
例2 (2006湖北十堰):如图, 已知∠1=∠2,AC=AD,增加 B
1 A
2
下列条件:①AB=AE,②
D
BC=ED,③∠C=∠D,④
在ΔABC和ΔAED中
∠∠BB=∠=∠EE,其, 中能使
AC=AD
ΔABC≌ΔAED的条件有
∠BAC=∠EAD
( )个.
A.4 B.3 C.2 D.1
∠B=∠E
∴ΔABC≌ΔAED(AAS)
可编辑课件PPT
15
例3 (2007金华):如图,
AB=A’B’
BC=B’C’
B
C B’
C’
AC=A’C’
全等三角形对应边相等,对应角相等
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3
三、全等三角形的判定
1、判定1:两边和它们的夹角对应 相等的两个三角形全等。简称“边 角边 ”(SAS)。 2、判定2:两角和它们的夹边对应 相等的两个三角形全等。简称“角 边 角”(ASA)
可编辑课件PPT
16
∵AB=CD(已知) ∴ AB+BC=CD+BC, 即
AC=BD.
知,AB=CD,CE=DF,AE=BF, 在ΔACE和ΔBDF中
则AE∥BF吗?为A 什么?
全等三角形中考复习公开课获奖课件

通过不断练习和反思,逐渐提高 解决全等三角形问题的能力
05
知识拓展与延伸
相似三角形简介
相似三角形的定义
对应角相等,对应边成比例的两 个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等,对应 边成比例;相似三角形的周长比 等于相似比;相似三角形的面积
比等于相似比的平方。
相似三角形的判定
02
全等三角形的判定方法
本次课程重点讲解了SSS、SAS、ASA、A深了学生对这些判定方法的理解和掌握。
03
全等三角形在中考中的应用
通过分析历年中考数学试题,总结了全等三角形在中考中的常见考点和
题型,如证明题、计算题和应用题等,帮助学生更好地应对中考。
注意事项
在应用角边角定理时,必 须确保所比较的两角和夹 边是对应相等的。
直角三角形全等条件
定理内容
斜边和一条直角边对应相等的两 个直角三角形全等。
应用举例
在证明两个直角三角形全等时,如 果已知斜边和一条直角边相等,可 以直接应用此定理。
注意事项
在应用此定理时,必须确保所比较 的斜边和直角边是对应相等的,并 且两个三角形都是直角三角形。
的解题能力。
解题策略与技巧分享
熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理,理解其本质和内涵。 学会根据已知条件和图形特点选择合适的证明方法,如SSS、SAS、ASA、AAS等。
掌握一些常用的辅助线作法,如中线、垂线、角平分线等,以便更好地解决问题。
实战演练,提升应试能力
选取具有代表性的中考真题进行模拟 演练,让学生亲身体验考试氛围和难 度。
THANKS
感谢观看
学生自我评价报告
知识掌握情况
大部分学生表示通过本次课程的学习,对全等三角形的定义、性质和判定方法有了更深入的 理解,并能够灵活运用所学知识解决相关问题。
八年级数学全等三角形复习市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

一、∵△ABC≌ △DFE
∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE
(
)
∴ 全∠等A三=角∠形D旳, ∠相应B=边相∠ 等F ,
∠ C= ∠ E
(
)
全等三角形旳相应角相等
二、选择题
△ABC≌ △BAD,A和B、C和D是相 应点,假如AB=5cm,BD=4cm, AD=6cm,那么BC旳长是A( ) (A)6cm (B)5cm (C)4cm ( D)无法拟定 在上题中, ∠CAB旳相应角是 (B )
作业:练习册第43-44页 第18题第19题
; 链家金融
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巧赶上了一种出行旳“黄道吉日”。天儿还没有大亮起来,耿正兄妹三人就早早地收拾利落了。他们简朴地吃了早饭,把饭锅 碗筷什么旳洗刷洁净规整放置好后,又在小院儿各屋各处仔细检验了一番,发觉确实已经没有任何漏掉和不当了,就各自穿好 孝服。耿直帮着哥哥套上骡车,耿英轻轻打开院门。耿正拿起铁锹,在门槛儿旳里、外两边重新垫上一种斜坡。耿直从哥哥手 里接过铁锹,耿正轻轻驾驭骡车出了院门,耿直立即就将里边旳斜坡铲掉了。耿英随即拉上院门,锁上门锁。最终,耿正从弟 弟手里拿过铁锹,把院门外边旳斜坡也铲洁净,而且将铁锹插到了装在车后旳两个草料袋子之间。耿直有些不解,奇怪地小声 说:“哥,咱带这把铁锹干啥啊?你昨儿个买这把铁锹时,我就以为是多出呢,南房里不是已经有一把了嘛!原来,你是要带 上啊!”耿正说:“带上吧,万一路上需要铲一铲,垫一垫旳,有个家伙什儿使用总会好一点儿旳。再者说了,万一路上遇到 了野狗什么旳,还能够作为武器使呢!”耿直说:“不是已经带了两条捅火棍了嘛,难道说你还要给我姐也带一件长武器不 成!”耿正笑而不答。耿英说:“小直子啊,有咱哥操持着,你就是个长不大旳样子。好好儿留心学着点儿啊!”耿直不好意 思地吐吐舌头,小声儿说:“我学着呢,只但是是总也赶不上咱哥罢了!”耿正拍拍弟弟旳肩膀,怜爱地说:“也难为你了, 小小年龄就跟着我们一起到处颠簸!好在你目前长得比我当年离家旳时候还高大壮实。回去见了咱娘,哥哥姐姐也好有个交代 了。”耿正一边说着话,一边接过耿英递过来旳招魂幡,将其牢牢地插在车棚旳左前侧。然后,耿英先上车坐在车棚子里边, 耿正坐在驾车位置,耿直坐在哥哥对面旳辕条背面。如此,这挂装扮得像模像样旳“送灵车”就在晴好天日里旳微微晨曦中, 悄悄地出发往景德镇旳方向去了。按照事先设想好旳,每日傍晚入住客栈之前,耿正兄妹三人就在客栈门口脱掉孝服,将招魂 幡也拔了一起放回车棚内,然后用大红色篷布将整个车棚都严严实实地蒙上,并将四角用绳子系牢。然后,兄妹三人只穿一般 衣服,随身携带一种软皮箱,赶着骡车很礼貌地走进客栈。沿途各客栈那些负责接待旳伙计,一据说是个“灵车”原来是有某 些忌讳旳,但看到这送“灵”旳三个孝子倒还挺懂事,不但脱了孝服才进客栈,而且还懂得进门之前将车棚用红布蒙上,也就 不再多说什么了。甚至有旳客栈伙计还出于同情怜悯旳心情,会给耿正兄妹三人以及拉“灵车”旳大白骡某些额外旳优待和照 顾呢!每日里昼行夜宿不提。就在出发返家第五天旳上午,白色大骡子拉着这挂大块头旳平板车在景德镇北门外老梁头夫妇旳 坟前停了下来。兄妹三人跳下车,耿正将骡子拴在坟前旳那棵大榆树
全等三角形判定复习-ppt公开课课件

课堂小结
边角边公理 角边角公理 边边边公理 角角边公理
作业:课本P115 1~8
小结
为了规范事业单位聘用关系,建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ,保障 用人单 位和职 工的合 法权益
角角边公理(AAS)
有两角和其中一角的对边对 应相等的两个三角形全等
小结
课前热身
已知:如图,AB=DC,AD=BC. 求证: ∠A= ∠C.
例1
已知:如右图,AB、CD相交于点O, AC∥DB,OC = OD, E、F为 AB上两点,
且AE = BF. 求证:CE=DF.
A
C
E
F
D
.
例2
A
如右图, 已知:AB=AD,CB=CD.
求证:AC⊥BD.
B
O
D
C
已知:△ABC的顶点和△DBC 的顶点A和D在BC的同旁, AB =DC, AC = DB, AC和DB相交 于点O.
求证:OA =OD.
练习一
继再 续接 学再 习厉 新, 知让 识我 吧们
教学重难点
教学重点:能让学生选择适当判定方法 判定两三角形全等。
教学难点:培养学生有条理的分析、推 理能力,并写出证明过程。
前面的知识你忘记了吗?
让我们一起来 复习一下吧
我们学过几种三角形的全等判定呢?(4种)
边角边公理 角边角公理 边边边公理 角角边定理
为了规范事业单位聘用关系,建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ,保障 用人单 位和职 工的合 法权益
为了规范事业单位聘用关系,建立和 完善适 应社会 主义市 场经济法权益
全等三角形公开课获奖课件省赛课一等奖课件

找出下列全等三角形旳相应边、相应角
△ADE≌△CBF
A
E
B
D
F
C
找出下列全等三角形旳相应边、相应角 A △ABN≌△ACM △ABM≌△ACN
B
M
N
C
找出下列全等三角形旳相应边、相应角
A
D △AOB≌△DOC
△ABC≌△DCB
O
B
C
请填空
公共点 A
D
1、若△AOC≌△BOD,AC= BD
∠A= ∠B
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F(全等三角形相应角相等)
先写出全等式,再指出
它们旳相应边和相应角
A
D
C
E
B
F
∵△ACB≌△DEF
∴AB=DF, CB=EF,AC=DE.
∴∠A=∠D,∠CBA=∠F,∠C= ∠DEF.
先写出全等式,再指
C
出它们旳相应边和相应角
A
B
∵△ABC≌△ABD
D ∴AB=AB,BC=BD,AC=AD.
EA PC MD NhomakorabeaA
BN
B
C
下列两三角形是怎样由一 种三角形得到另一种三角 形?它们有什么特点?
A
B
D
A
B
C
D
C
E
下列两三角形是怎样由一 种三角形得到另一种三角 形?它们有什么特点?
D
B
C
一种三角形经过平移、旋转、翻折 后所得到旳三角形与原三角形全等。
各图中旳两个三角形是全等形吗?
A
D
B
A
CE
F
C
D
规律四:一对最长旳边是相应边
全等三角形复习课公开课课件

性质定理
性质定理1
全等三角形的对应边上的高等 于对应边长。
性质定理2
全等三角形的对应角平分线相等。
性质定理3
全等三角形的对应中线相等。
性质定理4
全等三角形的周长和面积都相等。
02
全等三角形的证明方法
边边边(SSS)
总结词
当两个三角形的三边分别相等时,这两个三角形全等。
详细描述
如果两个三角形的三组对应边分别相等,则这两个三角形全等。在证明过程中, 需要确保三组对应边的长度相等,才能应用边边边(SSS)判定方法。
竞赛题目
这类题目难度较大,通常出现在数学竞赛中, 需要学生具备扎实的数学基础和较高的数学 思维能力。
03
全等三角形的应用
在几何图形中的应用
证明线段相等
全等三角形是证明线段相等的常 用工具,可以通过构造全等三角 形或利用已知全等三角形来证明。
证明角相等
全等三角形中的对应角相等,可以 利用这一性质来证明其他角相等, 或者在证明过程中创造相等的角。
图形构造与补全
全等三角形可以用于构造新的图形, 或者用于补全不完整的图形,从而 证明某些几何性质。
数学竞赛中的证明题
全等三角形是数学竞赛中常见的考点, 常常用于证明某些几何性质或结论。
数学竞赛中的解答题
数学竞赛中的填空题
在数学竞赛的填空题中,也可能会涉 及到全等三角形的性质和结论,需要 考生熟练掌握全等三角形的相关知识 点。
全等三角形也常用于数学竞赛中的解 答题,需要考生灵活运用全等三角形 的性质来解决复杂的问题。
VS
实际应用题
这类题目将全等三角形知识与实际问题相 结合,如涉及几何图形、建筑、测量等领 域,要求学生能够灵活运用全等三角形知 识解决实际问题。
全等三角形判定复习课公开课PPT

一般三角形 全等的条件:
解题 中常 用的 4种 方法
1.SSS; 2.SAS; 3.ASA; 4.AAS.
不包括其它形 状的三角形
直角三角形 全等特有的条件: HL.
课堂练习:
已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件 求证:ΔABC≌ ΔDEF AB=DE (1)若要以“SAS”为依据,还缺条件 _____; (2) 若要以“ASA”为依据,还缺条件____; ∠ACB= ∠DFE ∠A =∠D ; (3) 若要以“AAS”为依据,还缺条件_____ AB=DE、AC=DF (4)若要以“SSS” 为依据,还缺条件_____;
情景导入:
如图,小明同学把一块三角形的玻璃 打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一 块完全一样形状的玻璃,那么最省事的 办法是带哪一块去配?
①
②
③
学习目标:
1、通过全等三角形的概念,性质和判定方法的复习, 让学生掌握判定全等三角形的一般方法并能运用。 2、让学生经历观察、猜想、证明、归纳的过程,发 展学生合情合理的推理能力,渗透转化的数学思想。 3、引导学生共同参与,激发数学求知欲,并养成良 好的数学学习惯。
猜想:BE=AD+DE 证明: ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE, 又∵AC=BC, ∴△ACD≌△CBE, ∴AD=CE,CD=BE, ∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD.
即: BE=AD+DE
规律方法总结
要证明两条线段的和与一条线 段相等时常用的两种方法: 1、可在长线段上截取与两条 线段中一条相等的一段,然后 证明剩余的线段与另一条线段 相等。 2、把一个三角形移到另一位 置,使两线段补成一条线段, 再证明它与长线段相等。
全等三角形总复习课件

理解面积的概念和计算方法,找出全等三角形,并利用全等三角形的 性质进行计算。
常见考点
全等三角形的判定和性质、面积的计算和比较、几何图形的面积公式 等。
05
全等三角形的易错点分析
判定定理的混淆
总结词
判定定理的混淆是学生在学习全等三角形时常见的问题,主要表现在不能正确理解和区 分SSS、SAS、ASA、AAS和HL等判定定理。
03
全等三角形的解题策略
构造法
总结词
通过添加辅助线构造新的三角形,利用已知条件证明新构造的三角形与原三角形全等,从而解决问题 。
详细描述
构造法是解决全等三角形问题的一种常用策略。通过作平行线、垂线或延长线等辅助线,构造出新的 三角形,利用已知条件证明新构造的三角形与原三角形全等,从而得出所需结论。在运用构造法时, 需要充分理解题意,寻找合适的构造方式。
详细描述
计算题通常会涉及角度、边长等几何量的计算。在解题过程中,学生需要利用 全等三角形的性质和定理,找到与所求量相关的已知量,通过计算得出结果。
作图题
总结词
作图题是全等三角形应用中较为特殊的一种题型,主要考察学生的空间想象能力 和作图技能。
详细描述
作图题通常会要求学生根据已知条件,画出两个全等的三角形。在解题过程中, 学生需要理解全等三角形的性质和判定定理,并能够根据题目要求进行准确的作 图。
推论
全等三角形的周长、面积 相等。
判定定理
SSS定理
SAS定理
如果两个三角形的三边分别相等,则这两 个三角形全等。
如果两个三角形的两边及其夹角分别相等 ,则这两个三角形全等。
ASA定理
HL定理
如果两个三角形的两角及其夹边分别相等 ,则这两个三角形全等。
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三角形的6组元素(3组对应边、3组对应角) 中,要使两个三角形全等,到底需 要满足哪些条件?
6选1 or 6选2
= = —— // // (两条边对应相等) (两个角对应相等) (一个角对应相等) (一条边对应相等) (一个角、一条边对应相 等) 6选1:一个角对应相等的两个三角形不一定全等; 一条边对应相等的两个三角形不一定全等; \\ ① \\ ②
图1
B
图2
C
E
如图,已知E在AB上,∠1=∠2, ∠3=∠4, 那么AC等于AD吗?为什么?
A E
C 3
解:AC=AD
理由:在△EBC和
4 D
1 2
△EBD中 B ∠1=∠2 ∠3=∠4 EB=EB ∴ △EBC≌△EBD (AAS)
∴ BC=BD
在△ABC和△ABD
4.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重 合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三 角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于 点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个 结论: ① AD=BE; ② PQ∥AE;
解: ∵△ABD≌ △EBC ∴AB=EB、BD=BC
∵BD=DE+EB
∴DE=BD-EB
=BC-AB
=5-3=2cm
二层:两个三角形的呈现不明显, 有重叠的部分,需从已知条件出 发找需要的三角形(可用阴影标 出)
如图,已知AB=AC,AD=AE,AB、DC相交于点M, AC、BE相交于点N,∠1=∠2,试说明:(1) △ABE ≌ △ACD (2)AM=AN A D M
已知∠1+∠2=100°,则∠A=
度;
4.如图,D,E分别为△ABC的AC,BC边的中 点,将此三角形沿DE折叠,使点C落在AB边 上的点P处.若∠CDE=480,则∠APD等 于 .
首先:我们把与三角形全等相关的知识 点大致分成三个层次,以便同学们了解 自己的学习程度和应努力的方向。
一层:两个三角形以较明显的形 式呈现,易发现,几种基本的形 式见下图:
41
如图等边△AEB与等边△BCD在 线段AC的同侧。 求证: △ABD≌△EBC
E D
A
B
C
如图,△ABC与△DCE都是等边三角 形,点D在BC上,AD与BE相等吗? 试说明理由。 A
B
D
C
E
如图,△ABC与△DCE都是等边三角形, 点D在△ABC内,AD与BE相等吗? A 试说明理由。
D B E C
三层:题目的条件、结论都需要 同学们全面考虑,综合所学的知 识点并能灵活运用.
例5:如图,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足为D、E, AD交CE于点F,AD=CE,试说明AF=CF 证: ∵AD⊥BC,CE⊥AB A ∴∠BEC=∠BDA=90。 E
在△BAD和△BCE中 ∠B=∠B
∵ ∠BEC=∠BDA=90
如图,△ABC与△DCE都是等边三角 形,点D.E在△ABC外,AD与BE相 等吗?试说明理由。 A
E
D
B C
已知如图△ABD与△ACE均为等边 三角形,求证:DC=BE
D A E
C B
如图,已知正方形ABCD和等腰直角 三角形△ECF,试说明BE=DF。
A D
E F
B
C
什么叫全等三角形?
A Aˊ
B
C
Bˊ
Cˊ
两个能完全重合的三角形叫做全等 三角形。
全等三角形的性质?
A
Aˊ Bˊ
B
C
Cˊ
全等三角形:对应边相等,对应 角相等。
AB=A’B’, AC=A’C’, BC=B’C’
△ABC
≌ △A’B’C’
∠A=∠A’ ,∠B=∠B’,∠C=∠C’
全等三角形共有6组元素(3组对应边、3组对应角)
证明:
AF CE AF FE CE FE 即AE CF 又 BE ∥ DF 1 2 在ABE和CDF中
AE=CF 1 2 BE=DF
AEB ≌ CFD (S.A.S.) A C AB ∥CD
3、如图△ABD≌ △EBC, AB=3cm,BC=5cm,求DE的长
17
5、已知:∠B=∠DEF,BC=EF,现要 证明△ABC≌△DEF, AB=DE; 若要以“SAS ”为依据,还缺条件______ 若要以“ASA ”为依据,还缺条件 _______;
∠ACB=∠F
D
若要以“AAS ”为依据,还缺条件∠A=∠D _______
A
并说明理由。.
B
E
C
F 18
如图:将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点F处,
6选2: 两个角对应相等的两个三角形不一定全等;
两条边对应相等的两个三角形不一定 全等; 一角和一边对应相等的两个三角形不一定全等;
可见:要使两个三角形全等, 3 应至少有 组元素对应相等。
边边边 (SSS) 两边一角 6选 3
两边和它的夹角(SAS)
两角一边
角角角 ×
两边和它一边的对角 × 两角和夹边(ASA)
1 2
∵
AC=DB BC=BC
C
A
∴ △ABC≌△DCB(S.S.S) ∴ ∠A=∠D
(接下来自己证明△AEC≌△DEB(A.A.S) )
∴ EA=ED
中考链接:1.两个大小不同的等腰直角三角
形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的 几何图形,B,C,E在同一条直线上,连结DC.
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明 (说明:结论中不得含有未标识的字母); D (2)证明:DC⊥BE. A
(1)线段相等、平行
A D
B A
C D
E F
F
D
B
C B E C F A
E
(2)公共边、公共角
A O D B B A B
D
C
A
C
D
C D A F
C
B
E
(3)对顶角
A
D
O
B
C
例1:如图,点B、E、C、F在同一条 直线上,AB=DE,AC=DF, A BE=CF,试说明∠A= ∠D
证:∵BE=CF
斜边、直角边公理 (HL)推理格式
∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中 AB=A´B´ BC=B´C´
∴Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´ (HL)
B B′
A
C
A ′
C ′
在找全等三角形的对应元素时一般有什 么规律?
有公共边的,公共边是对应边.
有公共角的,公共角是对应角.
1 2
E N
B
C
创造条件! ?
29
例3:如图,已知AB=AD,∠B=∠D , ∠BAE=∠DAC , 求证∠C=∠E E 证明: BAE DAC
B
BAE EAC DAC EAC C 即BAC DAE
A
D
在ABC 和ADE中
∠B=∠D AB AD ∠BAC=∠DAE ABC ≌ ADE (A.S.A)
③ AP=BQ; ④ DE=DP; ⑤ ∠AOB=60°.
B 恒成立的结论有_________ .
O D
P
Q
C E
A
拓展题
如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA, CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由。
C E D 要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法: 1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段,然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 (割)
C E
例4:如图,∠A=∠D=90。,BD于AC相交于点 O,且BD=AC。试说明OB=OC
证:∵ ∠A=∠D=90
。
A O B
1
D
∴△ABC和△DCB是Rt △ 在Rt△ABC和Rt△DCB中 BD=AC
∵
2
C
BC=BC
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(H. L) ∴∠1=∠2
∴OB=OC(等角对等边)
AD=CE B ∴ △BAD≌△BCE(A.A.S) ∴ BA=BC,BE=BD ∴ BA-BE=BC-BD 即EA=DC
1
。
F
2
D
C
(接下来自己证明△FAE≌△FCD(A.A.S) )
例6:如图,AB、CD相交于E,且AB=CD,AC =DB。求证:EA=ED
证: 连接BC 在△ABC和△DCB中 AB=CD D B E
A
B
2、把一个三角形移到另一位置, 使两线段补成一条线段,再证明 它与长线段相等。(补)
1. 如图,已知在△ABC中,∠C=2∠B, ∠1=∠2,求证:AB=AC+CD.
A 1 2 B D C
解析:采用截长补短法,延长AC至E, 使AE=AB,连结DE;也可在AB上截取 AE=AC,再证明EB=CD.
找一找 下列全等三角形的对应边和对应角
1、 △ ABE ≌ △ ACF 对应角是: ∠A和∠A、 ∠ABE和∠ACF、 ∠AEB和 ∠AFC;对应边是AB和AC、 、BE CF 。 2AE 、和 △AF BCE ≌和 △ CBF 对应角是: ∠BCE和 ∠CBF、 ∠BEC和∠CFB、 ∠CBE和 ∠BCF。对应边 是:CB和BC、CE和BF、 3、 △ BOF ≌ △ COE CF和BE。 对应角是: ∠BOF和∠COE、 ∠BFO 和∠CEO、 ∠ FOB和∠EOC。对应边是:OF和OE、OB和OC、 BF和CE。
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1.在两个三角形中,如果有 三条边对应相等,那么这两 个三角形全等(简记S.S.S)