全等三角形复习(精品公开课)

三角形的6组元素(3组对应边、3组对应角) 中，要使两个三角形全等，到底需 要满足哪些条件？
6选1 or 6选2
= = —— // // （两条边对应相等） （两个角对应相等） （一个角对应相等） （一条边对应相等） (一个角、一条边对应相 等） 6选1：一个角对应相等的两个三角形不一定全等； 一条边对应相等的两个三角形不一定全等； \\ ① \\ ②
图1
B
图2
C
E
如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4， 那么AC等于AD吗？为什么？
A E
C 3
解：AC=AD
理由：在△EBC和
4 D
1 2
△EBD中 B ∠1=∠2 ∠3=∠4 EB=EB ∴ △EBC≌△EBD (AAS)
∴ BC=BD
在△ABC和△ABD
4.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重 合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三 角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于 点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个 结论： ① AD=BE； ② PQ∥AE；
解： ∵△ABD≌ △EBC ∴AB=EB、BD=BC
∵BD=DE+EB
∴DE=BD-EB
=BC-AB
=5-3=2cm
二层：两个三角形的呈现不明显， 有重叠的部分，需从已知条件出 发找需要的三角形（可用阴影标 出）
如图，已知AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于点M， AC、BE相交于点N，∠1=∠2，试说明：（1） △ABE ≌ △ACD （2）AM=AN A D M
已知∠1+∠2=100°，则∠A=
度；
4.如图，D,E分别为△ABC的AC,BC边的中 点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边 上的点P处．若∠CDE=480，则∠APD等 于 .
首先：我们把与三角形全等相关的知识 点大致分成三个层次，以便同学们了解 自己的学习程度和应努力的方向。
一层：两个三角形以较明显的形 式呈现，易发现，几种基本的形 式见下图：
41
如图等边△AEB与等边△BCD在 线段AC的同侧。 求证： △ABD≌△EBC
E D
A
B
C
如图,△ABC与△DCE都是等边三角 形，点D在BC上，AD与BE相等吗？ 试说明理由。 A
B
D
C
E
如图,△ABC与△DCE都是等边三角形， 点D在△ABC内，AD与BE相等吗？ A 试说明理由。
D B E C
三层：题目的条件、结论都需要 同学们全面考虑，综合所学的知 识点并能灵活运用.
例5：如图，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足为D、E， AD交CE于点F，AD＝CE，试说明AF＝CF 证： ∵AD⊥BC，CE⊥AB A ∴∠BEC＝∠BDA＝90。 E
在△BAD和△BCE中 ∠B＝∠B
∵ ∠BEC＝∠BDA＝90
如图,△ABC与△DCE都是等边三角 形，点D.E在△ABC外，AD与BE相 等吗？试说明理由。 A
E
D
B C
已知如图△ABD与△ACE均为等边 三角形，求证：DC=BE
D A E
C B
如图，已知正方形ABCD和等腰直角 三角形△ECF，试说明BE=DF。
A D
E F
B
C
什么叫全等三角形？
A Aˊ
B
C
Bˊ
Cˊ
两个能完全重合的三角形叫做全等 三角形。
全等三角形的性质？
A
Aˊ Bˊ
B
C
Cˊ
全等三角形：对应边相等，对应 角相等。
AB=A’B’, AC=A’C’, BC=B’C’
△ABC
≌ △A’B’C’
∠A=∠A’ ,∠B=∠B’,∠C=∠C’
全等三角形共有6组元素(3组对应边、3组对应角)
证明：
AF CE AF FE CE FE 即AE CF 又 BE ∥ DF 1 2 在ABE和CDF中
AE=CF 1 2 BE＝DF
AEB ≌ CFD (S.A.S.) A C AB ∥CD
3、如图△ABD≌ △EBC， AB=3cm,BC=5cm,求DE的长
17
5、已知：∠B＝∠DEF，BC＝EF，现要 证明△ABC≌△DEF， AB=DE； 若要以“SAS ”为依据，还缺条件______ 若要以“ASA ”为依据，还缺条件 _______；
∠ACB=∠F
D
若要以“AAS ”为依据，还缺条件∠A=∠D _______
A
并说明理由。．
B
E
C
F 18
如图：将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，
6选2： 两个角对应相等的两个三角形不一定全等；
两条边对应相等的两个三角形不一定 全等； 一角和一边对应相等的两个三角形不一定全等；
可见：要使两个三角形全等， 3 应至少有 组元素对应相等。
边边边 (SSS) 两边一角 6选 3
两边和它的夹角(SAS)
两角一边
角角角 ×
两边和它一边的对角 × 两角和夹边(ASA)
1 2
∵

AC＝DB BC＝BC
C
A
∴ △ABC≌△DCB（S.S.S） ∴ ∠A＝∠D
（接下来自己证明△AEC≌△DEB（A.A.S） ）
∴ EA＝ED
中考链接：1.两个大小不同的等腰直角三角
形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的 几何图形，B,C,E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明 （说明：结论中不得含有未标识的字母）； D （2）证明：DC⊥BE． A
（1）线段相等、平行
A D
B A
C D
E F
F
D
B
C B E C F A
E
（2）公共边、公共角
A O D B B A B
D
C
A
C
D
C D A F
C
B
E
（3）对顶角
A
D
O
B
C
例1：如图，点B、E、C、F在同一条 直线上，AB＝DE，AC＝DF， A BE＝CF，试说明∠A＝ ∠D
证：∵BE＝CF

斜边、直角边公理 (HL)推理格式
∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中 AB=A´B´ BC=B´C´

∴Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´ (HL)
B B′
A
C
A ′
C ′
在找全等三角形的对应元素时一般有什 么规律？
有公共边的，公共边是对应边.
有公共角的，公共角是对应角.
1 2
E N
B
C
创造条件！ ？
29
例3：如图，已知AB=AD，∠B=∠D ， ∠BAE=∠DAC ， 求证∠C=∠E E 证明： BAE DAC
B
BAE EAC DAC EAC C 即BAC DAE
A
D
在ABC 和ADE中
∠B=∠D AB AD ∠BAC=∠DAE ABC ≌ ADE (A.S.A)
③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°．
B 恒成立的结论有_________ ．
O D
P
Q
C E
A
拓展题
如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
C E D 要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段，然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 （割）
C E
例4：如图，∠A＝∠D＝90。，BD于AC相交于点 O，且BD＝AC。试说明OB＝OC
证:∵ ∠A＝∠D＝90
。
A O B
1
D
∴△ABC和△DCB是Rt △ 在Rt△ABC和Rt△DCB中 BD＝AC
∵

2
C
BC＝BC
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（H. L） ∴∠1＝∠2
∴OB＝OC（等角对等边）
AD＝CE B ∴ △BAD≌△BCE（A.A.S） ∴ BA＝BC，BE＝BD ∴ BA－BE＝BC－BD 即EA＝DC

1
。
F
2
D
C
（接下来自己证明△FAE≌△FCD（A.A.S） ）
例6：如图，AB、CD相交于E，且AB＝CD，AC ＝DB。求证：EA＝ED
证： 连接BC 在△ABC和△DCB中 AB＝CD D B E
A
B
2、把一个三角形移到另一位置， 使两线段补成一条线段，再证明 它与长线段相等。（补）
1. 如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B， ∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD.
A 1 2 B D C
解析：采用截长补短法，延长AC至E， 使AE＝AB，连结DE；也可在AB上截取 AE＝AC，再证明EB＝CD.
找一找 下列全等三角形的对应边和对应角
1、 △ ABE ≌ △ ACF 对应角是： ∠A和∠A、 ∠ABE和∠ACF、 ∠AEB和 ∠AFC；对应边是AB和AC、 、BE CF 。 2AE 、和 △AF BCE ≌和 △ CBF 对应角是： ∠BCE和 ∠CBF、 ∠BEC和∠CFB、 ∠CBE和 ∠BCF。对应边 是：CB和BC、CE和BF、 3、 △ BOF ≌ △ COE CF和BE。 对应角是: ∠BOF和∠COE、 ∠BFO 和∠CEO、 ∠ FOB和∠EOC。对应边是：OF和OE、OB和OC、 BF和CE。
gxf
1.在两个三角形中,如果有 三条边对应相等,那么这两 个三角形全等(简记S.S.S)
2.在两个三角形中,如果 有两条边及它们的夹角对 应相等,那么这两个三角 形全等(简记为S.A.S)
3.在两个三角形中,如果
有两个角及它们的夹边 对应相等,那么这两个三 角形全等(简记为A.S.A)
4.在两个三角形中,如果有 两个角及其中一个角的对边 对应相等,那么这两个三角 形全等(简记为A.A.S)
拓展提高 3.已知 : AB BD, ED BD, C是BD上一点
且AC EC, AC EC 求证：BD AB ED
A E
B
C
D
在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直 线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．
（1）若BC在DE的同侧（如图①）且 AD=CE，说明：BA⊥AC． （2）若BC在DE的两侧（如图②）其他 条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请 予证明，若不是请说明理由．
两角和一角的对边(AAS)
SSA
\
= =
两边和其中一边的对角对应相等
的两个三角形不一定全等。
AAA
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
8
知识回顾：
包括直角三角形
一般三角形 全等的条件：
解题 中常 用的 4种 方法
1.定义（重合）法； 2.SSS； 3.SAS； 不包括其它形 状的三角形 4.ASA； 5.AAS. 直角三角形 全等特有的条件： HL.
对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！ 16
二.添条件判全等
B
4、如图，已知AD平分∠BAC， A D 要使△ABD≌△ACD， • 根据“SAS”需要添加条件 AB=AC ； C • 根据“ASA”需要添加条件 ∠BDA=∠CDA ； • 根据“AAS”需要添加条件 ∠B=∠C ；
友情提示：添加条件的题目.首先要 找到已具备的条件,这些条件有些是 题目已知条件 ,有些是图中隐含条件.
D
∴BE＋EC＝CF＋EC
即BC＝EF
在ABC和DEF中
AB DE (已知) AC＝DF（已知） BC＝EF（已证）
B
E
C
F
∴△ABC≌△DEF （S. S. S） ∴∠A＝ ∠D
例2：如图，点A、F、E、C在同一直线上，AF＝ CE，BE = DF，BE∥DF，求证：AB∥CD。
有对顶角的，对顶角是对应角.
一对最长的边是对应边， 一对最短的边是对应边.
一对最大的角是对应角，
一对最小的角是对应角.
一、挖掘“隐含条件”判全等 1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则 B △ABC≌△DCB吗?说说理由
A
D
C 图（1） D 2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上， B A O CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若 E ∠ B=20 ° ,CD=5cm ，则 C 图（2） 5c 20° ∠C= ,BE=m .说说理 A D 3.如图（3），AC 由与 . BD相交于O,若 3c OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm ，则 O m . B 图（3） C CD= . 说说理由 学习提示：公共边，公共角，