第五版：概率统计习题全解_同济大学_高等教育出版社 重点题型

习题一

5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设i

A 表示事件“第i 次抽到废品”，3,2,1=i ，试用i A 表示下列事件：

(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品；

(4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。

解 (1)21A A ； (2)321A A A ； (3)321A A A ；

(4)321A A A ； (5)321321321A A A A A A A A A .

6. 接连进行三次射击，设i A ={第i 次射击命中}，3,2,1=i ，=B {三次射击恰好命中二次}，=C {三次射击至少命中二次}；试用i A 表示B 和C 。

解 321321321A A A A A A A A A B = 323121A A A A A A C =

习题二

10．已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求

(1))(A P ,)(B P ；(2))(B A P ；(3))(AB P ；(4))(),(B A P A B P ；(5))(B A P . 解 (1)6.04.01)(1)(=-=-=A P A P ，4.06.01)(1)(=-=-=B P B P ； (2)6.0)()()()()()()()(==-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P ； (3)4.0)()(==A P AB P ；

(4)0)()()(==-=φP B A P A B P , 4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ; (5).2.04.06.0)()(=-=-=A B P B A P

习题三

6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：

(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。

解 (1) 记=B {该球是红球}，=1A {取自甲袋}，=2A {取自乙袋}，已知

10/6)|(1=A B P ，14/8)|(2=A B P ，所以

70

411482110621)|()()|()()(2211=⨯+⨯=

+=A B P A P A B P A P B P (2) 12

72414)(==

B P 7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。

解 02.04.004.035.005.025.0⨯+⨯+⨯⨯

%45.30345.0008.00140.00125.0==++=

12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。

解 记 =B {命中目标}，=1A {甲命中}，=2A {乙命中}，=3A {丙命中}，则 3

1==i i A B ，因而

.98

9113121321)()()(11)(32131=-=⨯⨯-=-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==A P A P A P A P B P i i

习题四

12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。

解 记 =B {命中目标}，=1A {甲命中}，=2A {乙命中}，=3A {丙命中}，则 3

1==i i A B ，因而

.98

9113121321)()()(11)(32131=-=⨯⨯-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==A P A P A P A P B P i i 7. 设随机变量()p B X ,6~，已知()()51===X P X P ，求p 与()2=X P 的值。

解 由于()p B X ,6~，因此()()6,,1,0,1666 =-⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==-k p p k X P k

k 。

由此可算得 ()()()(),165,16155p p X P p p X P -==-== 即 ()(),161655p p p p -=- 解得2

1=p ；

此时，()64

1521!25621212626

2

62=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=⎪

⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-X P 。 13. 设随机变量X 的密度函数为()+∞<<-∞=-x Ae x f x ,，求：（1）系数A ；（2）()10<

解 （1）系数A 必须满足⎰+∞

∞--=1dx Ae x ，由于x e -为偶函数，所以

⎰⎰⎰+∞∞-+∞+∞---===12200dx Ae dx Ae dx Ae x

x x

解得2

1=A ；

（2）()()

1101012

1

2

1

2

1

10----=

==<<⎰⎰e dx e dx e X P x x ； （3）()()⎰∞-=x

dx x f x F

=

⎰⎰⎰-∞--∞--+x x x x

x

dx

e dx e dx

e

00

212121

≥

= ⎰⎰⎰-∞-∞-+x x

x x

x

dx

e dx e dx

e 00212121 00≥

= ()

x x

e e

--+12

1

2121 00≥

= x x

e e

--2

1121 00≥

习题五

3. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X 、Y 如下：

X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量()Y X ,的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。

解 （1）在放回抽样时，X 可能取的值为1,0，Y 可能取的值也为1,0，且