矩阵的秩及其应用

矩阵的秩的及其应用

摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。首先是在解线性方程组中的应用，在多项式中的应用；其次是在二次型中的应用，最后是关于矩阵的秩在几何中的应用。

关键词：矩阵的秩；线性方程组；特征值；多项式；二次型

一：引言

矩阵的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵的一个重要性质，它将矩阵的本质展现出来。在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。

二：矩阵的秩的定义及其性质

(1)定义1 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。定义 2 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 在我们的课本上矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这其实是矩阵的秩的行列式定义。

(2)性质及变化规律

(1)转置后秩不变

(2)初等变换不改变矩阵的秩;

(3)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(4)r(kA)=r(A),k不等于0

(5)r(A)=0 <=> A=0

(6)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(7)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(8)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n 阶矩阵。

特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n

(8)P,Q为可逆矩阵, 则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

三：矩阵的秩的应用

(1)解线性方程组(线性方程组可解的判定方法)

对一个线性方程组来说，其可以表示成AX=B的形式，A为线性方程组的系数矩阵，设其增广矩阵为A

则有

方程组AX=B无解当且仅当R(A)

方程组AX=B有唯一解当且仅当R(A)=R(A)=n;

方程组AX=B有无穷多解当且仅当R(A)=R(A)

例如讨论齐次线性方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=+--+=---+=-++-0

23055570202x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解的情况

解 对上面方程组的系数矩阵做初等行变换，得

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----------11213555711111211121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------04150009601335021121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----1121000112000032021121

可知R(A)=4<5.因此齐次线性方程组有非零解.此时，方程组中四个方程都是有效方方程

(2)讨论向量组的相关性

向量组的秩既该向量组极大无关组所含向量的个数，而向量组本身所含的向量的个数与秩相等，则该向量组线性无关，所含向量个数大于秩，则该向量组线性相关，这个性质常常用来判断向量组是否线性相关。

(3)矩阵的秩在讨论方阵问题中的作用

对于一个方阵A,如何判断它是否可逆，除了根据它的行列式是否为零，还可以根据方阵的秩的大小来判断。若方阵A 可逆则其为满秩矩阵即R(A)=n ，同时我们还知道这等价于n 阶子式不为零，即A ≠0，这是方阵可逆的充要条件。

(4)判断二次型的正定

设二次型f(x 1,x 2,...,x n )=X T AX (A T =A)那么有以下的结论：

A 正定<=>f 的正惯性指数与秩都等于n,

A 负定<=>f 的负惯性指数与秩都等于n,

A 半正定<=>f 的正惯性指数与秩相等.

(5)矩阵的秩在求特征值中的应用 假设有P-1AP=Ʌ=diag(a 1,a 2...,a n )成立,因为P 可逆，所以P=E1E2...EnI ，又因为矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，则有R(A)=R(B)

所以对于可相似对角化矩阵，秩的值就是它非零特征值的个数

即有一下两条推论

1.方阵A 不满秩等价于A 有零特征值.

2.A 的秩不小于A 的非零特征值的个数.

通过以上性质，我们能很方便的计算出方阵的非零特征值个数或判断特征值是否有0及其的重数

在课本上我们只知道λ1λ2∙∙∙λn=detA 只能判断出是否有零特征值，因此这条性质可以看出该性质的拓展。

(6)矩阵的秩在几何中的应用

已知平面π1：A 1x+B 1y+C 1z+D 1=0与平面π2:A 2x+B 2y+C 2z+D 2=0.设线性方程

，则

若R(A)=R(A)=2<3，则方程组有一个基础解系既解在一条直线上，即两平面相交于一条直线

若R(A)=R(A)=1<3，则方程组有两个基础解系既解在一个平面上，即两平面重合若R(A)

不光对于两个平面如此，以此类推对于多个平面位置关系的判断也可用秩来解决。

同理对于空间直线与平面的关系，空间直线与空间直线的关系亦可以用类似的方法进行求解。

在这条应用里我们将几何问题代数化方便了计算。

四：小结

矩阵的秩将线性代数中许多重要的概念联系起来，尽管它看起来有些抽象，但作为代数的重要部分，它的引入为解决某些数学问题提供了新的探索途径和方法。在一些实际的运算中大大地简便了运算过程和步骤，为我们的学习和应用带来了极大的便利。