不定积分换元法例题
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__________________________________________________________________________________________
【第一换元法例题】
1、 (5x 7)9dx
(5x 7) 9 dx
(5x 7)9 1 d (5x 7) 1 (5x 7)9 d (5x 7)
csc x cot x
d ( cot x csc x) csc x cot x
d (csc x cot x) csc x cot x
ln | csc x cot x | C
6（ 2） csc xdx
csc x(csc x cot x) dx
csc x cot x
csc2 x csc x cot x dx
7（ 1）
1
3
x
2
3 dt 3 t ln |1 t | C
x t3 2
2
x 1
a
x d
a
2
x 1
a
x arcsin C
a
1 8（ 1） 1 x2 dx
dx 1 x2 arctan x C
8（ 2） a2 1 x2 dx
dx a2 x2
dx
2
2
x
a1
a
x
d
1
a
a 1
2
x
a
x
d
1
a
a 1
2
x
a
1 arctan x C ，（ a 0 ）
a
a
9（ 1） sin3 x cos5 xdx sin 2 x cos5 x si n xdx
xdx
1 2xdx
1
dx2
1 d (x2 1)
11（ 2） x4 2 x2 5 2 x4 2 x2 5 2 x4 2 x2 5 2 4 ( x2 1)2
1 d ( x2 1)
8 1
x2
2
1
2
x2 1
d
1
2
4 1
x2
2
1
2
1
x2 1
arctan( ) C
4
2
sin x
1
1
12、
dx sin x dx 2 sin x
【做变换，令 x (t ) ，再求微分】
f (t )dt F (t) C
【求积分】
F ( 1( x)) C
【变量还原， t
1( x) 】
__________________________________________________________________________________________ 【第二换元法例题】
ex)
ln( 2 ex )
C
ln 2 x
22、
dx
x
ln 2 x
1 dx
x
ln 2 x d ln x
ln 2 x d ln x ln 3 x C 3
dx
23、
1 2x x2
dx 2 (1 x) 2
d (1 x) 2 (1 x)2
d (1 x)
arcsin1 x C
( 2) 2 (1 x) 2
2
dx 24、 x2 x 2
1 2( a 2
b2 )
d (a 2 sin2 x
b2 cos2 x)
【解答】
sin x cosx dx
a2 sin2 x b2 cos2 x
sin x cos xdx a2 sin2 x b2 cos2 x
1 d (a2 sin 2 x b2 cos2 x) a2 b2 2 a2 sin2 x b2 cos2 x
2arctan x C
tx
1 5、 1 ex dx
令ex t x ln t
1 d ln t
1t
11 dt
1 tt
1 dt
t (1 t)
11 dt
t 1t
t
变量还原
ex
ln | t | ln |1 t | C ln
C
1t
t ex
ln 1
ex
C
dx
6、
3
(1 x ) x
令6 x t x t6
(1
1 t2 )t 3
dt6
(1Biblioteka Baidu
1 t2 )t 3
6t 5dt
t2
6 1
t2 dt
6
1 1 1 t2 dt
变量还原
6
6
6(t arctan t ) C
6( x arctan x ) C
6
tx
【注】被积函数中出现了两个根式
m
n
k
x , x 时，可令 x t ，其中 k 为 m, n 的最小公倍数。
dx
3
令 x 2t
t2
t2
1
d(1 x2 )
2 1 x2
1
d (1 x2)
2 1 x2
1 x2 C
20、
sin x dx
cos3 x
1 sin xdx
cos3 x
1 d cos x
cos3 x
3
1
cos 2 xd cosx 2cos 2 x C
ex 21、 2 ex dx
1 2 ex
ex dx
1 2 ex
dex
1 2 ex d (2
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4
—
【分析】因为： (a2 sin 2 x b2 cos2 x)' a2 2sin x cosx b22cos x( sin x) 2( a2 b2)sin x cos x
所以： d ( a2 sin 2 x b2 cos2 x) 2(a2 b2)sin x cos xdx
sin x cos xdx
3（ 2） cot xdx
cosxdx sin x
cosxdx sin x
d sin x sin x
d sin x ln | sin x | C ln | sin x | C sin x
【 注 】 (sin x)' cos x, d (sin x) cos xdx, cos xdx d (sin x)
C
4
15、 (2x 5)100 dx
(2 x 5)100 dx
(2 x 5)100 1 d (2 x 5) 1 (2 x 5)100 d (2 x 5)
2
2
1
(2 x 5)100 d(2 x 5)
1
1 (2 x
5)101
C
1 (2 x
5)101
C
2
2 101
202
16、 x sin x2dx
sin x2 xdx 1 sin x2 dx2 1 sin x2 dx2
1 d ( a2 sin2 x b2 cos2 x) a2 b2 2 a2 sin 2 x b2 cos2 x
1 a2 b2
a2 sin2 x
b2 cos2 x
C
【不定积分的第二类换元法】
已知 f (t)dt F (t ) C
求 g (x)dx g ( (t )) d (t) g( (t )) '(t) dt
2
2
1 cos x2 C 2
ln x
17、
dx
x 1 ln x
ln x 1 dx
1 ln x x
ln x d ln x
1 ln x
(1 ln x) 1 d ln x
1 ln x
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3
—
1 ln x d ln x
1 d ln x 1 ln x
1 ln x d (1 ln x)
1 d(1 ln x)
sin x
1、
dx x
令 xt
2
xt
sint dt2 t
sint 2tdt
t
2sin tdt
变量还原
2cost C
2cos x C
tx
1
2（ 1） 1
dx x
令 xt x t2
1 dt2
1
t
1
2tdt 2 dt 2 1
dt
1t
1t
1t
1t
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5
—
变量还原
2 t ln |1 t | C
2 x ln |1 x | C
sin 2 x cos5 x d cos x
(1 cos2 x) cos5 x d cos x
(cos7 x cos5 x) d cos x cos8 x cos6 x C
8
6
9（ 2） sin3 x cos5 xdx sin3 x cos4 x cos xdx sin3 x cos4 x d sin x
【 注 】 (x a)' 1, d ( x a) dx, dx d (x a)
1 4（ 3） x2 a 2dx
1
1
1
1
1
1
x2 a 2 dx 2 a
dx
xa xa
2a
dx xa
1 dx
xa
1
1 xa
ln | x a | ln | x a | C
ln
C
2a
2a x a
—
5（ 1） secxdx
sec x(secx tan x) dx
d sin x 1 sin2 x
d sin x 1
1
1
1 sin x 1
1 1 sin x
1 sin 2 x 2
d sin x ln
C
sin x 1 sin x 1
2 sin x 1
ln
C
2 1 sin x
6（ 1） csc xdx
csc x(csc x cot x) dx
csc x cot x
csc2 x cscx cot x dx
secx tan x
sec2 x secx tan x dx
secx tan x
5（ 2）
d (tan x secx) d(tan x secx)
sec x tan x
secx tan x
sec xdx
1 dx
cos x
cos x cos2 x dx
ln | secx
cos x dx cos2 x
tan x | C
csc x cot x
d ( cot x csc x) csc x cot x
d (csc x cot x) ln | csc x cot x | C
csc x cot x
7（ 1）
1 dx
1 x2
dx arcsin x C
1 x2
7（ 2）
1 dx
a2 x2
dx a2 x2
dx
2
x a1
a
x d
a
1 d ln x ln x
1 d ln x l n ln x C ln x
1 ln 2 x d ln x
1 ln 2 x d ln x
1 C
ln x
2 xdx 11（ 1） x 4 2 x 2 2
2 xdx x4 2 x2 2
dx 2 x4 2x2 2
d (x2 1) 1 (x2 1) 2
arctan(x2 1) C
5
5
1 (5x 7)9d (5x 7) 1 1 (5x 7)10 C 1 (5x 7)10 C
5
5 10
50
【 注 】 (5x 7)' 5, d (5x 7) 5dx,
1 dx d(5x 7)
5
2、 ln xdx ln x 1 dx ln x d ln x
x
x
ln x d ln x 1 (ln x)2 C 1 (ln x)2 C
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2
—
3
22
sin x(1 sin x) d sin x
3
5
7
sin 4 x sin 6 x sin 8 x
(sin x 2sin x sin x) d sin x
C
4
3
8
10（ 1） 10（ 2）
dx x ln x
dx x ln 2 x
1 1 dx ln x x
11 ln 2 x x dx
2
2
【 注 】 (ln x)' 1 , d (ln x) 1 dx,
x
x
1 dx d(ln x) x
3（ 1） tan xdx
d cosx cos x
sin x
sin xdx
dx
cosx
cos x
d cosx cosx
ln | cosx | C ln |cos x | C
d cos x cosx
【 注 】 (cos x)' sin x, d (cos x) sin xdx, sin xdx d(cos x)
1 ln x
2 (1
3
ln x) 2
1
2(1 ln x) 2
C
3
18、
earctan x 1 x2 dx
earctan x
1
1 x2 dx
earctanx d arctan x
earctan x d arctan x earctan x C
19、
x dx
1 x2
1 xdx
1 x2
1
dx 2
2 1 x2
dx 2 sin x d x
x
x
2x
2 sin x d x 2cos x C 2cos x C
13、 e2xdx 1 e2x d 2 x 1 e2xd 2 x 1 e2x C
2
2
2
3
14、 sin x cos xdx
3
sin x cosxdx
3
sin x d sin x
3
sin 4 x
sin x d si n x
dx ( x 1 )2 7
24
1 d(x )
2 ( x 1)2 7
24
d( x ( x 1 )2
2
1 )
2 ( 7)2
2
d(x ( x 1)2
2
1 )
2 ( 7 )2
2
1
2
x arctan
2
C
7
7
2
2 arctan2 x 1 C
7
7
25、计算
sin x cos x
dx ， a2 b2
a2 sin 2 x b 2 cos2 x
1 (t3 1)2
t 4(t3
1)3 3t2dt
12 (t 6
t 3 ) dt
t7 12
t4
变量还原
3
(1
4 x)7
3
(1
4 x)4
C
12
C
74
34
t1x
7
4
1
令xt
4、
dx x(1 x)
2
xt
1 t (1 t2 )
dt 2
1
1
t (1 t 2) 2tdt
2 1
t2 dt
变量还原
2arctant C
4（ 1）
1 dx
1 dx
ax
ax
1 d( a x) ln | a
ax
1 d(a x) ax x | C ln | a x | C
【 注 】 (a x)' 1, d (a x) dx, dx d (a x)
1
4（ 2）
dx
xa
1 dx
xa
1 d ( x a)
xa
1 d( x a) ln | x a | C ln | x a | C xa
tx
2（ 2）
1 dx 1x
令1+ x t x ( t 1)2
1 d(t 1)2 t
1 2(t 1)dt 2 t 1dt 2 1 1 dt
t
t
t
变量还原
2 t ln |t | C
2 1 x ln|1 x | C
t1 x
34
13
4
令1 xt
3、
1 x
x dx x (t3 1)4
1
t d(t3 1)4
(t3 1)4
【第一换元法例题】
1、 (5x 7)9dx
(5x 7) 9 dx
(5x 7)9 1 d (5x 7) 1 (5x 7)9 d (5x 7)
csc x cot x
d ( cot x csc x) csc x cot x
d (csc x cot x) csc x cot x
ln | csc x cot x | C
6（ 2） csc xdx
csc x(csc x cot x) dx
csc x cot x
csc2 x csc x cot x dx
7（ 1）
1
3
x
2
3 dt 3 t ln |1 t | C
x t3 2
2
x 1
a
x d
a
2
x 1
a
x arcsin C
a
1 8（ 1） 1 x2 dx
dx 1 x2 arctan x C
8（ 2） a2 1 x2 dx
dx a2 x2
dx
2
2
x
a1
a
x
d
1
a
a 1
2
x
a
x
d
1
a
a 1
2
x
a
1 arctan x C ，（ a 0 ）
a
a
9（ 1） sin3 x cos5 xdx sin 2 x cos5 x si n xdx
xdx
1 2xdx
1
dx2
1 d (x2 1)
11（ 2） x4 2 x2 5 2 x4 2 x2 5 2 x4 2 x2 5 2 4 ( x2 1)2
1 d ( x2 1)
8 1
x2
2
1
2
x2 1
d
1
2
4 1
x2
2
1
2
1
x2 1
arctan( ) C
4
2
sin x
1
1
12、
dx sin x dx 2 sin x
【做变换，令 x (t ) ，再求微分】
f (t )dt F (t) C
【求积分】
F ( 1( x)) C
【变量还原， t
1( x) 】
__________________________________________________________________________________________ 【第二换元法例题】
ex)
ln( 2 ex )
C
ln 2 x
22、
dx
x
ln 2 x
1 dx
x
ln 2 x d ln x
ln 2 x d ln x ln 3 x C 3
dx
23、
1 2x x2
dx 2 (1 x) 2
d (1 x) 2 (1 x)2
d (1 x)
arcsin1 x C
( 2) 2 (1 x) 2
2
dx 24、 x2 x 2
1 2( a 2
b2 )
d (a 2 sin2 x
b2 cos2 x)
【解答】
sin x cosx dx
a2 sin2 x b2 cos2 x
sin x cos xdx a2 sin2 x b2 cos2 x
1 d (a2 sin 2 x b2 cos2 x) a2 b2 2 a2 sin2 x b2 cos2 x
2arctan x C
tx
1 5、 1 ex dx
令ex t x ln t
1 d ln t
1t
11 dt
1 tt
1 dt
t (1 t)
11 dt
t 1t
t
变量还原
ex
ln | t | ln |1 t | C ln
C
1t
t ex
ln 1
ex
C
dx
6、
3
(1 x ) x
令6 x t x t6
(1
1 t2 )t 3
dt6
(1Biblioteka Baidu
1 t2 )t 3
6t 5dt
t2
6 1
t2 dt
6
1 1 1 t2 dt
变量还原
6
6
6(t arctan t ) C
6( x arctan x ) C
6
tx
【注】被积函数中出现了两个根式
m
n
k
x , x 时，可令 x t ，其中 k 为 m, n 的最小公倍数。
dx
3
令 x 2t
t2
t2
1
d(1 x2 )
2 1 x2
1
d (1 x2)
2 1 x2
1 x2 C
20、
sin x dx
cos3 x
1 sin xdx
cos3 x
1 d cos x
cos3 x
3
1
cos 2 xd cosx 2cos 2 x C
ex 21、 2 ex dx
1 2 ex
ex dx
1 2 ex
dex
1 2 ex d (2
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4
—
【分析】因为： (a2 sin 2 x b2 cos2 x)' a2 2sin x cosx b22cos x( sin x) 2( a2 b2)sin x cos x
所以： d ( a2 sin 2 x b2 cos2 x) 2(a2 b2)sin x cos xdx
sin x cos xdx
3（ 2） cot xdx
cosxdx sin x
cosxdx sin x
d sin x sin x
d sin x ln | sin x | C ln | sin x | C sin x
【 注 】 (sin x)' cos x, d (sin x) cos xdx, cos xdx d (sin x)
C
4
15、 (2x 5)100 dx
(2 x 5)100 dx
(2 x 5)100 1 d (2 x 5) 1 (2 x 5)100 d (2 x 5)
2
2
1
(2 x 5)100 d(2 x 5)
1
1 (2 x
5)101
C
1 (2 x
5)101
C
2
2 101
202
16、 x sin x2dx
sin x2 xdx 1 sin x2 dx2 1 sin x2 dx2
1 d ( a2 sin2 x b2 cos2 x) a2 b2 2 a2 sin 2 x b2 cos2 x
1 a2 b2
a2 sin2 x
b2 cos2 x
C
【不定积分的第二类换元法】
已知 f (t)dt F (t ) C
求 g (x)dx g ( (t )) d (t) g( (t )) '(t) dt
2
2
1 cos x2 C 2
ln x
17、
dx
x 1 ln x
ln x 1 dx
1 ln x x
ln x d ln x
1 ln x
(1 ln x) 1 d ln x
1 ln x
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3
—
1 ln x d ln x
1 d ln x 1 ln x
1 ln x d (1 ln x)
1 d(1 ln x)
sin x
1、
dx x
令 xt
2
xt
sint dt2 t
sint 2tdt
t
2sin tdt
变量还原
2cost C
2cos x C
tx
1
2（ 1） 1
dx x
令 xt x t2
1 dt2
1
t
1
2tdt 2 dt 2 1
dt
1t
1t
1t
1t
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5
—
变量还原
2 t ln |1 t | C
2 x ln |1 x | C
sin 2 x cos5 x d cos x
(1 cos2 x) cos5 x d cos x
(cos7 x cos5 x) d cos x cos8 x cos6 x C
8
6
9（ 2） sin3 x cos5 xdx sin3 x cos4 x cos xdx sin3 x cos4 x d sin x
【 注 】 (x a)' 1, d ( x a) dx, dx d (x a)
1 4（ 3） x2 a 2dx
1
1
1
1
1
1
x2 a 2 dx 2 a
dx
xa xa
2a
dx xa
1 dx
xa
1
1 xa
ln | x a | ln | x a | C
ln
C
2a
2a x a
—
5（ 1） secxdx
sec x(secx tan x) dx
d sin x 1 sin2 x
d sin x 1
1
1
1 sin x 1
1 1 sin x
1 sin 2 x 2
d sin x ln
C
sin x 1 sin x 1
2 sin x 1
ln
C
2 1 sin x
6（ 1） csc xdx
csc x(csc x cot x) dx
csc x cot x
csc2 x cscx cot x dx
secx tan x
sec2 x secx tan x dx
secx tan x
5（ 2）
d (tan x secx) d(tan x secx)
sec x tan x
secx tan x
sec xdx
1 dx
cos x
cos x cos2 x dx
ln | secx
cos x dx cos2 x
tan x | C
csc x cot x
d ( cot x csc x) csc x cot x
d (csc x cot x) ln | csc x cot x | C
csc x cot x
7（ 1）
1 dx
1 x2
dx arcsin x C
1 x2
7（ 2）
1 dx
a2 x2
dx a2 x2
dx
2
x a1
a
x d
a
1 d ln x ln x
1 d ln x l n ln x C ln x
1 ln 2 x d ln x
1 ln 2 x d ln x
1 C
ln x
2 xdx 11（ 1） x 4 2 x 2 2
2 xdx x4 2 x2 2
dx 2 x4 2x2 2
d (x2 1) 1 (x2 1) 2
arctan(x2 1) C
5
5
1 (5x 7)9d (5x 7) 1 1 (5x 7)10 C 1 (5x 7)10 C
5
5 10
50
【 注 】 (5x 7)' 5, d (5x 7) 5dx,
1 dx d(5x 7)
5
2、 ln xdx ln x 1 dx ln x d ln x
x
x
ln x d ln x 1 (ln x)2 C 1 (ln x)2 C
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2
—
3
22
sin x(1 sin x) d sin x
3
5
7
sin 4 x sin 6 x sin 8 x
(sin x 2sin x sin x) d sin x
C
4
3
8
10（ 1） 10（ 2）
dx x ln x
dx x ln 2 x
1 1 dx ln x x
11 ln 2 x x dx
2
2
【 注 】 (ln x)' 1 , d (ln x) 1 dx,
x
x
1 dx d(ln x) x
3（ 1） tan xdx
d cosx cos x
sin x
sin xdx
dx
cosx
cos x
d cosx cosx
ln | cosx | C ln |cos x | C
d cos x cosx
【 注 】 (cos x)' sin x, d (cos x) sin xdx, sin xdx d(cos x)
1 ln x
2 (1
3
ln x) 2
1
2(1 ln x) 2
C
3
18、
earctan x 1 x2 dx
earctan x
1
1 x2 dx
earctanx d arctan x
earctan x d arctan x earctan x C
19、
x dx
1 x2
1 xdx
1 x2
1
dx 2
2 1 x2
dx 2 sin x d x
x
x
2x
2 sin x d x 2cos x C 2cos x C
13、 e2xdx 1 e2x d 2 x 1 e2xd 2 x 1 e2x C
2
2
2
3
14、 sin x cos xdx
3
sin x cosxdx
3
sin x d sin x
3
sin 4 x
sin x d si n x
dx ( x 1 )2 7
24
1 d(x )
2 ( x 1)2 7
24
d( x ( x 1 )2
2
1 )
2 ( 7)2
2
d(x ( x 1)2
2
1 )
2 ( 7 )2
2
1
2
x arctan
2
C
7
7
2
2 arctan2 x 1 C
7
7
25、计算
sin x cos x
dx ， a2 b2
a2 sin 2 x b 2 cos2 x
1 (t3 1)2
t 4(t3
1)3 3t2dt
12 (t 6
t 3 ) dt
t7 12
t4
变量还原
3
(1
4 x)7
3
(1
4 x)4
C
12
C
74
34
t1x
7
4
1
令xt
4、
dx x(1 x)
2
xt
1 t (1 t2 )
dt 2
1
1
t (1 t 2) 2tdt
2 1
t2 dt
变量还原
2arctant C
4（ 1）
1 dx
1 dx
ax
ax
1 d( a x) ln | a
ax
1 d(a x) ax x | C ln | a x | C
【 注 】 (a x)' 1, d (a x) dx, dx d (a x)
1
4（ 2）
dx
xa
1 dx
xa
1 d ( x a)
xa
1 d( x a) ln | x a | C ln | x a | C xa
tx
2（ 2）
1 dx 1x
令1+ x t x ( t 1)2
1 d(t 1)2 t
1 2(t 1)dt 2 t 1dt 2 1 1 dt
t
t
t
变量还原
2 t ln |t | C
2 1 x ln|1 x | C
t1 x
34
13
4
令1 xt
3、
1 x
x dx x (t3 1)4
1
t d(t3 1)4
(t3 1)4