数字信号处理第1章时域离散信号和
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
上式表明 sin( n) 是周期为8的周期序列，也称正
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弦序列，如图1.2.5所示。下面讨论一般正弦序列的周 期性。
那么
x(n)=Asin(ω0n+φ)
x(n+N) =Asin(ω0(n+N)+φ)=Asin(ω0n+ω0N+φ)
x(n+N)=x(n)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
Байду номын сангаас
δ (n)
1
n －1 0 1 2 3
(a)
δ (t)
t 0 (b)
图1.2.1 (a)单位采样序列；
(b)单位冲激信号
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
2. 单位阶跃序列u(n)
1,n≥0 0,n＜0 单位阶跃序列如图1.2.2所示。 模拟信号中单位阶跃函数u(t) 1,t ＞0 0,t ＜0 ½,t＝0 δ(n)与u(n)之间的关系如下式所示：
第1章 时域离散信号和时域离散系统
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 引言 1.2 时域离散信号 1.3 时域离散系统 1.4 时域离散系统的输入输出描述法——
线性常系数差分方程 1.5 模拟信号数字处理方法
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 引言
信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如 果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以 上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字 信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种 形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本书一般 把信号看作时间的函数。
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
图1.2.6 用单位采样序列移位加权和表示序列
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2.2 序列的运算 在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们
是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。
1. 序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列 值逐项对应相乘和相加，如图1.2.7所示。
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
图1.2.4 实指数序列
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5. 正弦序列
第1章 时域离散信号和时域离散系统
x(n)=sin(ωn)
式中ω称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度， 它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值 之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号Xa(t) 采样得到，那么
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
图1.2.8 序列的移位、翻转和尺度变换
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3 时域离散系统
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算， 系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T［·］表示， 输出与输入之间关系用下式表示：
y(n)=T［x(n)］
fs
(1.2.11)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
6. 复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n 式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚 部表示如下式：
x(n)=e
jω n 0
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n) 由于n取整数，下面等式成立：
e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
(1.2.4)
δ(n)=u(n)-u(n-1)
u(n) (n k)
k 0
令n-k=m，代入上式得到
(1.2.5) (1.2.6)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
u(n) 1
012 3
… n
图1.2.2 单位阶跃序列
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
n
u(n) (m)
n
算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的 响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时 不变系统，用公式表示如下：
y(n)=T［x(n)］ y(n-n0)=T［x(n-n0)］
(1.3.5)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
例1.3.2检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变 系统，上式中a和b是常数。
(1.3.1)
其框图如图1.3.1所示。
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
x(n)
y(n)
T[•]
图1.3.1 时域离散系统
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.1 线性系统
满足叠加原理的系统称为线性系统 。设x1(n)和 x2(n)分别作为系统的输入序列，其输 出分别用y1(n)和 y2(n)表示，即
T［x(n- n0)］=nx(n- n0)
y(n- n0)≠T［x(n- n0)］
因此该系统不是时不变系统。同样方法可以证明
y(n)
x(n) sin(0n
4
)
所代表的系统不是时不变
系统。
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系
(1.2.7)
3. 矩形序列RN(n)
RN(n)=
1, 0≤n≤N-1 0， 其它n
(1.2.8)
上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的 波形如图1.2.3所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示， 如下式：
RN(n)=u(n)-u(n-N)
(1.2.9)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
(3)2π/ ω0是无理数，任何整数k都不能使N为正整 数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。例如， ω0 =1/4,sin(ω0 n)即不是周期序列。对于复指数序列ejω0 n 的周期性也有同样的分析结果。
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
以上介绍了几种常用的典型序列，对于任意序列， 常用单位采样序列的移位加权和表示，即
解 y(n)=ax(n)+b
y(n-n0)=ax(n- n0)+b y(n- n0)=T［x(n- n0)］ 因此该系统是时不变系统。
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
例1.3.3检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变 系统。
解 y(n)=nx(n)
y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0)
R4(n) 1
n 01 23
图1.2.3 矩形序列
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
4. 实指数序列
x(n)=anu(n)，
a为实数
如果|a|<1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为 收 敛 序 列 ； 如 |a|>1 ， 则 称 为 发 散 序 列 。 其 波 形 如 图 1.2.4所示。
x(n)=xa(nT)，
-∞＜n＜∞(1.2.2)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图 形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则 其可以用集合符号表示，例如：
x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2.1 常用的典型序列(7种）
1. 单位采样序列δ(n)
1，n=0
0，n≠0
(1.2.3)
单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是 仅在n=0时取值为1，其它均为零。
模拟信号和系统中单位冲激函数δ(t)
t=0，取值无穷大，
t≠0，取值为0，对t积分为1。
单位采样序列和单位冲激信号如图1.2.1所示。
y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］
那么线性系统一定满足下面两个公式：
T［ x1(n)+x2(n)］= y1(n)+y2(n) T［a x1(n)］=ay y1(n)
(1.3.2) (1.3.3)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
满足(1.3.2)式称为线性系统的可加性；满足(1.3.3) 式称为线性系统的比列性或齐次性，式中a是常数。将 以上两个公式结合起来，可表示成：
y(n)=T［x1(n)+x2(n)］=ax1(n)+ax2(n)+b
y(n)≠y1(n)+y2(n)
因此，该系统不是线性系统。用同样方法可以证
明y(n)
x(n) sin(0n
4
)
所代表的系统是线性系统。
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.2 如果系统对输入信号的运算关系T［·］在整个运
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
(2) 2π/ ω0不是整数，是一个有理数时，设2π/ ω0 =P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P， 则正弦序列是以P为周期的周期序列。例如sin(4/5)πn， ω0 =(4/5)π，2π/ ω0 =5/2，k=2，该正弦序列是以5为周 期的周期序列。
y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］=ay1(n)+by2(n) 上式中，a和b均是常数。
(1.3.4)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
例1.3.1 证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的 系统是非线性系统。
证明: y1(n)=T［x1(n)］=ax1(n)+b
y2(n)=T［x2(n)］=ax2(n)+b
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
7. 如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等 式成立：
x(n)=x(n+N), -∞<n<∞
(1.2.12)
则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要
取整数。例如：
x(n)
sin(
n)
4
上式中，数字频率是π/4，由于n取整数，可以写成
下式：
x(n) sin( (n 8)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的 表示方法和典型信号、线性时不变系统的因果性和稳 定性，以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分 方程的解法。最后介绍模拟信号数字处理方法。
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2 时域离散信号
对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T， 得到
x(n) x(m) (n m)
m
(1.2.13)
式中
δ(n-m)=
1, n=m 0，n≠m
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个 很有用的公式。例如：x(n)的波形如图1.2.6所示，可以 用(1.2.13)式表示成：
x(n)=-2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+1.5δ(n-2)δ(n-4)+2δ(n-5)+δ(n-6)
xa (t) tnT xa (nT ), n (1.2.1)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
这里n取整数。对于不同的n值， xa(nT)是一个有 序的数字序列：… xa(-T)、 xa(0)、 xa(T)…，该数字序列 就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序列
值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。 为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以 称为序列。对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。 需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外， 在数值上它等于信号的采样值，即
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
图1.2.5 正弦序列
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取 值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列 才是以N为周期的周期序列。具体正弦序列有三种情况：
(1)当2π/ ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ ω0 为周期的周期序列。例如sin(π/8)n， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16,该正弦序列周期为16。
xa(t)=sin(Ωt) xa (t)|t=nT=sin(ΩnT) x(n)=sin(ωn)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此 得到数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为
ω=ΩT
(1.2.10)
(1.2.10)式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号 采样得到的序列，模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω 成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数， 也可以表示成下式：
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
图1.2.7 序列的加法和乘法
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
2. 移位、
设 序 列 x(n) 用 图 1.2.8(a) 表 示 ， 其 移 位 序 列 x(nn0)(当n0 =2时)用图1.2.8(b)表示；当n0 >0时称为x(n)的 延时序列；当n0 <0时，称为x(n)的超前序列。x(-n)则 是x(n)的翻转序列，用图1.2.8(c)表示。x(mn)是x(n)序 列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。 当m=2时，其波形如图1.2.8(d)所示。
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
上式表明 sin( n) 是周期为8的周期序列，也称正
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弦序列，如图1.2.5所示。下面讨论一般正弦序列的周 期性。
那么
x(n)=Asin(ω0n+φ)
x(n+N) =Asin(ω0(n+N)+φ)=Asin(ω0n+ω0N+φ)
x(n+N)=x(n)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
Байду номын сангаас
δ (n)
1
n －1 0 1 2 3
(a)
δ (t)
t 0 (b)
图1.2.1 (a)单位采样序列；
(b)单位冲激信号
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
2. 单位阶跃序列u(n)
1,n≥0 0,n＜0 单位阶跃序列如图1.2.2所示。 模拟信号中单位阶跃函数u(t) 1,t ＞0 0,t ＜0 ½,t＝0 δ(n)与u(n)之间的关系如下式所示：
第1章 时域离散信号和时域离散系统
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 引言 1.2 时域离散信号 1.3 时域离散系统 1.4 时域离散系统的输入输出描述法——
线性常系数差分方程 1.5 模拟信号数字处理方法
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 引言
信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如 果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以 上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字 信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种 形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本书一般 把信号看作时间的函数。
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
图1.2.6 用单位采样序列移位加权和表示序列
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2.2 序列的运算 在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们
是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。
1. 序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列 值逐项对应相乘和相加，如图1.2.7所示。
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
图1.2.4 实指数序列
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5. 正弦序列
第1章 时域离散信号和时域离散系统
x(n)=sin(ωn)
式中ω称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度， 它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值 之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号Xa(t) 采样得到，那么
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
图1.2.8 序列的移位、翻转和尺度变换
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3 时域离散系统
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算， 系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T［·］表示， 输出与输入之间关系用下式表示：
y(n)=T［x(n)］
fs
(1.2.11)
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6. 复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n 式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚 部表示如下式：
x(n)=e
jω n 0
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n) 由于n取整数，下面等式成立：
e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
(1.2.4)
δ(n)=u(n)-u(n-1)
u(n) (n k)
k 0
令n-k=m，代入上式得到
(1.2.5) (1.2.6)
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u(n) 1
012 3
… n
图1.2.2 单位阶跃序列
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
n
u(n) (m)
n
算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的 响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时 不变系统，用公式表示如下：
y(n)=T［x(n)］ y(n-n0)=T［x(n-n0)］
(1.3.5)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
例1.3.2检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变 系统，上式中a和b是常数。
(1.3.1)
其框图如图1.3.1所示。
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
x(n)
y(n)
T[•]
图1.3.1 时域离散系统
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.3.1 线性系统
满足叠加原理的系统称为线性系统 。设x1(n)和 x2(n)分别作为系统的输入序列，其输 出分别用y1(n)和 y2(n)表示，即
T［x(n- n0)］=nx(n- n0)
y(n- n0)≠T［x(n- n0)］
因此该系统不是时不变系统。同样方法可以证明
y(n)
x(n) sin(0n
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)
所代表的系统不是时不变
系统。
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1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系
(1.2.7)
3. 矩形序列RN(n)
RN(n)=
1, 0≤n≤N-1 0， 其它n
(1.2.8)
上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的 波形如图1.2.3所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示， 如下式：
RN(n)=u(n)-u(n-N)
(1.2.9)
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(3)2π/ ω0是无理数，任何整数k都不能使N为正整 数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。例如， ω0 =1/4,sin(ω0 n)即不是周期序列。对于复指数序列ejω0 n 的周期性也有同样的分析结果。
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
以上介绍了几种常用的典型序列，对于任意序列， 常用单位采样序列的移位加权和表示，即
解 y(n)=ax(n)+b
y(n-n0)=ax(n- n0)+b y(n- n0)=T［x(n- n0)］ 因此该系统是时不变系统。
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例1.3.3检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变 系统。
解 y(n)=nx(n)
y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0)
R4(n) 1
n 01 23
图1.2.3 矩形序列
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4. 实指数序列
x(n)=anu(n)，
a为实数
如果|a|<1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为 收 敛 序 列 ； 如 |a|>1 ， 则 称 为 发 散 序 列 。 其 波 形 如 图 1.2.4所示。
x(n)=xa(nT)，
-∞＜n＜∞(1.2.2)
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信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图 形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则 其可以用集合符号表示，例如：
x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2.1 常用的典型序列(7种）
1. 单位采样序列δ(n)
1，n=0
0，n≠0
(1.2.3)
单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是 仅在n=0时取值为1，其它均为零。
模拟信号和系统中单位冲激函数δ(t)
t=0，取值无穷大，
t≠0，取值为0，对t积分为1。
单位采样序列和单位冲激信号如图1.2.1所示。
y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］
那么线性系统一定满足下面两个公式：
T［ x1(n)+x2(n)］= y1(n)+y2(n) T［a x1(n)］=ay y1(n)
(1.3.2) (1.3.3)
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满足(1.3.2)式称为线性系统的可加性；满足(1.3.3) 式称为线性系统的比列性或齐次性，式中a是常数。将 以上两个公式结合起来，可表示成：
y(n)=T［x1(n)+x2(n)］=ax1(n)+ax2(n)+b
y(n)≠y1(n)+y2(n)
因此，该系统不是线性系统。用同样方法可以证
明y(n)
x(n) sin(0n
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所代表的系统是线性系统。
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1.3.2 如果系统对输入信号的运算关系T［·］在整个运
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(2) 2π/ ω0不是整数，是一个有理数时，设2π/ ω0 =P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P， 则正弦序列是以P为周期的周期序列。例如sin(4/5)πn， ω0 =(4/5)π，2π/ ω0 =5/2，k=2，该正弦序列是以5为周 期的周期序列。
y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］=ay1(n)+by2(n) 上式中，a和b均是常数。
(1.3.4)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
例1.3.1 证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的 系统是非线性系统。
证明: y1(n)=T［x1(n)］=ax1(n)+b
y2(n)=T［x2(n)］=ax2(n)+b
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7. 如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等 式成立：
x(n)=x(n+N), -∞<n<∞
(1.2.12)
则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要
取整数。例如：
x(n)
sin(
n)
4
上式中，数字频率是π/4，由于n取整数，可以写成
下式：
x(n) sin( (n 8)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的 表示方法和典型信号、线性时不变系统的因果性和稳 定性，以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分 方程的解法。最后介绍模拟信号数字处理方法。
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2 时域离散信号
对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T， 得到
x(n) x(m) (n m)
m
(1.2.13)
式中
δ(n-m)=
1, n=m 0，n≠m
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个 很有用的公式。例如：x(n)的波形如图1.2.6所示，可以 用(1.2.13)式表示成：
x(n)=-2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+1.5δ(n-2)δ(n-4)+2δ(n-5)+δ(n-6)
xa (t) tnT xa (nT ), n (1.2.1)
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
这里n取整数。对于不同的n值， xa(nT)是一个有 序的数字序列：… xa(-T)、 xa(0)、 xa(T)…，该数字序列 就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序列
值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。 为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以 称为序列。对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。 需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外， 在数值上它等于信号的采样值，即
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
图1.2.5 正弦序列
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取 值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列 才是以N为周期的周期序列。具体正弦序列有三种情况：
(1)当2π/ ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ ω0 为周期的周期序列。例如sin(π/8)n， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16,该正弦序列周期为16。
xa(t)=sin(Ωt) xa (t)|t=nT=sin(ΩnT) x(n)=sin(ωn)
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因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此 得到数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为
ω=ΩT
(1.2.10)
(1.2.10)式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号 采样得到的序列，模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω 成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数， 也可以表示成下式：
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第1章 时域离散信号和时域离散系统
图1.2.7 序列的加法和乘法
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2. 移位、
设 序 列 x(n) 用 图 1.2.8(a) 表 示 ， 其 移 位 序 列 x(nn0)(当n0 =2时)用图1.2.8(b)表示；当n0 >0时称为x(n)的 延时序列；当n0 <0时，称为x(n)的超前序列。x(-n)则 是x(n)的翻转序列，用图1.2.8(c)表示。x(mn)是x(n)序 列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。 当m=2时，其波形如图1.2.8(d)所示。