角动量定理 天体运动

质点位移为 vdt，转过角度dθ
r 便会扫过面积 dS
dS 1 r vdt 2
面积速度 dS 1 r v
dt 2
r(t dt)
vdt
d r (t)
O
速度 动量 动量定理
面积速度 角动量 角动量定理
3
质点在 S 系中相对参考点O的角动量 L
L
r
mv
r
p
角动量随时间的变化与什么有关呢？
第四章
角动量定理 天体运动
1
§4.1 角动量定理
4.1.1 质点角动量定理
质点的运动状态： (r, v)
d
(mv)
Fdt
v
r
d
(
1
mv
v)
F
dr
2
转动 相对某参考点的转动：相对某参考点的位置矢量r
速度v
2
惯性系 S 中的一个运动质点 在运动过程中相对某参考源自文库O的径矢 r 会相应的旋转
在 dt 时间
)l
2d
sin0
h l
2(m1
m2 )gh
1 2
(m1
m2
)l
2 2 0
此即机械能守恒
0
2 l
(m1 m2 )gh m1 m2
22
例8 水平大圆盘绕中心竖直轴
以角速度旋转，质量m的
小球从中心出发，沿阿基米德螺 线运动，角动量 L 守恒。 试求小球所受真实力的 横向分量和径向分量。
⊙ω O
阿基米德螺线 r
50
§4.2.2 对称性原理
1 2
m1v12
1 2
m2v22
1 2
m1v120
1 2
m2v220
v1
(m1
m2 )v10 2m2v20 m1 m2
,
v2
( m2
m1)v20 2m1v10 m1 m2
因果对称关联
因 : 果 :
具有下标1, 2 置换对称性 具有相同对称性
51
法国物理学家皮埃尔.居里（Pierre. Curie）在1894年指出
39
壁纸的不同贴法
最简单的p1群只包含平移，而不包含其它对称操作
40
壁纸的不同贴法
p1
p2
pm
pg
cm
pmm
41
壁纸的17种贴法（包含平移、反射、转动操作）
Symmetry group
IUC notation
Lattice type
Rotation orders
Reflection axes
1
i
i
i
重力势能 重力的力矩
mi ghi mihi g mghG
i
i
ri
(mi
g)
mi ri
g
mrG
g
rG
mg
i
i
重心是质点系重力分布中心
猫的空中转体
28
对称球的外引力分布中心
P
球心是对称球的外引力分布中心
29
例9 质量 M 的均匀麦管放在光滑桌面上，一半在桌面外。
质量 m 的小虫停在左端，而后爬到右端。随即另一小虫 轻轻地落在该端，麦管并未倾倒，试求第二个小虫的质量。
dL
M 外 dt
19
质点系角动量守恒定律
若过程中M外恒为零，则过程中L为守恒量。 若过程中M外x（或M外y，M外z）恒为零， 则过程中Lx（或Ly，或Lz）为守恒量。
非惯性系中质点系的角动量定理
dL
M惯 M外 dt
20
例7 质量可略、长2l的跷跷板
静坐着两少年，左重右轻，
左端少年用脚蹬地， 获得顺时针方向角速度ω0。
4
1)
17
第四章作业
A组 4、6、8、9、10 13 、14、15、16
B组 24、26、30、32
18
4.1.1 质点系角动量定理 角动量守恒定律
在惯性系S中，质点系相对O点的角动量 L
L Li
M内 0
i
质点系角动量定理：
质点系各质点所受外力相对同一参考点的力矩之和
等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率。
镜面反演：对平面直角坐标系，仅取x到-x （或y到-y，或z到-z）的变换。
一个系统若在镜面反演变换下保持不变， 则称这一系统具有镜面反演对称性。
36
37
空间平移对称性
系统在空间平移，即在
r r R(R为常矢量)
变换下具有的不变性。
38
轴转动对称性（轴对称性）
系统在绕着某直线轴作任意角度旋转的变换下 具有的不变性。
麦管长L，小虫相对麦管速度u，麦管相对桌面左行速度v
系统动量守恒 麦管移入桌面长度
m(u v) Mv
t
x vdt
m
t
udt
m
L
0
M m 0
M m
30
分两种情况讨论：
（1） M m, x L 2
麦管全部进入桌面，第二个小虫可取任何值。
（2） M m, x L 2
麦管和二个小虫相对桌边的重力矩应该满足
(ri
R)
Fi
i
ri
Fi
R
Fi
i
i
ri
O
R
ri
Fi
M外
O
质点系所受外力的合力为零时，外力矩与参考点无关。
25
一对力偶 大小相同、方向相反且不在同一直线上的两个力
F2
M r12 F1 r21 F2
r21
2
1
r12
力偶的力矩不依赖于参考点的选择
F1
26
重心
(m m)g L x Mgx
m M m m
2
M m
31
双摆
32
§4.2 对称性与守恒律
4.2.1 对称性
33
德国数学家魏尔（H. Weyl）
对称性：系统在某种变换下具有的不变性。 例 左右对称，
上下对称， 也称镜面对称
34
空间变换对称性
z
O
y
x
系统相对点、线、面的变换
35
镜面反演对称性
r r(x x, y y, z z)
变换下具有的不变性。
45
点转动对称性（球对称性）
系统在绕着某点作任意旋转的变换下 具有的不变性。
均匀带电球体相对球心具有球对称性， 它的空间场强分布也具有此种对称性。
电
R
场
强
度
R
半径
46
时间变换对称性
一维的时间只能改变方向和平移， 所以只有两种变换：
时间反演对称性 时间平移对称性
4
pg
rectangle
none
none
5
cm
rhombus
6
pmm
rectangle
none
parallel
2
90°
7
pmg
rectangle
2
parallel
8
pgg
rectangle
9
cmm
rhombus
2
none
2
90°
10
p4
square
11
p4m
square
12
p4g
square
4
none
2T0
2mv02 r0
v3
2v0 ,
r
r0 32
v0
A
O
r0
B T
16
（3）拉动过程中，小球作螺旋线运动
dW
T
dr
Tdr
T
mv2 r
mv02r02 r3
W
r0 / 3 2 r0
mv02r02 r3
dr
1 2
mv02
(3
4
1)
它恰好等于小球的动能增量
Ek
1 mv2 2
1 2
mv02
1 2
mv02 (3
力矩
M 0
角动量 L mvR ⊙
角动量守恒
其它任何点则没有这种情况
v
R F心
O
O
11
例3 地球绕太阳公转
选择太阳为参考点 万有引力的力矩为零
M 0 LC
12
例4 圆锥摆如图，摆线长l，小球质量m，
取悬挂点O为参考点， 求摆球所受力矩和摆球角动量。
摆球受张力和重力
L
张力对O点力矩为零
摆球所受力矩 M mgl sin ⊙
dL
d
(r
p )
dr
p
r
dp
dt dt dt
dt
其中
dr p v p 0,
dp
F
dt
dt
dL
r
F
dt
L
p r
4
质点所受力相对参考点 O 的力矩
M
r
F
质点角动量定理 质点所受力相对某参考点的力矩 等于质点相对该参考点角动量的变化率。
M
dL
dt
处理转动的所有公式都是从这个公式导出
角动量 L 守恒 L mr2 d
m
dt
d L r 2, dr d L r 2
dt m
dt dt m
23
d 2
dt 2
2
L2 m2
r 5,
d 2r dt 2
2 2
L2 m2
r 5
圆盘系中小球所受合力
F
m
2r
2mv
合力的横向分量 F 2mvr
合力的径向分量 Fr mr 2 2mv
7
两质点之间一对作用力与反作用力 相对于同一参考点力矩之和必为零。
r1
F1
r2
F2
r1
F2
r2
F2
(r2r12
r1) F2
F2
0
F1
1
r2 1
2
F2
r1
r2
8
若过程中力矩恒为零，则过程中角动量为守恒量
M 0 L 常矢量
若过程中 Mz 恒为零，则过程中 Lz 为守恒量
对称性原理 因中若有某种对称性， 果中也有此种对称性， 因果间的这种对称性是普遍存在的。
52
§4.2.3 对称性与守恒律
诺特
最伟大的女数学家
Emmy Noether (1882-1935)
53
诺特定理：论证了对称性与守恒律之间存在的普遍联系
连续变换的对称性都对应一条守恒定律
t t t t t0
47
时间反演对称性
时间反演即时间倒流
未来 过去
t t dt dt
v dr , v v dt
a dv ,
a a,
F F
dt
r(t dt)
2 vdt
1
d r(t)
O
过去 未来
48
牛顿第二定律具有时间反演对称性 经典力学中，与牛顿第二定律平行的是力的结构性定律 胡克定律、引力定律、库仑定律具有时间反演对称性
阻尼性作用定律给出的空气阻力、摩擦力等没有时间反演对称性
f
v
时间倒流在真实的世 界中是不可能发生的
49
时间平移对称性
系统在时间平移，即在
t t t0
变换下具有的不变性。 牛顿第二定律和力的结构性定律都具有时间平移对称性
自然界中除了与时空变换有关的对称性以外， 还有其它的对称性，物理学的后续课程中将会讨论。
z
m2
l
m1
l
O h
求ω0至少多大时，右端少年可着地？
力矩
M z m1gl cos m2gl cos
系统角动量 Lz (m1 m2 )l 2
21
角动量定理
Mz
dLz dt
(m1 m2 )l 2
d
dt
(m1 m2 )l 2
d d
积分
0
0
(m1
m2
)
gl
cos
(d
)
0 0
(m1
m2
p1
parallelogrammatic
none
none
2
p2
parallelogrammatic
2
none
3
pm
rectangle
none
parallel
+ = all rotation centers lie on reflection axes * = not all rotation centers on reflection axes
M z 0 Lz 常量
有心力：质点所受力 F 若始终指向一个固定点 O，O为力心。
9
例1 相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量
参考点A： 重力矩 角动量
参考点B：
M mgd1 L0
A d2 B
d1
v
mg
重力矩
M mgd1
角动量
L mvd2
10
例2 匀速圆周运动
选择圆心O为参考点
（1）求B端所受竖直向下的外力T0
（2） T0极缓慢增到 2T0，求v （3）用功的定义式求拉力所作的功。
B
T
分析物理过程 以O为参考点，力矩为零，角动量守恒。
T0极缓慢增大，径向速度可略，中间过程近似为圆周运动。
15
解
（1）
T0
m
v02 r0
（2）
角动量守恒 mvr mv0r0
圆周运动
mv2 r
4+
45°
4*
90°
13
p3
hexagon
14
p31m
hexagon
15
p3m1
hexagon
3
none
3*
60°
3+
30°
16
p6
hexagon
6
none
17
p6m
hexagon
6
30°
42
pmg
pgg
cmm
p4
p4m
p4g
43
p3
p31m
p3m1
p6
p6m
44
空间反演对称性（点对称性）
系统在空间反演，即在
角动量 L 守恒，横向力为零
F 2mvr 2Lr2
径向力应合成mar
Fr
m
d 2r dt 2
r
d
dt
2
mr 2
2mv
mr 2 2Lr 1 L2 (1 2 2r 2 )r 3
m
24
4.1.3 外力矩 重心 对称球的外引力分布中心
外力矩是质点系角动量变化的原因
合力为零的外力矩
M 外
位于rG的几何点称为质点系的重心
rG
mi ri
i
m
质量均匀分布，几何结构具有对称性的物体，重心位于其几何中心
27
质点系各质点重力的冲量和等于质点系重力的冲量
质点系各质点重力作功之和 等于质点系重力作用于重心处所作的功
(mi g) dri g
mi dri
g
d
mi
ri
mg
drG
5
力矩
M rF sin Fh
力臂 h：点 O 到力 F 作用线的距离。
在直角坐标系中，M 可用行列式表述成
M
r
F
i j
x y
Fx Fy
k z Fz
它的三个分量： M z xFy yFx ,
F
r
h
6
肱二头肌
Use the following values: length of forearm = L = 18 cm elbow to bicep distance = d = 3 cm mass of forearm = M = 4 kg mass of baseball = m = 1 kg
O
l
T
O
mg
摆球角动量
L mvl
方向如图
选另一参考点 O
13
例5 导出单摆的摆动方程
力矩和角动量都只有 z 轴分量
M z mgl sin
Lz
mlv
ml2
d
dt
采用小角度近似 sin
O
l
⊙z
T
mg
利用角动量定理
d 2 g
dt 2
l
14
例6 小球绕O作圆周运动，如图所示。
v0
A
O
r0