不动点定理及其应用

不动点定理及其应用
一、不动点定理
不动点定理fixed —point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =⋅⋅⋅，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。

（一）、压缩算子:
1、定义： 设（1)X
距离空间；
（2）算子:T X X →的映射。

若(01),..,s t x y X θθ∃≤<∀∈，恒有(,)(,)Tx Ty x y ρθρ≤， 则称T 是X 上的压缩算子.θ为压缩系数.
2、性质：压缩算子T 是连续的 证 ：若n
x x →，即(,)0n x x ρ→，则(,)(,)0n n Tx Tx x x ρθρ≤→
例:1
1
:T R R →，则 ①12
Tx x =
是压缩算子
因为1111(,)(,),222
2
Tx Ty Tx Ty x y x y ρρθ=-=-
=
=
②0Tx x =是压缩算子（0θ= ） ③Tx x =不是压缩算子（1θ= )
（二）、不动点定理
1、定义：设（1）X --—— 是完备的距离空间；
（2):T X X →的压缩算子.
则T 在X 上存在唯一的不动点*
x ，即*
*
*
,..x X s t x Tx ∃∈=
2、注意
（1）定理的证明过程就是求不动点的方法,称为构造性的证明. （2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。

（3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。

但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。

初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。

（4）误差估计
①事前(或先验）误差:根据预先给出的精确度,确定计算步数。

此方法有时理论上分析困难。

设迭代到第n 步，将*
n x
x ≈，则误差估计式为
*
0010(,)(,)(,)11n n
n x x Tx x x x θθρρρθθ
≤=--
②事后(或后验）误差：计算到第n 步后,估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取*
n x x ≈。

此方法简单，但有时无法估计计算步数。

设迭代到第n 步，将*n x x ≈，则误差估计式为
*1(,)(,)1n n n x x x x θ
ρρθ
-≤
-
或 *11
(,)(,)1n n n x x x x ρρθ
+≤
- 3、求解不动点的具体步骤： Step1 提供迭代初始点0x ； Step2 计算迭代点10x Tx =；
Step3 控制步数，检查10(,)x x ρ，若10(,)x x ρε>.则以1x 替换0x 转到第二步，继续迭代，当10(,)x x ρε≤时终止，取1x 为所求结果。

误差不超过
1θ
εθ
-。

对于不动点理论，为了便于应用，下面给出两种不同情况下所适合的方法。

推论1
设（1）X ——--完备的距离空间； （2):T X X →的算子。

(3）T 在闭球0(,)s x r X ⊂上是压缩算子，并且
00(,)(1)Tx x r ρθ≤-
则T 在0(,)s x r 中存在唯一的不动点
推论2
设（1）X ———完备的距离空间; （2）:T X X →的算子。

（3）存在01θ≤<及正整数n ，使,x y X ∀∈,都有
(,)(,)n n T x T y x y ρθρ≤
则T 在X 中存在唯一的不动点。

定理的意义在于：如果不能直接得到T 是压缩算子，可以研究n T 是否为压缩算子,从而得到T 有唯一不动点。

二、不动点定理的应用
不动点定理建立在距离空间基础上的，而距离空间是一个比较广泛的抽象空间,所以不动点定理有着广泛的应用.
应用不动点定理解决实际问题的步骤：
（1）寻找压缩算子T ，将问题转化为求x Tx =的不动点； (2）构造迭代序列{}n x ，取极限点*
n x x ≈; （3)误差分析；
（4）通过实际问题进行验证。

（一)、在线性代数中的应用
例如 ()Ax b x I A x b Tx =⇔=-+=，则迭代格式1()n n x I A x b +=-+
（二）、不动点定理在常微分方程中的应用
科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题.除了一些简单的微分方程外，要找出解析解是非常困难的、甚至是不可能的。

因此，许多类型的微分方程应用数值解法求近似解。

数值解法是能够算出解在若干个离散点上近似结果的通用方法。

本节只讨论应用不动点理论在函数空间中给出常微分方程解的存在性和唯一性定理，至于具体的求解方法可参考其它教材。

下面以一阶微分方程的初值问题为例进行讨论。

定理1 (一阶微分方程的初值问题）
已知 00
(,)
()dy
f x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
若(,)f x y 在2R 上连续,并且满足李普西兹（Lipschitz ）条件：
1212
(,)(,)(0)f x y f x y L y y L -≤->
则通过点00(,)x y 必有且只有一条积分曲线()y y x =
（三）、不动点定理在积分方程中的应用
定理2 设有线性积分方程（Fredhlolme —弗雷德霍姆方程)
()()(,)()b
a x s f s K s t x t dt λ=+⎰
则对于充分小的λ,有
（1）()[,],(,)[,][,]f s C a b K s t C a b a b ∈∈⨯（正方形域)时，方程有唯一的连续函数解。

（2）22()[,],
(,)b
b a a f s L a b K s t ds dt M ⎡⎤∈=<+∞⎢⎥⎣⎦
⎰⎰时,方程有唯一的平方可积函数解。

证(1）思路：构造算子T ，并证明T 是压缩的. ①[,]C a b 按范数()
max ()a t b
x t x t ∞
≤≤=是完备的距离空间；
② 在[,]C a b 上，令()()(,)()b
a
Tx s f s K s t x t dt λ=+⎰,则
:[,][,]T C a b C a b →
的算子。

下面证T 的压缩性.
证（2）思路：构造算子T ，并证明T 是压缩的。

①2[,]L a b 按范数1
2
2
2()()b
a x t x t dt ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
⎰是完备的距离空间；
② 在2[,]L a b 上，令()()(,)()b
a
Tx s f s K s t x t dt λ=+⎰，则
22:[,][,]T L a b L a b →的算子。

下证T 的压缩性。

第一种情形举例
例 设在[0,1]C 上有,0(,),1
s s t
K s t t t s ≤≤⎧=⎨≤≤⎩，求方程
1
1()1(,)()10t K s t s ds ϕϕ=+⎰
的近似连续函数解,且要求误差不超过10—4。

解 :100111
()1,,(,)[0,1][0,1],max (,)102
t f t K s t C M K s t ds λ≤≤==
∈⨯==⎰，
令101()1(,)()10T t K s t s ds ϕϕ=+⎰，其中1110M λ=<，11
10M
λ=<，故由定理2（1）的证
明知，算子方程T ϕϕ=存在唯一的不动点*[0,1]C ϕ∈。