连续性随机变量详解

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为使候车时间X 少于 5 分钟，
乘客必须在7:10
到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.
所求概率为：
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30 3
p(x)
1 30
,
0 x 30
0, 其它
x1
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同时得以下计算公式
P{X a} F(a) a f ( x)d x,
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a)
a
f ( x) d x f ( x) d x
f ( x)d x f ( x)d x f ( x)d x.
a
a
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续,则有 F( x) f ( x).
(2) f ( x)d x 1;
证明
1 F() f (x)d x.
(3)
P{ x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1)
x2 f ( x)d x;
x1
证明 P{ x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1)
x2 f ( x) d x x1 f ( x) d x x2 f ( x)d x.
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连 续 型
离 散 型
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例1 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其它.
(1) 确定常数 k; (2) 求 X 的分布函数;
(3) 求 P{1 X 7}. 2
解 (1)由 f ( x)d x 1,
第10页
得
3
kx d x
f (t)dt
0
f (t)dt
x
f (t)dt
0
0
x
0dt 1dt ,
则F(x) x;
0
当1 x时， x
f (t)dt
0
f (t)dt
1
f (t)dt
x
f (t)dt
0
1
0
1
x
0dt 1dt 0dt ,
则F(x) 1．
0
1
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一、概率密度的概念与性质
1.定义 如果对于随机变量 X 的分布函数 F ( x), 存在
非负函数, 使对于任意实数 x 有 F ( x) x f (t)d t,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x) 称为 X 的概率
密度函数,简称概率密度.
f (x)
S f ( x)d x 1
S1
x2 f ( x)d x
x1
1
S1
o
•• x1 x2
x
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性质 (1) f ( x) 0;
4
(2
x)d
x
1,
解之得
0
3
2
(2)由 k 1 知 X 的概率密度为 6
x 6
,
f
(x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其它.
k 1. 6
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由 F ( x) x f ( x)d x 得
0, x 0,
x x d x,
0 x 3,
F ( x)
0 3
f (x)
p l ba
l
l
1
•
a
ba
o
•
b
x
分布函数
0,
F
(
x)
x b
a a
,
1,
x a, a x b, x b.
F(x) 1•
•
•
ao b
均匀分布分布函数图形演示
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x
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例13 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，
即 7:00，7:15，7:30, 7:45等时刻有汽车到达此站，
如果乘客到达此站时间X是7:00 到 7:30 之间的均匀
随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率. 解： 以7:00为起点0，以分为单位
依题意， X ～ U ( 0, 30 )
p(x)
1 30
,
0 x 30
0, 其它
从上午7时起， 每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，
7:30等时刻有汽车到达汽车站， 16
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第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及其分布 第二节 离散型随机变量 第三节 连续性随机变量
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一、概率密度的概念与性质
0, x 0;
引例设随机变量
X
的分布函数
F(x)
x,
0 x 1;
当x 0时， x
f (t)dt
x
0dt
0
1,
, 则F(x) 0;
x 1.
当0 x 1时， x
即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
17
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
f
F(a0) F(a).
4. P(X=a) = 0 5. F(x)为连续函数。
F(a0) = F(a).
注意 若X是连续型随机变量，{ X=a }是不 可能事件，则有 P{X a} 0.
若 P{ X a} 0, 则不能确定 {X a} 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量, { X a} 是不可能事件 P{X a} 0.
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离散型
连续型
1. 分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 )
1. 密度函数 X ~ p(x) ( 不唯一 )
2. F(x) = P( X xi )
xi x
2.
F(x)
x
p(t)dt
3.
F(a+0) = F(a); P(a<Xb) = F(b)F(a).
4. 点点计较 5. F(x)为阶梯函数。
6 xd
x
x
(2
x)d
x,
0 6
3
2
1, x 4.
3 x 4,
0,
x 0,
x
2
,
0 x 3,
即
F(x)
12
3
2x
x2 4
,
3 x 4,
1,
x 4.
(3)
P{1
X
7} 2
F(7) 2
F (1)
41 . 48
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二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
第6页
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a
的概率等于零.即
P{X a} 0.
证明
a x
P{X a} lim
f ( x)d x 0.
x0 a
由此可得
P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}.
连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
fห้องสมุดไป่ตู้
(
x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它,
则称 X 在区间(a,b) 区间上服从均匀分布,
记为 X ~ U (a,b). 概率密度
f (x)
函数图形
均匀分布概率密度函数演示
•
a
o
•
bx
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均匀分布的意义
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X , 落在区间(a , b)中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的.