固体物理第二章第二节对称性和布拉维格子的分类
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以上为3种基本对称操作。然而，在某些晶体中 还存在着等价于相继进行两个基本对称操作(乘 法法则)而得到的独立对称操作，称为组合操作
组合操作: 非正当转动
(improper rotation)
旋转+垂直于转轴 的平面镜像反映
也叫旋转-反映或象转操作
旋转-反演(倒反)
旋转+中心反演
总之，上述对称操作满足数学上构成群的条 件，一个晶体的所有点对称操作集合形成该晶 体点群。理论和实验证明，所有晶体结构的宏 观对称性，可概括为32个晶体点群。
O
四个3次轴、三个4次轴，按八面体型分布
熊 为了表明对称面相对于旋转轴的位置，还有如下附加指标： 夫 下角标h(水平)表示垂直于旋转轴 利 符 下角标v(铅直)表示平行于旋转轴 号
下角标d(对角)表示平行于主轴且平分2次轴之间的夹角
国际符号
国际符号以不超过三个几何上的从优方向 来描述晶体的对称类型，这些方向或平行于对 称轴或垂直于对称面
A
a21
a22
a23
0
1
0
a31 a32 a33 0 0 1
A 1
还有：以z=0作为镜面，则有：
x x
y
y
z z
a11 a12 a13 1 0 0
A
a21
a22
a23
0
1
Biblioteka Baidu
0
a31 a32 a33 0 0 1
A 1
由上可以看出，当变换是纯转动时，矩阵的行 列式等于+1；当是空间反演或镜面反射时等于1.前一种对应物体的实际运动，另一种不能靠物 体的实际运动来实现。
比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：
x x
y
y
cos
z sin
z
y
sin
z
cos
a11 a12 a13 1 0
0
A
a21
a22
a23
0
cos
sin
a31 a32 a33 0 sin cos
A 1
再比如：取中心为原点，经中心反演，则有：
x x
y
y
z z
a11 a12 a13 1 0 0
nm 平行于镜面的n次旋转反演轴
n m或n / mm m
垂直于一个镜面但平行于其它反映面的n次 旋转轴
注意，以上许多的操作并不都是独立的
如旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对
称素。如：
3 3i
1i
2m
3
5
1 1
1
1
4
2
2
6 2
6=3+m
3 3
A
5 5
1 B
D 正四面体既无四
C
度轴也无对称心
1
我们这一节主要介绍这些人得到的结果
二、点群和七个晶系
1. 点群
保持空间某一点固定不动的对称操作，称为点 对称操作。在点对称操作基础上构成的对称操 作群称为点群
2. 点对称操作的类型和对称元素：
对于晶体而言，对称操作就是对晶体进行几 何变换而能复原的操作。晶体中的基本的点对 称操作有三种：
正当转动操作,即绕固定轴的转动 (rotation about an axis) ；
av3(cv)
1.三斜晶系： a b c
av2
v (b )
av1 ( av)
2.单斜晶系： a b c 900
3.正交晶系： a b c 900 4.四方晶系 a b c 900
5.三角晶系： a b c 900 1200
即：Ai G,i 1, 2,3L ,G {Ai}
必须满足下列条件： 1). 封闭性(closure property) 按照给定的乘法规则，群G中任何两个元素 相乘，得到的还是该群的一个元素。
Ai Aj Ak ,i j or i j
2). 群中一定包含一个不变元素(单位元素) E
E G, EAi Ai E Ai
显然n=1,相当于不动操作(元素)E, n=2,3,4,6的转轴分别称为二度、三度、四度、 六度转轴
晶体的对称性定律的证明 B
A
如格之图 间点的,之A距一为离,格则一点与定,B为是平uA离u行BurA的最的u格A近u整Bur点的 数倍。
a
Aa
a
B
如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则该
操作将使B 格点转到 位B置 ,则由于转动对称操 作不改变格子,在 处B必 定原来就有一个格点。
从数学角度来看，晶体的对称性是对晶体进行
几何变换而能保持晶体性质的不变性,相当于一
个正交线性变换。一个变换就是一种操作。
x x a11 a12
y
y
a21
a22
z z a31 a32
正交矩阵
a13 x
a23
y
;
a33 z
参考方俊鑫固物p32-36 ;或方可固物p13-16
对于点对称操作的类型,固体物理中惯用熊夫利符号 (Schoenflies notation)标记;晶体学家惯用国际符号 (Schoenflies notation)标记.在晶体结构分析中,常用后者.
P28-29表2.1给出了32个晶体学点群，为了 便于大家看懂，下面给出符号的说明
Cn C1, C2 , C3, C4 , C6
镜面反映 (Reflection across a plane);
中心反演(inversion through a point) ;
相应的对称元素有:对称轴;对称面;对称中心
一个旋转对称操作(rotational symmetry operation)意味着将点阵绕着某个轴旋转某个 角度 或- 以后，点阵保持不变。
群及其表示理论是物理系研究生的一门重要 基础课，对于本科生不作要求。因此，我们不 打算在这里讲过多的群论的知识。只是简单介 绍一下，让大家对群的概念有一个认识。
一、群的知识简介 1. 群的定义
所谓群(group)就是一些元素(elements)或操 作的集合，常用符号 G 来表示。
构成群的元素要满足以下条件： 设 A1, A2等, A表3 L示群G中所包含的元素或操作
熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫
(Fedorove 1892) 为了研究复式晶格(几套简单
格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作，
提出了空间群的概念,并证明只有230种独立
的空间群。 可由此证明只有14种三维布拉维
点阵
此外，为了方便，人们制定了标示晶体类型 的符号，一套是熊夫利制订的，称为熊夫利符 号；一套是海尔曼(Hermann)和毛衮(Mauguin) 制订的，称为国际符号
H
6
G
2' 2
6 4
4
E
F
参考方俊鑫书 P37-39
D
A
G
H
C
B F
E
旋转反演对称操作中只有4度 旋转反演对称操作是独立的
独立的对称操作有8种,即 1，2，3，4，6，i，m， 。
或C1，4 C2，C3，C4，C6 ，
Ci，Cs，S4。
4
3 1 3
1
2
4
2 4
所有点对称操作都可由这8种操作或它们的
组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一
个群，每个操作都是群的一个元素。对称性不
同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、
镜象和旋转--反演点对称操作构成32个点群。
3.七个晶系
在不考虑平移对称操作的基础上，32个点群
属于7个晶系。 7个晶系的划分，可以说是从
简单格子出发来考虑的，简单 格考子虑含到有格一矢个Rv格n 点n1。av1 n2av2 n3av3
n1,2,3,4,6 n次旋转轴
Cn
n 1, 2, 3, 4, 6 旋转-反演轴
Sn
m( 2) 镜面反映
Cs S2
国I
表示中心反演
Ci S1 i
际 符
n m
垂直于镜面的n次旋转轴
号
nm 平行于镜面的n次旋转轴
n2
垂直于一个或多个2次轴 的n次主轴
n2 垂直于一个或多个2次轴 的旋转反演轴
如果一个物体在某一正交变换下不变，就称这 个变换为物体的一个对称操作。显然，一个物 体的对称操作越多，就表明它的对称性越高。
定量研究对称操作集合的性质要用群论的知识。 谢希德、蒋平等人编著的《群论及其在物理学 中的应用》(科学出版社出版，1986年8月)是一 本不错的书，有兴趣的同学可以参阅）
群论作为数学的分支，是处理有一定对称性 的物理体系的有力工具，可以简化复杂的计算， 也可以预言物理过程的发展趋势，还可以对体 系的许多性质作出定性的了解。
第二节 对称性和布拉维格子的分类
本节主要内容: 一、群的知识简介 二、点群和七个晶系 三、空间群和14种布拉维格子 四、点群对称性和晶体的物理性质
§2.2 对称性和布拉维格子的分类
布拉维格子是按其对称性(symmetry)来分类的：
所谓对称性是指在一定的几何操作下，物体 保持不变的特性。
对称性在物理学中是一个非常重要的概念， 它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了。 因为对称性的本质是指系统中的一些要素是等 价的。对称性越高的系统，需要独立表征的系 统要素就越少，因而描述起来就越简单。
av2
v (b )
av3(cv)
av1 ( av)
所以，晶体的三维周期性结构由 av1, av2, av3
三个矢量的方向和长度来决定，存在7类不同
的组合，即7个晶系。
7个晶系为：三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、 三角晶系、四方晶系、六角晶系、立方晶系。 (按对称性来排序)
7个晶系(由简单格子确定,用符号P表示)
1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发， 可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布 拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点 群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点 都要动，而点群必须至少有一个格点不动)
为了保持在旋转对称操作后点阵不变，在二 维晶格中，旋转轴一定要通过某一个格点而且 垂直平面；在三维晶格中，旋转轴一定要通过 某一个格点而且平行于某一个晶向。
由于晶体周期性的限制，转角只能是:
2 , n 1, 2,3, 4, 6
n
证明见p28
即：晶体中允许的转动对称轴只能是1，2， 3，4和6重轴 称为晶体的对称性定律
因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行.
由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 A的
位置。同样 A处 原来也必定有一个格点
由于 ABA组B成 等腰梯形,
B
A
suuur suur
因此 AB m AB ma,
a
a
m为整数
A B 亦即：2a cos( ) a ma
a
m 1 2cos
表示n次旋转轴
n=1,2,3,4,6
Sn S1, S2 , S3, S4 , S6
表示n次旋转-反 演轴 n=1,2,3,4,6
熊
夫 利
Dn D2 , D3, D4 , D6
表示n个垂直于主轴的 2次旋转轴n=2,3,4,6
符 号
Ci S1 i
表示中心反演
Cs S2 表示镜面反映
T 四个3次轴、三个2次轴，按四面体型分布
我们这里要讨论的主要是晶格(或点阵)的对 称性(symmetry of lattice).
在晶格这个物理系统中，一种对称性是指某些 要素互相等价，而用来描述晶格的要素，无非就 是：点、线、面。而保持这些要素等价的操作---对称操作有三种：平移、旋转、镜反射。假设 在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个 格点的位置都得到重复，那么这个相应的平移、 旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作。其 中的点、线、面分别叫做对称中心、对称轴、对 称面----称为对称元素
6.六角晶系： a b c 7.立方晶系： a b c
Q 1 cos 1
而且,m必须为整数,所以,m只能取 -1,0,1,2,3 与m=-1,0,1,2,3相应的转角为:
2 , 2 , 2 , 2 , 2 n 1,6,4,3,2
6432
通常把晶体中轴次最高的转动轴称作主对称 轴，简称主轴
(但是立方晶系则以3次轴为主轴),其它为副轴.
一个镜面反映对称操作(symmetry operation of mirror image)意味着将点阵对应于某一个面进行 反射,点阵保持不变.这表明一系列格点对应于这 个反射面的位置是等价的,点阵具有镜反射对称 性.如以xy面为反射面,则(x,y,z)(x,y,-z) 中心反演,如对原点的反演,(x,y,z) (-x,-y,-z)
3). 存在逆元素 Ai G, Ai1 Ai Ai1 Ai1Ai E
4). 满足组合定则 ( Ai Aj ) Ak Ai ( Aj Ak )
在晶体的几何对称性的研究中，每一个能 使晶体复原的对称操作，都满足上述群中的 元素的要求，由这些元素(或操作)所构成的 群叫对称性群(symmetry group),包括点群 (point group)和空间群(space group)
组合操作: 非正当转动
(improper rotation)
旋转+垂直于转轴 的平面镜像反映
也叫旋转-反映或象转操作
旋转-反演(倒反)
旋转+中心反演
总之，上述对称操作满足数学上构成群的条 件，一个晶体的所有点对称操作集合形成该晶 体点群。理论和实验证明，所有晶体结构的宏 观对称性，可概括为32个晶体点群。
O
四个3次轴、三个4次轴，按八面体型分布
熊 为了表明对称面相对于旋转轴的位置，还有如下附加指标： 夫 下角标h(水平)表示垂直于旋转轴 利 符 下角标v(铅直)表示平行于旋转轴 号
下角标d(对角)表示平行于主轴且平分2次轴之间的夹角
国际符号
国际符号以不超过三个几何上的从优方向 来描述晶体的对称类型，这些方向或平行于对 称轴或垂直于对称面
A
a21
a22
a23
0
1
0
a31 a32 a33 0 0 1
A 1
还有：以z=0作为镜面，则有：
x x
y
y
z z
a11 a12 a13 1 0 0
A
a21
a22
a23
0
1
Biblioteka Baidu
0
a31 a32 a33 0 0 1
A 1
由上可以看出，当变换是纯转动时，矩阵的行 列式等于+1；当是空间反演或镜面反射时等于1.前一种对应物体的实际运动，另一种不能靠物 体的实际运动来实现。
比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：
x x
y
y
cos
z sin
z
y
sin
z
cos
a11 a12 a13 1 0
0
A
a21
a22
a23
0
cos
sin
a31 a32 a33 0 sin cos
A 1
再比如：取中心为原点，经中心反演，则有：
x x
y
y
z z
a11 a12 a13 1 0 0
nm 平行于镜面的n次旋转反演轴
n m或n / mm m
垂直于一个镜面但平行于其它反映面的n次 旋转轴
注意，以上许多的操作并不都是独立的
如旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对
称素。如：
3 3i
1i
2m
3
5
1 1
1
1
4
2
2
6 2
6=3+m
3 3
A
5 5
1 B
D 正四面体既无四
C
度轴也无对称心
1
我们这一节主要介绍这些人得到的结果
二、点群和七个晶系
1. 点群
保持空间某一点固定不动的对称操作，称为点 对称操作。在点对称操作基础上构成的对称操 作群称为点群
2. 点对称操作的类型和对称元素：
对于晶体而言，对称操作就是对晶体进行几 何变换而能复原的操作。晶体中的基本的点对 称操作有三种：
正当转动操作,即绕固定轴的转动 (rotation about an axis) ；
av3(cv)
1.三斜晶系： a b c
av2
v (b )
av1 ( av)
2.单斜晶系： a b c 900
3.正交晶系： a b c 900 4.四方晶系 a b c 900
5.三角晶系： a b c 900 1200
即：Ai G,i 1, 2,3L ,G {Ai}
必须满足下列条件： 1). 封闭性(closure property) 按照给定的乘法规则，群G中任何两个元素 相乘，得到的还是该群的一个元素。
Ai Aj Ak ,i j or i j
2). 群中一定包含一个不变元素(单位元素) E
E G, EAi Ai E Ai
显然n=1,相当于不动操作(元素)E, n=2,3,4,6的转轴分别称为二度、三度、四度、 六度转轴
晶体的对称性定律的证明 B
A
如格之图 间点的,之A距一为离,格则一点与定,B为是平uA离u行BurA的最的u格A近u整Bur点的 数倍。
a
Aa
a
B
如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则该
操作将使B 格点转到 位B置 ,则由于转动对称操 作不改变格子,在 处B必 定原来就有一个格点。
从数学角度来看，晶体的对称性是对晶体进行
几何变换而能保持晶体性质的不变性,相当于一
个正交线性变换。一个变换就是一种操作。
x x a11 a12
y
y
a21
a22
z z a31 a32
正交矩阵
a13 x
a23
y
;
a33 z
参考方俊鑫固物p32-36 ;或方可固物p13-16
对于点对称操作的类型,固体物理中惯用熊夫利符号 (Schoenflies notation)标记;晶体学家惯用国际符号 (Schoenflies notation)标记.在晶体结构分析中,常用后者.
P28-29表2.1给出了32个晶体学点群，为了 便于大家看懂，下面给出符号的说明
Cn C1, C2 , C3, C4 , C6
镜面反映 (Reflection across a plane);
中心反演(inversion through a point) ;
相应的对称元素有:对称轴;对称面;对称中心
一个旋转对称操作(rotational symmetry operation)意味着将点阵绕着某个轴旋转某个 角度 或- 以后，点阵保持不变。
群及其表示理论是物理系研究生的一门重要 基础课，对于本科生不作要求。因此，我们不 打算在这里讲过多的群论的知识。只是简单介 绍一下，让大家对群的概念有一个认识。
一、群的知识简介 1. 群的定义
所谓群(group)就是一些元素(elements)或操 作的集合，常用符号 G 来表示。
构成群的元素要满足以下条件： 设 A1, A2等, A表3 L示群G中所包含的元素或操作
熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫
(Fedorove 1892) 为了研究复式晶格(几套简单
格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作，
提出了空间群的概念,并证明只有230种独立
的空间群。 可由此证明只有14种三维布拉维
点阵
此外，为了方便，人们制定了标示晶体类型 的符号，一套是熊夫利制订的，称为熊夫利符 号；一套是海尔曼(Hermann)和毛衮(Mauguin) 制订的，称为国际符号
H
6
G
2' 2
6 4
4
E
F
参考方俊鑫书 P37-39
D
A
G
H
C
B F
E
旋转反演对称操作中只有4度 旋转反演对称操作是独立的
独立的对称操作有8种,即 1，2，3，4，6，i，m， 。
或C1，4 C2，C3，C4，C6 ，
Ci，Cs，S4。
4
3 1 3
1
2
4
2 4
所有点对称操作都可由这8种操作或它们的
组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一
个群，每个操作都是群的一个元素。对称性不
同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、
镜象和旋转--反演点对称操作构成32个点群。
3.七个晶系
在不考虑平移对称操作的基础上，32个点群
属于7个晶系。 7个晶系的划分，可以说是从
简单格子出发来考虑的，简单 格考子虑含到有格一矢个Rv格n 点n1。av1 n2av2 n3av3
n1,2,3,4,6 n次旋转轴
Cn
n 1, 2, 3, 4, 6 旋转-反演轴
Sn
m( 2) 镜面反映
Cs S2
国I
表示中心反演
Ci S1 i
际 符
n m
垂直于镜面的n次旋转轴
号
nm 平行于镜面的n次旋转轴
n2
垂直于一个或多个2次轴 的n次主轴
n2 垂直于一个或多个2次轴 的旋转反演轴
如果一个物体在某一正交变换下不变，就称这 个变换为物体的一个对称操作。显然，一个物 体的对称操作越多，就表明它的对称性越高。
定量研究对称操作集合的性质要用群论的知识。 谢希德、蒋平等人编著的《群论及其在物理学 中的应用》(科学出版社出版，1986年8月)是一 本不错的书，有兴趣的同学可以参阅）
群论作为数学的分支，是处理有一定对称性 的物理体系的有力工具，可以简化复杂的计算， 也可以预言物理过程的发展趋势，还可以对体 系的许多性质作出定性的了解。
第二节 对称性和布拉维格子的分类
本节主要内容: 一、群的知识简介 二、点群和七个晶系 三、空间群和14种布拉维格子 四、点群对称性和晶体的物理性质
§2.2 对称性和布拉维格子的分类
布拉维格子是按其对称性(symmetry)来分类的：
所谓对称性是指在一定的几何操作下，物体 保持不变的特性。
对称性在物理学中是一个非常重要的概念， 它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了。 因为对称性的本质是指系统中的一些要素是等 价的。对称性越高的系统，需要独立表征的系 统要素就越少，因而描述起来就越简单。
av2
v (b )
av3(cv)
av1 ( av)
所以，晶体的三维周期性结构由 av1, av2, av3
三个矢量的方向和长度来决定，存在7类不同
的组合，即7个晶系。
7个晶系为：三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、 三角晶系、四方晶系、六角晶系、立方晶系。 (按对称性来排序)
7个晶系(由简单格子确定,用符号P表示)
1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发， 可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布 拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点 群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点 都要动，而点群必须至少有一个格点不动)
为了保持在旋转对称操作后点阵不变，在二 维晶格中，旋转轴一定要通过某一个格点而且 垂直平面；在三维晶格中，旋转轴一定要通过 某一个格点而且平行于某一个晶向。
由于晶体周期性的限制，转角只能是:
2 , n 1, 2,3, 4, 6
n
证明见p28
即：晶体中允许的转动对称轴只能是1，2， 3，4和6重轴 称为晶体的对称性定律
因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行.
由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 A的
位置。同样 A处 原来也必定有一个格点
由于 ABA组B成 等腰梯形,
B
A
suuur suur
因此 AB m AB ma,
a
a
m为整数
A B 亦即：2a cos( ) a ma
a
m 1 2cos
表示n次旋转轴
n=1,2,3,4,6
Sn S1, S2 , S3, S4 , S6
表示n次旋转-反 演轴 n=1,2,3,4,6
熊
夫 利
Dn D2 , D3, D4 , D6
表示n个垂直于主轴的 2次旋转轴n=2,3,4,6
符 号
Ci S1 i
表示中心反演
Cs S2 表示镜面反映
T 四个3次轴、三个2次轴，按四面体型分布
我们这里要讨论的主要是晶格(或点阵)的对 称性(symmetry of lattice).
在晶格这个物理系统中，一种对称性是指某些 要素互相等价，而用来描述晶格的要素，无非就 是：点、线、面。而保持这些要素等价的操作---对称操作有三种：平移、旋转、镜反射。假设 在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个 格点的位置都得到重复，那么这个相应的平移、 旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作。其 中的点、线、面分别叫做对称中心、对称轴、对 称面----称为对称元素
6.六角晶系： a b c 7.立方晶系： a b c
Q 1 cos 1
而且,m必须为整数,所以,m只能取 -1,0,1,2,3 与m=-1,0,1,2,3相应的转角为:
2 , 2 , 2 , 2 , 2 n 1,6,4,3,2
6432
通常把晶体中轴次最高的转动轴称作主对称 轴，简称主轴
(但是立方晶系则以3次轴为主轴),其它为副轴.
一个镜面反映对称操作(symmetry operation of mirror image)意味着将点阵对应于某一个面进行 反射,点阵保持不变.这表明一系列格点对应于这 个反射面的位置是等价的,点阵具有镜反射对称 性.如以xy面为反射面,则(x,y,z)(x,y,-z) 中心反演,如对原点的反演,(x,y,z) (-x,-y,-z)
3). 存在逆元素 Ai G, Ai1 Ai Ai1 Ai1Ai E
4). 满足组合定则 ( Ai Aj ) Ak Ai ( Aj Ak )
在晶体的几何对称性的研究中，每一个能 使晶体复原的对称操作，都满足上述群中的 元素的要求，由这些元素(或操作)所构成的 群叫对称性群(symmetry group),包括点群 (point group)和空间群(space group)