一维定态薛定谔方程的一般性质

在 x > x 区域有
不连续 类似分析可得
2
∂ ′ ( x, E1 ) / ψ + ( x, E1 ) ( ψ+ [ψ + ( x, E1 )] ∂E1
) = 2M [ψ + ( x ′, E1 )]2 dx ′ 2 ∫ h
x
+∞
′ ( x, E ) / ψ + ( x, E ) 是参数 E 的单调增函数 f + ( x, E ) ≡ ψ +
设ψ ( x, E1 ) 共有 n 个节点 这些节点把整个坐标轴 ( −∞,+∞) 分为 n + 1 个子区间 据上面的分析 少于 n + 1 个 每个子区间中至少有 ψ ( x, E 2 ) 的一个节点 能量越高节点数越多得证 因此 根
ψ ( x, E 2 ) 的节点数不
还可以证明
基态无节点
上式说明
即
ψ ( x) = c ′ϕ ( x)
c ′ 为常数
A7
在 ϕ ( x) 的两个零点之间
ϕ ( x) 和ψ ( x) 只差一个常系数
所以在 ϕ ( x) = 0 的地方
因为 ϕ ( x) 是导数连续的函数 空间为零 根据 A6
ϕ ′( x) 不能为零 否则它在全
在 ϕ ( x) 的零点
ψ ( x) 也等于零
ϕ ( x) 线性相关 描写同一物理状态 即无简并
[注]得到上述结论的条件只是 A3 式 束缚态态函数在 x → ±∞ 处都要为零 对 x → −∞ 的行为没有限制 条件 A3 可以换成 因此不限于束缚态
ψ ( x → −∞) → 0
结论不变 2 证明类似
ϕ ( x → −∞) → 0
一维束缚本征态态函数可取为实函数 设ψ ( x) 是具有能量 E 的束缚本征态 显然
2M ( E 2 − E1 ) ∫ψ ( x ′, E1 )ψ ( x ′, E 2 )dx ′ h2 a
b
A18
则上式右边与ψ ( x, E 2 ) 同号
左边与ψ ( x, E 2 ) 反 即在 a 和 b 之间
故ψ ( x, E 2 ) 在区间 a ≤ x ≤ b 内必须变号
ψ ( x, E 2 ) 至少有一个节点
ϕ ′( x0 + 0) = c +ψ ′( x0 + 0) ϕ ′( x0 − 0) = c −ψ ′( x0 − 0)
最后由导数连续条件知 以 c+ = c− A10 左边和 A11 式的左边右相等
(A10) (A11) 右边也与右边相等 所
即在所有非零区域
ψ ( x) 和 ϕ ( x) 的比例常数都是一样的 因此 ψ ( x) 和
若存在能量为 E 的束缚态 这个解还不一定是物理解
x = x 处态函数的导数不一定连续 我们将证明 只对一些分立的能量值态函数及其导数
的连续性才能得到保证 对 A5 式积分 在 x < x 区域得
2M ′ ( x, E1 )ψ − ( x, E 2 ) − ψ − ( x, E1 )ψ − ′ ( x, E 2 ) = 2 ( E 2 − E1 ) ∫ψ − ( x ′, E1 )ψ − ( x ′, E 2 )dx ′ ψ− h −∞
ψ ( x0 , E ) = 0 节点两边 态函数反号
直观容易接受 明
节点数越多
态函数变化越激烈
因而动能大
能量高
可以严格证
设有两个束缚定态ψ ( x, E1 ) 和ψ ( x, E 2 )
E 2 > E1
又设ψ ( x, E1 ) 有两个相邻的节点
x=a 和 x=b
不失一般性
假定在区间 a< x<b
即
2M ( E 2 − E1 )ψϕ h2
A5
d (ψ ′ϕ − ϕ ′ψ ) = 2M ( E 2 − E1 )ψϕ dx h2
若 E1 = E 2 上式为零
ψ ′ϕ − ϕ ′ψ = c
其中 c 为常数 因为有 A3 式 常数 cLeabharlann Baidu= 0
(A6) 因此在所有 ϕ ( x) ≠ 0 的地方
d ψ =0 dx ϕ
ψ ∗ ( x) 也是对应同样能量的束缚本征态
由结论 1 可知
ψ ∗ ( x) = cψ ( x)
两边取复共轭 得ψ ( x ) = c
∗
A12
ψ ∗ ( x) 因此
A13 代入 A12 式得到
ψ ∗ ( x) =| c | 2 ψ ∗ ( x)
所以
| c | 2 = 1 可令 c = exp(i 2α )
并且 A3
ψ ( x → +∞) → 0
根据定态薛定谔方程 A1
ϕ ( x → +∞) → 0
ψ ′′( x) + F ( x, E1 )ψ ( x) = 0 ϕ ′′( x) + F ( x, E 2 )ϕ ( x) = 0
用 ϕ ( x) 乘 A1 减ψ ( x ) 乘 A4 得
A1 A4
ψ ′′ϕ − ϕ ′′ψ = ( F ( x, E 2 ) − F ( x, E1 ))ψϕ =
其中 α 为实数
[e iαψ ( x)]∗ = e iαψ ( x)
可见存在实函数 ϕ ( x) = e
iα
A14
ψ ( x)
它与ψ ( x) 描写同样的物理状态
3
一维束缚态能级分立 束缚态满足ψ ( x → ±∞) → 0 对给定的 E 边界条件 ψ ( x → +∞) → 0 确定一个薛定谔方程 A1 的解 记之为
A15 其中 E1 和 E 2 是两个任意参数 令 E 2 → E1 上式成为
x
[ψ − ( x, E1 )]2
上式说明
∂ ′ ( x, E1 ) / ψ − ( x, E1 ) ( ψ− ∂E1
) = − 2M [ψ − ( x ′, E1 )]2 dx ′ 2 ∫ h
−∞
x
A16
′ ( x, E ) / ψ − ( x, E ) 是参数 E 的单调减函数 它在ψ − ( x, E ) = 0 处 f − ( x, E ) ≡ ψ −
附录 A 一维定态薛定谔方程的一般性质 以下设势场 V ( x) 是有下界
分段连续的实函数 一维定态薛定鄂方程可写为 A1
ψ ′′( x) + F ( x, E )ψ ( x) = 0
其中 F 定义为
F ( x, E ) =
1 一维束缚态无简并
2M (E − V ( x ) ) h2
A2
设ψ ( x) 和 ϕ ( x) 是分别具有能量 E1 和 E 2 的本征态
且ψ ( x0 ) = 0 由 A7 式知 在大于 x0
设 x0 是 ϕ ( x) 的一个零点
即 ϕ ( x0 ) = 0
和小于 x0 的非零区分别有
ϕ ( x0 + 0) = c +ψ ( x0 + 0) ϕ ( x0 − 0) = c −ψ ( x0 − 0)
其中 c ± 为常数 由上两式得
(A8) (A9)
ψ + ( x, E ) 这个解只有同时满足边界条件ψ + ( x → −∞, E ) → 0 时 才是真正的束缚态解
类似 记由边界条件ψ ( x → −∞) → 0 确定的解为ψ − ( x, E ) 由于 ψ + ( x, E ) 和 ψ − ( x, E ) 都只确定到一个任意常数因子 使两函数在某一点 x 相等 在 x < x 端为 ψ − ( x, E ) 即ψ + ( x , E ) =ψ − ( x , E ) 在 x > x 端为 ψ + ( x, E ) 总可以通过选取常数因子 则态函数 因为在
假如 E1 = E 确实是一个束缚定态的能量 为ψ + ( x, E ) 在 x < x 区域必须为ψ − ( x, E ) 则相应的束缚定态态函数在 x > x 区域必须 它们在 x = x 处函数值及导数相等 A17 所以
f + ( x, E) = f − (x, E)
对于参数 E 的无穷小改变 例如 E 有一个很小的增量 上式左边增加而右边减少 于是 A17 不再成立 这说明不存在能量无穷接近于 E 的另一个束缚定态 即能级是分 立的 4 束缚定态的节点数 在节点 x0
ψ ( x, E1 ) 恒 正
易见
ψ ′(a, E1 ) > 0 和ψ ′(b, E1 ) < 0 对 A5 式积分 并注意到ψ (a, E1 ) = ψ (b, E1 ) = 0 得 ψ ′(b, E1 )ψ (b, E 2 ) − ψ ′(a, E1 )ψ (a, E 2 ) =
若ψ ( x, E 2 ) 在区间 a ≤ x ≤ b 内不变号 号 A18 式不能成立