matlab 计算方法 实验指导 误差分析

实验一 误差分析

实验1（病态问题）

实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。

数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。

问题提出：考虑一个高次的代数多项式

)1.1()

()20()2)(1()(20

1∏=-=---=k k x x x x x p

显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动

)2.1(0

)(19=+x x p ε

其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。

实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个MATLAB 函数：“roots ”和“poly ”。

roots(a)u =

其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程

01121=+++++-n n n n a x a x a x a

的全部根；而函数 p o l y (v

b = 的输出b 是一个n+1维向量，它是以n 维向量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。

)

)20:1((;

)2();21,1(;000000001.0ve poly roots ess ve zeros ve ess +===

上述简单的MATLAB 程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess ”即是（1.2）中的ε。

实验要求：

（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。

如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（1.1）和（1.2）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？ （2）将方程（1.2）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象出现？

（3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将

方程（1.2）写成展开的形式， )3.1(0

),(1920=+-= x x x p αα

同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系？为什么？你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感？

思考题一：（上述实验的改进）

在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考MATLAB 的帮助。

思考题二：（二进制产生的误差）

用MATLAB 计算1001.01000

1-∑=i 。结果居然有误差！因为从十进制数角度分析，

这一计算应该是准确的。实验反映了计算机内部的二进制本质。 思考题三：（一个简单公式中产生巨大舍入误差的例子） 可以用下列式子计算自然对数的底数

n n n

e e )11(l i m 1+==∞→ 这个极限表明随着n 的增加，计算e 值的精度是不确定的。现编程计算

n n

n f )1

1()(+=与exp(1)值的差。n 大到什么程度的时候误差最大？你能解释其中

的原因吗？

实验二 非线性方程求根

实验2（迭代法、初始值与收敛性）

实验目的：初步认识非线性问题的迭代法与线性问题迭代法的差别，探讨迭代法及初始值与迭代收敛性的关系。

问题提出：迭代法是求解非线性方程的基本思想方法，与线性方程的情况一样，其构造方法可以有多种多样，但关键是怎样才能使迭代收敛且有较快的收敛速度。

实验内容：考虑一个简单的代数方程

012=--x x

针对上述方程，可以构造多种迭代法，如

)1.7(1

2

1-=+n n x x

)2.7(1

11n

n x x +

=+

)3.7(1

1+=+n n x x

在实轴上取初始值x 0，请分别用迭代（7.1）-（7.3）作实验，记录各算法的迭代过程。

实验要求：

（1）取定某个初始值，分别计算（7.1）-（7.3）迭代结果，它们的收敛性如何？重复选取不同的初始值，反复实验。请自选设计一种比较形象的记录方式（如利用MATLAB 的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值选取的关系。

（2）对三个迭代法中的某个，取不同的初始值进行迭代，结果如何？试分析迭代法对不同的初值是否有差异？

（3）线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初始值选取的。比较线性与非线性问题迭代的差异，有何结论和问题。

思考题一：用Newton 法求方程

013=--x x

在区间[-3,3]上误差不大于510-的根，分别取初值1,0,5.10-=x 进行计算，比较它们的迭代次数。

实验三 解线性方程组的迭代法

实验3.1（病态的线性方程组的求解）

问题提出：理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？

实验内容：考虑方程组Hx=b 的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，

n j i j i h h H j i n n j i ,,2,1,,

1

1

,

)(,, =-+=

=⨯

这是一个著名的病态问题。通过首先给定解（例如取为各个分量均为1）再计算出右端b 的办法给出确定的问题。

实验要求：

（1）选择问题的维数为6，分别用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？

（2）逐步增大问题的维数，仍然用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？

思考题一：讨论病态问题求解的算法 Jacobi 迭代法与Gauss-seidel 迭代法的比较：

用Jacobi 迭代法与Gauss-seidel 迭代法解下列方程组：

（1）⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--17752

32101110131

x x x （2）⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5.25.002

15.05.05.015.05.05.013

1

x x x 取6)0(10,)0,0,0(-==εT x ，你能得出什么结论？

思考题二：SOR （超松驰）迭代法松驰因子对收敛性及速度的影响 试用SOR （超松驰）迭代法求解下列方程组：

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--243024241014303

431x x x 取6)0(10,)1,1,1(-==εT x ，选择松驰因子=ω0.8,0.9,1,1.1,1.2等，试看对算法收敛性的影响，并找出所选用的松驰因子的最佳者。要求编制矩阵迭代求解的函数

文件。

实验3.2方程组性态讨论

（1） 求b Ax =的解向量，其中：