一元二次函数一般式的图像和性质
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一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质 例题精解
一、一元二次函数的图象的画法（一般式）
【例1】求作函数642
12++=
x x y 的图象 【解】 )128(2
1642122++=++=x x x x y 2-4)(2
14]-4)[(21 2222+=+=x x 以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：
【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
【解】
【点评】画二次函数图象步骤：
(1)配方； (2)列表；
(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
二、一元二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的性质
【例3】求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并写出y 随x 的增减
情况
【解】 7)3(79626222-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知：顶点坐标为)73
(--，，对称轴为3-=x ； x ... -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 ... y (2)
5
0 23- -2 23- 0 25 (x)
y
01> ∴当3-=x 时， 7min -=y
函数在区间]3(--∞，上是减函数，在区间)3[∞+-，上是增函数。
【例4】求函数1352++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值及y 随x 的增减情况。
【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、增减情况等性质时，方法有两个：
(1) 配方法；如例3
(2) 公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。 任何一个函数都可配方成如下形式：)0(44)2(2
2≠-++=a a
b a
c a b x a y 三、二次函数性质的应用
【例5】求函数522
--=x x y 在给定区间]5,1[-上的最值。
【解】
知识总结
1．函数)0(2
≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：a
b a
c a b x a y 44)2(2
2-++=， 性质如下：
（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a
b a
c a b --，对称轴是直线a b x 2-=。 （2）最大（小）值
① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a
b a
c y 442min -=，无最大值。 ② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，a b ac y 442
max
-=，无最小值。 （3）当0>a ，函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-a