杆系结构的有限元法

推导依据：

面力 按照集中载荷施加在面所在的节点上
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析

网格离散 单元分析 整体分析
Y
④
4 ③ 300mm ① 1 400mm
25kN 3 ② 2 20kN X
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析

网格离散 单元分析：在局部坐标系下建立单元平衡方程 整体分析：在整体坐标系下组装整体平衡方程
4.3.3 应变
2 3 dv d v d v 弯曲公式： M EI 2 Q EI 3 dx dx dx 2 2 d v d v 应变和应力公式： y 2 E Ey 2 dx dx
4.3 梁的有限元分析
4.3.4 应力
4.3.5 单元刚度矩阵
单元平衡方程：
e F k e

uj j x
l
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.2 位移模式

单元位移模式的推导 i
ui
l
uj
j
x

位移模式

形函数
1 NNN [i ] [ ( l x ) ( x ) ] j j x i x l
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.3 应变
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应变分量
拉压直杆只有轴向应变：


工程中常见类型 拉压直杆，桁架（平面和空间），梁（简支悬臂梁等），刚架 （平面和空间）
4.1 概述
4.1.2 杆系单元


定义 杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接的点称为节点。 杆系单元为一维单元。 结构离散 一般原则： 杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺 寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件即构成单元。
4.3 梁的有限元分析
4.3.6 等效节点载荷

若存在集中力或者集中力矩，将作用点取为节点 若存在分布载荷，按照虚功等效的原则进行计算
e T F N x dx q

适用情况：截面高度小于长度的1/5的杆系结构。 原因：单元的位移模式，决定了没有考虑剪切挠度。
4.3 梁的有限元分析
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.1 拉压直杆 （单元描述）
几何形状：等截面A,长度为l 载荷q：沿轴线分布 节点：2个 局部坐标系：沿轴线定义的一维坐标系 ox 因此， ui 节点坐标 i 在x轴的坐标： xi , xj 节点位移（自由度） 沿x轴的位移： ui , uj 单元节点位移列阵
4.3.7 应用实例
12kN/m
1
2
3
1m
1m
4.4 刚架的有限元分析
4.4.1 平面刚架
相互独立的两种变形形式 轴向拉压 面内弯曲 因此： 刚架单元＝杆单元＋梁单元

局部坐标系:
oxyz
4.4 刚架的有限元分析
4.4.1 平面刚架 两个坐标系： • 局部坐标系 • 整体坐标系
4.4 刚架的有限元分析
第四章 杆系结构的有限元法
章节目录 4.1 概述 4.2 拉压直杆的有限元分析 4.3 梁的有限元分析 4.4 刚架的有限元分析
4.1 概述
4.1.1 杆系结构

定义 由有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构
分类 平面杆系：各杆轴线和外力作用线在一个平面内 空间杆系：各杆轴线和外力作用线不在一个平面内
因此，组装过程中需要两个坐标系之间的转换：
Y

整体坐标系:OXY 局部坐标系: Oxy
j y i O
x
X
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
整体坐标系OXY ：节点位移为Ui ,Vi (i , j) 局部坐标系 Oxy： 节点位移为ui ,uj Y 则有：

Vj
uj j
x Uj
y Vi i O
从整体坐标到局部坐标的 坐标变换矩阵[T ]
ui Ui
X
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析 推导：
注意：局部 坐标系下的 应力和应变
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
因此，单元刚度矩阵在局部坐标系和整体坐标系下的变换式：
因此， 单元位移列阵：
T e v v i i j j 单元载荷列阵： e T F Q M Q M i i j j
4.3 梁的有限元分析
4.3.2 位移模式
代入单元两个节点的坐标和 位移条件，即可求解四个待定 常数a1-a4：
4.3 梁的有限元分析
F
节点1
单元① 节点2 节点2
单元②
节点3
4.1 概述
4.1.2 杆系单元

分类

桁架单元：桁架中的杆件 刚架单元：刚架中的杆件

区别：
桁架节点：铰节点
传递力！
刚架节点：刚节点
传递力和力矩！
4.1 概述
4.1.3 杆系单元的有限元分析
与平面问题和空间问题比较， 基本流程完全相同； 具体计算细节需要按照杆系单元的特性来进行。
4.4.2 平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）

节点位移 轴向位移 横向位移 绕z轴的转角 节点载荷 轴向力 剪力 弯矩

几何方程的推导
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.4 应力

应力分量
拉压直杆只有轴向应力：

物理方程的推导
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.5 单元刚度矩阵
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.5 单元节点等效载荷 （轴向载荷）

集中力 根据离散的要求，集中力直接施加在所处节点上

体力 轴向分布载荷q(x)

材料力学基础知识
2 3 dv d v d v 弯曲公式： M EI 2 Q EI 3 dx dx dx 2 2 d v d v 应变和应力公式： y 2 E Ey 2 dx dx
4.3 梁的有限元分析
4.3.1 纯弯梁单元 (单元描述)

节点坐标值：xi=0, xj=l 节点位移值：挠度vi和转角θi 节点力：弯距 Mi 和剪力 Qi
4.2 拉压直杆的有限元分析
4.2.6 平面桁架的有限元分析
在整体坐标系下的单元刚度矩阵为：
4.3 梁的有限元分析
4.3.1 纯弯梁单元 (单元描述)

几何形状：长度l，横截面为A。 材料属性：弹性模量E，横截面的惯性矩为I。 节点：i , j 共2个 局部坐标系：oxy
4.3 梁的有限元分析