极坐标与参数方程ppt课件

解析 ∵C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1， ∴两圆心之间的距离为 d＝ 32＋42＝5.
∵A∈曲线 C1，B∈曲线 C2， ∴ABmin＝5－2＝3.
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题型二 参数方程的应用
例3
（1）在曲线
C
：
x2 4

y2 9
1上找一点 M，使其到直线
l ： 2x y 6 0 的距离最小，并求最小距离。
（2）动点 P(x,y)在曲线上变化 ，求 3x+2y 的最大值和最小值
变式：（2014 全国卷Ⅰ）23.（2）过曲线 C 上任一点 P 作与l 夹 角为 30o 的直线，交l 于点 A ，求| PA | 的最大值与最小值.
反思： （1）思维策略：涉及圆、椭圆的最值问题，常利用圆或 椭圆的参数方程，转化为三角函数的有界性问题． （2）思想方法：参数思想、化归转化思想
4 了解参数方程，了解参数的意义.
5 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
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知识点回顾：
1．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴
正半轴作为极轴，且在两坐标系中取
相同的长度单位. 设 M 是平面内的任
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意一点，它的直角坐标、极坐标分别
ρ
为(x，y)和(ρ，θ)，则
x＝ρcos θ y＝ρsin θ
θ θ
(θ 为参数)．
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题型一 极坐标、参数方程、直角坐标互化
例 1 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为
C (2， π )，半径 R= 5 ，求圆 C 的极坐标方程. 3
P
思路 1：化为直角坐标研究.
C x
O
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题型一 极坐标、参数方程、直角坐标互化
法一：将圆心 C(2，π) 化成直角坐标为（1，3）. 3
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．
y
M(x,y)
注意：直线参数方程中
参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的
距离 |t|=|M0M|
M0(x0,y0)
O
M0M te
x
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· 知识点y 回顾： B
· A
M（x，y）
·· M0（x0，y0）

例 1 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为 C (2，
π )，半径 R= 5 ，求圆 C 的极坐标方程. P
3
C
O
x
思路 2：运用直接法，寻求点 P 的极径与 极角的关系，即是圆的极坐标方程.
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题5 型一 极坐标、参数方程、直角坐标互化
法二：解 设 P( ρ，θ )是圆 C 上的任意一点，则
ρ2＝x2＋y2 ， tan θ＝y(x≠0)
x
.
4
知识点回顾：
2.圆的参数方程
圆心在点 M(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为
x＝x0＋rcos θ， y＝y0＋rsin θ
(θ 为参数，0≤θ≤2π)．
3. 椭圆的参数方程
xa22＋by22＝1
的参数方程为yx＝＝bascions
x y

x0 y0

t cos t sin

(t是 参 数 ）

O
x
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参
数值分别为t1,t2.
（1）|AB|＝t1 t 2
（2）若M是AB的中点，M对应的参数
t1 t2
（值3为）若M0是AB的中点，则t1+t2=0
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题型二 参数方程的应用
例 4 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
x＝－2＋53t，
y＝2＋45t
(t
为参数)，它与曲线
C：(y－2)2－x2＝1
交于
A，B
设点
P
PC= R= 5 .
ρ5
在△POC 中，由余弦定理，
C
θ2
O
x
列 式 得 ρ2+22－2×2×ρcos ( θ－ ) = 5. 3
化 简 化简，得 ρ2－4ρcos ( θ－ )－1 = 0， 3
检 验 此即为所求的圆 C 的方程.
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回顾反思
（1）基本思路：( 求曲线的极坐标方程 ) ①转化为直角坐标． ②直接法；
(x x0, y y0 ) t(cos ,sin )
O
x x0 t cos , y y0 t sin
M(x,y) M0(x0,y0)
(cos ,sin )
x
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知识点回顾：
4．直线的参数方程
过定点 M(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
（2）思想方法：化归转化思想． 直接法求曲线的极坐标方程的一般步骤： ① （建系）建立适当的极坐标系；
② （设点）在曲线上任取一点 P( ， ) ；
③ （列式）根据曲线上的点所满足的条件写出等式；
④ （化简）用极坐标 ， 表示上述等式，并化简；
⑤ （检验）证明所得的方程是曲线的极坐标方程．
半径 R= 5 , 故圆 C 的直角坐标方程为
(x－1)2＋(y－ 3 )2 = 5.
y
再将 C 化成极坐标方程，
C
O
x
得( ρcosθ－1)2 + ( ρsinθ－ 3 )2=5.
化简，得 ρ2－4ρcos(θ－ π )－1=0， 3
此即为所求的圆 C 的方程.
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题型一 极坐标、参数方程、直角坐标互化
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知识点回顾：
4．直线的参数方程
解: 已 知 直 线 过 点 M 0( x 0 , y 0 ) ， 倾 斜 角 ，
在直线上任取一点M(x,y),则
y M 0M (x x0, y y0)
设 e是 直 线 l的 单 位 方 向 向 量 ， 则
e (cos ,sin )
因 为 M 0 M / / e , 所 以 存 在 实 数 t R , 使 M 0 M t e , 即
参数方程与极坐标
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知识脉络
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考纲要求
1 了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下 平面图形的变化情况.
2 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的 位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.
3 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或 圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.
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题型一 极坐标、参数方程、直角坐标互化
例 2 (2011·陕西)在直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 的
正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A，B 分别在曲线 C1：
x＝3＋cos θ， y＝4＋sin θ
(θ 为参数)和曲线 C2：ρ＝1 上，则 AB 的最
3 小值为________．