高中数学第2轮总复习 专题8第26讲 函数与方程思想课件 文 新人教版

方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学 语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分 析问题和解决问题．如含参数方程的讨论、方 程与曲线的相互转化等都要利用到方程思想． 函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想 的体现，也是两种思想综合运用的体现．是研 究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学 思想．
右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程．
解析： 方法1：由ec a
2，得a2 b2
2
a2
1， 2
从而a2 2b2，cb.
设椭圆的方程为x2 2y2 2b2，
A
(
x
，
1
y1
)，
B
(
x 2，
y2
)在
椭
圆
上
，
则
x
2 1
2
y
2 1
2 b 2，
x
2 2
2
y
2 2
2 b 2，
两
式
相
减
得
，
(
x
2 1
x
2 2
)
2(
y
2 1
y
2 2
)
0， 即
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y1 x1
y2 x2
x1 x2 . 2 y1 y2
设
线
段
A B的
中
点
为
(
x
，
0
y 0 )，
则
k AB
x0 2 y0
.
又
( x0，
y0 )在
直
线
y
1 2
x上
，
所
以
y0
1 2
x 0，
于是
x0 2 y0
1，
故 k AB
1，
所 以 直 线 l的 方 程 为 y x 1.
一、函数思想及应用
例11已知关于x的方程x2 2cosx a2 0有唯一解，
则a的值为__________．
2不等式4x log3x x2 5的解集为( )
A ．R
B．x| x 0
C．x | x 1
D．x | x 2
解 析 ：1 令 f x x 2 2cosx a 2， x R . 因 为 f x f x ， 所 以 f x 为 偶 数 ． 从 而 f x 的 图 象 关 于 y轴 对 称 ， 而 题 设 方 程 f x 0有 唯 一 解 ， 从 而 此 解 必 为 x 0. 所以f 0 0 2 a2 0 a 2. 2 令 f x 4 x log 3 x x 2， x (0， )， 易 判 断 f x 在 (0， )单 调 递 增 ， 又 f 1 5， 所 以 原 不 等 式 可 化 为 f x f 1， 所 以 x 1， 故 选 C.
故 直 线 l的 方 程 为 y x 1，
即 y x 1， 以 下 同 方 法 1.
【点评】由题设情境中点在直线y x上，联想 “点差法”，从而应用点差法及点在直线y x 上而求得直线l的方程，进一步应用对称的几 何性质求得“对称点”，利用“对称点”在椭圆 上求得椭圆方程，同时应注意，涉及弦的中 点与弦的斜率问题常常可应用“点差法”求解．
得 1 2 k 2 x 2 4 k 2 x 2 k 2 2 b 2 0 ，
则
x1
x2
4k2 ， 1 2k2
故 y1 y2 k x1 1 k x2 1
k
x1
x2
2k
2k 1 2k2
.
又 直 线 y 1 x过 线 段 A B的 中 点 ( x1 x2 ，y1 y 2 )，
设 右 焦 点 b , 0 关 于 直 线 l的 对 称 点 为 ( x ， y )，
则
y 1 xb
y x
2
2
b
， 1
解
得
x
y
1 1
. b
由 点 1,1 b 在 椭 圆 上 ， 得 1 2 1 b 2 2 b 2，
则 b2 9 ， 故 a2 9.
16
8
所 以 所 求 椭 圆 C的 方 程 为 8x2 16 y2 1， 99
2
2
2
则 k 1 2 k 2 ， 解 得 k 0或 k 1. 1 2k2 2 1 2k2
若 k 0， 则 直 线 l的 方 程 为 y 0，
焦 点 F c, 0 关 于 直 线 l的 对 称 点 就 是 F 点 本 身 ，
不 可 能 在 椭 圆 C上 ， 所 以 k 0舍 去 ， 从 而 k 1，
二、函数与方程思想的综合应用
例3已 知函 数f x ln e x a (a为常 数)是 实数
集R上的奇函数，函数g x f x sinx是
区 间1,1上 的 减函 数．
1 求a的值；
2 若g x t 2 t 1在x 1,1上恒 成立 ，
求 t的 取 值 范 围 ．
专专题题八一 数函学数思与想导与数方法
第26讲 函数与方程思想
函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、 转化问题和解决问题．函数思想是对函数内容在 更高层次上的抽象、概括与提炼，如与方程、数 列、不等式、平面解析几何等内容相关的非函数 问题，都往往可利用函数思想，转化为函数问题， 通过对函数的研究，使问题得以解决．
直 线 l的 方 程 为 y x 1.
方 法 2： 由 e c a
2 ， 得 a2 b2 1，
2
a2
2
从 而 a 2 2 b 2， c b .
设 椭 圆 的 方 程 为 x 2 2 y 2 2 b 2，
直 线 l的 方 程 为 y k x 1 ．
将 直 线 l的 方 程 代 入 椭 圆 C 的 方 程 ，
解 析 ：1 f x ln e x a 是 奇 函 数 ， 则 ln e x a ln e x a 恒 成 立 ， 所 以 ex aex a 1，
所 以1 aex aex a2 1，
亦 即 a e x e x a 0 ( x R ) 恒 成 立 ， 故 a 0 .
【点评】1通过构建函数，然后利用函数的
性质，解决有关方程或不等式问题，这就 是函数思想．
2题通过构造一个函数，借助函数的单调
性解不等式，巧妙简捷．
二、方程思想及应用
例2过点1,0的直线l与中心在原点，焦点在x轴上
且离心率为 2的椭圆C相交于A、B两点，直线 2
y 1 x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与 2
2 因 为 g x 在 1,1上 单 调 递 减 ，
又 g x co sx，
则 cosx对 x 1,1恒 成 立 ，
所 以 1， g x g 1 sin1， m ax
又g x t 2 t 1在x 1,1上恒成立，
所以只需 sin1 t 2 t 1，