定积分的背景-

y = f ( x)
的如 面何 积求 曲 边 梯 形
y
A1 O a b x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1.
y = f ( x)
的如 面何 积求 曲 边 梯 形
y
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2
y = f ( x)
25( m) 此时误差不超过： s1 s1
若将 5 秒平分成10份，则得到过剩估计值为 s 2 ：
s2 [v(0) v(0.5) v(1) v(4) v(4.5)] 0.5 48.125(m)
s 2 v( 0.5) v(1) v(1.5) v( 2) v(5) 0.5 35.625( m)
如图(3)所示。 y
(3)
o
1
x
为减小误差，我们将区间[0，1] 10等分，则 所求面积的过剩估计值为
S 2 (0.12 0.2 2 12 ) 0.1 0.385
不足估计值为
s2 (0 2 0.12 0.2 2 0.9 2 ) 0.1 0.285
逼近所求面积 结束
s1 v(0) v(1) v(2) v(3) v(4) 1 55(m)
v( 2)， v( 3) ， v( 4 ) ， v(5) 近似代替汽车在0~1、 用 v(1)， 1~2、2~3、3~4、4~5s内的平均速度，则滑行距离的 ： 不足估计值为 s1
v(1) v(2) v(3) v(4) v(5) 1 30(m) s1
—— 以直代曲,无限逼近
y
不足估计
y
O
1 n
2 n
k n
n n
x
过剩估计
O
1 n
2 n
k n
n n
x
问题1 图中阴影部分由抛物线 y x 2，直线 x 1 及 x 轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的 面积 S 。 y
y x2
分析
o
1
x
将区间[0，1]平均分成 5 份，如图所示。 y
y
(4)
二者的差值为 S 2 s2 0.1 ，此时，无 论用 S 2 还是 s 2 来表示 S ，误差都不超过 0.1 。 区间分的越细，误差越小。当所 分隔的区间长度趋于 0 ，过剩估计值 和不足估计值都趋于曲边梯形面积。
1
o
x
问题2
问题2 司机猛踩刹车，汽车滑行 5s 后停下，此过
程中汽车的速度 v 是时间 t 的函数：
则有
s1 (02 0.22 0.42 0.62 0.82 ) 0.2 0.24
y
(2)
o
s1
1
x
我们可以用 S1 或 s1 近似表示 S ，但是都存在 误差，二者之差为 S1 s1 0.2，但是无论是用 S1 还
是 s1 来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2，
： 不足估计值为 s2
此时，误差都不超过
48.125 35.625 12.5( m) s2 s2
滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的小 时间段长度趋于0，则过剩估计值和不足估计值都趋 于汽车滑行路程。
概括
小结
＊ 曲边梯形的定义： 我们把由直线 x = a，x = b (a ≠ b)， y = 0和曲 线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。 ＊ 求曲边梯形面积的步骤： 分割区间 过剩估计值 不足估计值
(1)
1 o x 图 (1) 中，所有小矩形面积之和 S1 显然大于所
S1
求曲边梯形的面积，我们称 S1 为 S 的过剩估计值， 则有
S1 (0.22 0.42 0.62 0.82 12 ) 0.2 0.44
图 (2) 中，所有小矩形面积之和 s1 显然小于所 求曲边梯形的面积，我们称 s1 为 S 的不足估计值，
v(t ) t 10t 25 (0 t 5)
2
请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s 。
分析
分析：
v( 2)， v( 3) v(1) ， 将滑行的 5s 平分成 5 份。用 v(0)， v(4) 近似代替汽车在0~1、1~2、2~3、3~4、4~5s内 的平均速度，则滑行距离的过剩估计值为 s1 ：
定积分的背景-----面积问题
问题引入：
圆的面积公式s=πr*r如何推导？
小资料：
刘徽 魏晋时期的数学家刘徽的“割圆术” 开创了圆周率研究的新纪元，用他的话说， 就 是：“割之弥细，所失弥少。割之又割， 以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但 有一边是曲线 y f ( x) 的一段，我们把由直 线 x a , x b (a b) , y 0 和曲线 y f ( x) 所围 成的图形称为曲边梯形． 如何计算这个曲边 梯形的面积？
的如 面何 积求 曲 边 梯 形
y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f ( x)
的如 面何 积求 曲 边 梯 形
yA1 O aAi源自An b x将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An