方差分析

式（8） 式（9）
第二节 单因素试验方差分析
（三）计算自由度和方差
偏差平方和的大小，与参与求和的项数有关，为了比较 SA与Se的大小，应消除求和项数的影响，比较它们的平均值。 从数学上的理论推导知道，SA与Se的平均值，不是把SA与Se 分别除以相应的参与求和的项数，而应除以它们的自由度， 下面分别为ST 、SA与Se的自由度fT、fA和fe。
i 1 j 1 i 1 m r m
式（2）
令
S A r ( xi . x.. )2
i 1
m
式（3）
它是各条件（水平）下的平均数与总平均数的偏 差平方和，反映了因素A的水平变化引起的波动，称为 组间偏差平方和或因素平方和。
第二节 单因素试验方差分析
ST ( xij xi. )2 r ( xi. x.. )2
VA m 1 F Se Ve nm SA
应接近于1。如果F值比1大得多，即VA明显地大于Ve，就有 理由认为原假设H0不成立。表明SA中不仅包括随机误差， 而且包含因素A的水平变动引起的数据波动（因素误差）， 即因素A对试验结果有显著影响。这种通过比较方差大小来 判断原假设H0是否成立的方法，就是方差分析名称的由来。
i 1 j 1
m
r
2 ij
1 CT ( x.. ) 2 n
则 ST=QT-CT
式（7）
第Байду номын сангаас节 单因素试验方差分析
1 m 2 1 2 S A xi . x.. r i 1 n
1 m 2 令 QA xi . r i 1
1 CT ( x.. ) 2 n
则 SA=QA-CT 则 Se=ST-SA
第一节 概述
这样，判断除杂方法对除杂效果是否有显
著性影响的问题，就转化为检验五个具有相同 方差的正态总体均值是否相同的问题了，即检 验假设 H0：a1=a2=a3=a4=a5
在这种情况下，需采用方差分析方法。
第一节 概述
二、方差分析的基本思想
方差分析的实质就是检验多个正态分布总体均值是否 相等。那么如何检验呢？从表1可见，20个数据是参差不齐 的，数据波动的可能原因来自两个方面：一是由于因素的 水平不同，即除杂方法不同造成的；二是来自偶然误差， 从表中数据可见，每一种除杂方法下的4个数据虽然是相同 条件下的试验结果，但仍然存在差异，这是由于试验中存 在的偶然因素（例如环境、原材料成分、测试技术等的微 小而随机的变化）引起的。 我们把由因素的水平变化引起的试验数据波动称为条 件误差；把由随机因素引起的试验数据波动称为随机误差 或试验误差。
第二节 单因素试验方差分析
于是可求出SA 、Se的平均值： VA=SA/fA Ve=Se/fe 式（12） 式（13）
VA和Ve分别为组间方差和组内方差。
第二节 单因素试验方差分析
（四）显著性检验 若H0为真，即a1=a2=…=am，则全体样本可看作是来自同一 正态总体N（a，σ2）。因此，ST/n-1，SA/m-1，Se/n-m都是 总体方差σ2的无偏差估计值，所以比值
xi.
105.6 110.9 107.9 114.2 85.0 523.6

4
i 1
2 x ij
2820.24 3092.61 2958.13 3276.50 1807.24 13954.72
第二节 单因素试验方差分析
1、计算偏差平方和及自由度 x..=523.6 CT= x..2/n=523.62/20=13707.85
除杂方法（A） A1 A2 A3 A4 A5 25.6 24.4 25.0 28.8 20.6 除杂量（xij） 22.2 28.0 30.0 29.0 27.7 23.0 28.0 31.5 21.2 22.0 29.8 27.5 32.2 25.9 21.2 平均（xi） 26.4 27.7 27.0 28.6 21.3
第二章 方差分析
方差分析是试验研究中分析试验数据的重 要方法，应用十分广泛。
本章介绍方差分析的基本思想及单因素和 双因素方差分析方法，对于多因素方差分析， 相当复杂、麻烦，但利用正交试验设计方法， 可使多因素方差分析问题大为简化。
第一节 概述
一、方差分析的必要性
例1 以淀粉为原料生产葡萄糖的过程中，残留有许多 糖蜜，可作为生产酱色的原料。在生产酱色之前应尽可能 彻底除杂，以保证酱色质量。为此对除杂方法进行选择。 在试验中选用五种不同的除杂方法，每种方法作四次试验， 即重复四次，结果见表1。
第一节 概述
方差分析就是把试验数据的总的波动分解为两
部分，一部分反映由条件误差引起的波动，另一部
分反映由试验误差引起的波动。
也即把数据的总偏差平方和ST分解为反映必然
性的各个因素的偏差平方和（SA，SB，…）与反映 偶然性的偏差平方和（Se），并计算它们的平均偏
差平方和，再将两者进行比较，借助F检验法，检
由表1可见，各次试验结果是参差不齐的。我们可以认为，同一除杂方法 重复试验得到的4个试验数据的差异是由随机误差造成的，而随机误差常常是 服从正态分布的，这时除杂量应有一个理论上的均值。而对不同的除杂方法， 除杂量应该由不同的均值，这种均值之间的差异是由于除杂方法不同造成的。 于是我们可以认为五种除杂方法下所得试验数据来自均值不同的五个正态总 体，且由于试验中其它条件相对稳定，因而可以认为每个总体的方差是相同 的，即五个总体具有方差齐性。
第二节 单因素试验方差分析
三、单因素方差分析的一般步骤 （一）偏差平方和的分解 把整个试验所得的每一个试验值xij对其总平均值的 偏差进行平方并求总和，就是总的偏差平方和，用ST表 示，它反映了全部试验值间的总的波动情况。
ST ( xij x.. )2
i 1 j 1 m r
式（1）
第二节 单因素试验方差分析
四、单因素方差分析实例
以例1的试验数据为例，表1数据的计算表见表4。 表4 试验数据计算表
工艺方 法 A1 A2 A3 A4 A5 总和 试验次序 1 25.6 24.4 25.0 28.8 20.6 2 22.2 30.0 27.7 28.0 21.2 3 28.0 29.0 23.0 31.5 22.0 4 29.8 27.5 32.2 25.9 21.2
xi.
xi .
… … xm1 xm2
x..
x..
第二节 单因素试验方差分析
表中：
xi .
x. .
x
j1
m i.
r
ij
1 r 1 xi . xi j xi . r j1 r
m r
x
j1
xi j
i1 j1
1 m 1 m r 1 x. . xi . xi j x. . m i1 mr i1 j1 n
第二节 单因素试验方差分析
对于置信度α的选取，应视具体情况而定。通常取 α=0.01和α=0.05，从F-分布表上查出F0.01和F0.05。若F0＞F0.01， 判断因素A为高度显著，记为“**”；若F0.05＜F0≤F0.01，判 断因素A为显著，记为“*”；F0≤F0.05，判断因素A为不显著， 不做标记。
判断不同的除杂方法对除杂量是否有显著影响。
第一节 概述
除杂方法（A） A1 A2 A3 A4 A5 25.6 24.4 25.0 28.8 20.6 除杂量（xij） 22.2 28.0 30.0 29.0 27.7 23.0 28.0 31.5 21.2 22.0 29.8 27.5 32.2 25.9 21.2 平均（xi） 26.4 27.7 27.0 28.6 21.3
fT=mr-1=n-1，fA=m-1，fe=mr-m=n-m
显然 fT= fA+ fe 式（10）
第二节 单因素试验方差分析
fT= fA+ fe 式（10）
式（10）称为偏差平方和自由度分解公式。因为总自 由度fT=n-1是总的数据个数减1，而组间自由度fA=m-1是因 素的水平数减1，都很好计算，所以一般先求出fT和fA，再 利用 fe =fT- fA 式（11） 求出组内自由度fe。
表2 单 因 素 试 验 数 据 及 计 算 表
水平 A1 A2 … Ai … Am 总和
1 x11 x21 … xi1
重复试验序号 2 … j … x12 x22 … xi2 … … … … … … x1j x2j … xij … xmj … … … … … …
r x1r x2r … xir … xmr
第二节 单因素试验方差分析
（五）列出方差分析表 由以上讨论可知，方差分析的步骤基本上就是假设检验 的步骤，特殊的只是检验用的统计量是由两个方差之比构成 的，具体进行方差分析时，主要是计算这两个方差，由于计 算结果较繁，一般把计算结果列成方差分析表，其格式如表 3所示。 表3 方差分析表
方差来源 因素 A（组间） 误差 e（组内） 总和 偏差平方和 自由度 SA Se ST m-1 n-m n-1 方差 VA=SA/ m-1 Ve=Se/ n-m F值 F= VA/Ve Fα （查表） 显著性
2 QT xij =(2820.242+3092.612+2958.132+3276.502+ i 1 l 1 …+1807.242)= 13954.72 5 4
第二节 单因素试验方差分析
现在的问题是，F值大到多大，认为试验结果的差异主 要是由因素水平的改变引起的，小到多小，认为试验结果的 差异主要是由试验误差引起的？这就需要有一个比较标准。 事实上，当原假设H0成立时，统计量F服从自由度f1=m-1， f2=n-m的F-分布。于是对于给定的置信度α，可查表得出临 界值Fα。将由样本值算得的F0与Fα比较，若F0＞Fα，则否定 原假设H0，认为因素A对试验结果有显著影响；若F0≤Fα， 则接受原假设H0，即认为因素A对试验结果无显著影响。
第二节 单因素试验方差分析
ST ( xij x.. )2
i 1 j 1 m r
式（1）
将式（1）进行分解：
ST ( xij xi. )2 r ( xi. x.. )2
i 1 j 1 i 1
m
r
m
式（2）
第二节 单因素试验方差分析
ST ( xij xi. )2 r ( xi. x.. )2
验假设H0：a1=a2=…，从而确定因素对试验结果
的影响是否显著。
第二节 单因素试验方差分析
一、单因素方差分析问题的一般提法
设试验所考察的因素有m个水平：A1，A2，…，Ai，…，Am，在每 个水平上重复进行r次试验，水平Ai的第j次试验值为xij（i=1，2，…，m； j=1，2，…，r），可得试验数据及计算表的模式如表2所示。
i 1 j 1 i 1
m r
m
r
m
式（2）
2 S ( x x ) i. 令 e ij i 1 j 1
式（4）
它是各条件（水平）下的试验值与该条件下的平 均值之偏差的平方和，反映了随机误差引起的波动， 称为组内偏差平方和或误差平方和。
第二节 单因素试验方差分析
ST ( xij xi. )2 r ( xi. x.. )2
第二节 单因素试验方差分析
二、单因素方差分析的前提条件
单因素方差分析是建立在下述假设的基础上的：
（1）在每一水平上试验结果是一个随机变量xij（i为第i个水平，j 为第j次试验），且服从正态分布。xi1，xi2，…，xir是第i个水平的 正态总体中抽出的一个简单随机样本，样本容量为r。 （2）所有m个不同水平对应的m个正态总体的方差是相等的，具 有方差齐性。xij~N（ai，б 2）。 （3）m个总体是相互独立的，样本与样本之间也是相互独立的。 要检验的假设是： H0：a1=a2=…=am 若拒绝H0，则至少有两个水平之间的差异是显著的，因素A对试验 结果有显著影响；反之，若接受H0，则认为因素A对试验结果无显 著影响，试验结果在各水平之间的不同仅仅是由于随机因素引起的。
i 1 j 1 i 1 m r m
式（2）
于是就有 ST= SA+ Se
式（5）
第二节 单因素试验方差分析
（二）偏差平方和的简化计算 在实际运算中，为计算简便，常用下列简便算法求ST、 SA、和Se。
1 2 ST x x.. n i 1 j 1
2 ij m r
式（6）
令 QT x