1时， f (x )＝－( x ＋2)2＋4≤f (－2)＝4, ∵ 1<119
< 4，∴ f (x )|max ＝f (－2)＝4. 例5．设函数f ( x )＝3x 2+3a x (x ∈(0，＋∞))，求正数a 的范围，使对任意的x ∈(0，＋∞)，都有不等式f (x )＞20成立。 解析：f ’(x )＝6x －43a x
，令f ’(x )=0得 x ＝15()2a ， 当015()2
a 时f ’(x )＞0， ∴ x ＝1
5()2
a 是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点. 要使f (x )≥20恒成立，∴ f (x )|min ≥20,
∴ 1225553255
5(())3()2022()22
a a a f a a =⋅+=⋅≥, 解得a ≥64. 例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？
解析：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，则S =2πRh +2πR 2，
∴ h =222S R R
ππ-, ∴ V (R )＝S 底面·h =2222122S R R SR R R ππππ-⋅=-, 由V ’(R )=0得2
1S －3πR 2=0得S =6πR 2，∴ 6πR 2=2πRh +2πR 2，∴ h =2R ， 即当罐的高和底面直径相等时容积最大．
例7．已知三次函数f (x )=x (x －a )(x －b )，其中0＜a ＜b ．
（1）设f (x )在x ＝s 及x =t 处取最值，其中s ＜t ，求证：0＜s ＜a ＜t ＜b ；
（2）设A (s ，f (s ))，B (t ，f (t ))，求证：AB 中点C 在曲线y ＝f (x )上；
（3）若a ＋b ＜22，求证：过原点且与曲线y ＝f (x )相切的两直线不可能垂直。
解析：（1）f ’(x )＝3x 2－2(a ＋b )x +ab ，
由f (x )在x ＝s 和x ＝t 处取最值，∴ s ，t 分别是方程f ’(x )＝0的两实根．
∵ f ’(0)=ab >0，f ’(a )＝3a 2－2(a ＋b )a +ab =a (a －b )<0，
f ’(b )＝b 2－ab =b (b －a )>0，∴ f ’(x )＝0在(0，a )及(a ，b )内分别有一个实根，
∵ s （2）由s ，t 是方程f ’(x )＝0的两根．∴ 2()33a b s t ab st +⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
, ∴ f (s )+f (t )=342()()273
a b ab a b -
+++, ∵ 3211()()()()[()()]232732
s t a b f f a b ab a b f s f t ++==-+++=+, ∴ AB 的中点C (2s t +，f (2s t +))在曲线y =f (x )上. （3）过曲线上点(x 1，y 1)的切线方程为y －y 1=[3x 12－2(a ＋b )x 1+ab ](x －x 1),
由y 1=x 1(x 1－a )(x 1－b )且切线过原点．
∴ －x 1(x 1－a )(x 1－b )=－x 1[3x 12－2(a ＋b )x 1＋ab ],
当x 1=0时，切线的斜率为k 1=ab ，
当x 1=2
a b +时，切线斜率为－41(a +b )2+ab ， ∵ a , b >0，a +b <22，∴ k 1k 2=[－4
1(a +b )2+ab ], Ab =(ab )2－4
1(a +b )2+ab >(ab )2－2ab =(ab －1)2－1≥－1 ∴ k 1k 2≠－1，即两切线不可能垂直。
例8 、设函数f （x ）=x 3+mx 2+nx +p 在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x =2是方程f （x ）=0的一个根.
（1）求n 的值；
（2）求证：f （1）≥2.
剖析：由题知x =0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x =2吗?不一定.会在x =2的哪一侧呢?
解：（1）f '（x ）=3x 2+2mx +n .
∵f （x ）在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，
∴当x =0时，f （x ）取到极大值.
∴f '（0）=0.∴n =0.
（2）∵f （2）=0，∴p =－4（m +2），
f '（x ）=3x 2+2mx =0的两个根分别为x 1=0，x 2=－3
2m ， ∵函数f （x ）在［0，2］上是减函数，
∴x 2=－3
2m ≥2.∴m ≤－3. ∴f （1）=m +p +1=m －4（m +2）+1=－7－3m ≥2.
评述：此题学生往往错误地认为x =2是另一个极值点.再证f （1）≥2时，首先将f （1）化成关于m 的式子，知
