角平分线类辅助线作法

角平分线类辅助线作法

注：1、以上三种角平分线类辅助线的作法主要用来解决线段或者是角的数量关系问题

2、一些特征条件（例如角的倍数）需要用到主动翻折，利用轴对称的知识解决问题

例题精讲

1、已知：在四边形ABCD中，，，且，BD平分∠ABC，求证：．

2、已知：如图，在△ABC中，，，BE⊥AE．求证：．

3、已知，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．

（1）如图1，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；

（2）如图2，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

4、（2015中考怀柔二模）在△ABC内侧作射线，自B，C分别向射线AP引垂线，垂足分别为D，E，M为BC边中点，连接MD，ME.

（1）依题意补全图1；

（2）求证：；

（3）如图2，若射线平分，且，求证：.

5、如图，在△ABC中，，AD平分∠BAC，求证：．

6、如图，已知在△ABC内，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：．

7、如图，在四边形ABCD中，AC平分，于E．设，

，．求的余弦值及AC的长．

8、已知等腰，，的平分线交于，求证：．

9、（2014初二上期末房山区）在△ABC中，，，点D是线

段BC上的一个动点（不与点B重合）．DE⊥BE于E，

1

2

EBA ACB

∠=∠，DE与

AB相交于点F．

（1）当点D与点C重合时（如图1），探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；

（2）当点D与点C不重合时（如图2），试判断（1）中的猜想是否仍然成立，请说明理由．

10、已知：，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．

（1）PC和PD的数量关系是__________．

（2）请你证明（1）得出的结论．

11、如图1所示：，AE、DE分别平分和，并交于E点.过点E的直线分别交AM、DN于B、C.

（1）如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：____ _____.

（2）试证明你的猜想.

（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程.

12、如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，，，

．求AB的长．

随堂练习

1、如图，在四边形ABCD中，，，BD平分∠ABC，求证：

．

2、观察、猜想、探究：

在△ABC中，．

（1）如图①，当，AD为∠BAC的角平分线时，求证：；（2）如图②，当，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；

（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

3、如图，已知：，AD∥BC，P是AB的中点，PD平分∠ADC，求证：CP平分∠DCB．

4、已知的顶点C在的平分线OP上，CD交OA于F，CE交OB于G．（1）如图1，若，，则图中有哪些相等的线段，请直接写出你的结论：__________；

（2）如图2，若，，试判断线段CF与线段CG的数量关系并加以证明；

（3）若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件．

课后作业

1、（2014初二上期末昌平区）已知：如图，在△ABC中，AD平分，

于点D，，若，，求AB的长．

2、如图，已知：△ABC中AD垂直于∠C的平分线于D，DE∥BC交AB于E．求证：

．

3、已知：如图，△ABC中，，BD平分∠ABC，BC上有动点P．

（1）DP⊥BC时（如图1），求证：；

（2）DP平分∠BDC时（如图2），BD、CD、CP三者有何数量关系？

4、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系（不需证明）；

（2）如图③，在△ABC中，，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

在，为锐角，，AD平分交BC于点D．

（1）如图1，若是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；

（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．

①如图2，若，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明

②如图3，若，求的度数．