计算机组成原理 第2章_运算方法和运算器
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X=-1.0*2-128
2.1.3 字符与字符串的表示方式: ASCII码：P28 表2.1
2. 1.4 汉字的表示方式: 1） 输入码：用于汉字输入。数字编码、拼音码、字形编码。 2） 内码：用于汉字的存储、交换、检索等操作的机内代码，一般采用两个字节表示。 3） 字模码：是用点阵表示的汉字字形代码，它是汉字的输出形式，用于汉字的显示。
最大正数值=（215-1）10=（+32767）10 0 111 111 111 111 111
最小负数值=-（215-1）10=（-32767）10 1 111 111 111 111 111
（2）定点原码小数表示 最大正数值=（1-2-15）10=（+0.111...11）2 最小负数值=-（1-2-15）10=（-0.111...11）2
式中[X]移为机器数，X为真值。即将数值向X轴正方向平移2n 若阶码数值部分为5位，以 x表示真值，则
[X]移=25+X ， 25＞X≥-25 例如，当正数x=+10101时，[X]移=1，10101；当负数x=-10101时，[X]移=25+X=2510101=0，01011。移码中的逗号不是小数点，而是表示左边一位是符号位。显然，移码
20.59375=10100.10011 然后移动小数点，使其在第1，2位之间
10100.10011=1.010010011*24 e=4 于是得到：S=0,E=4+127=131=10000011, M=010010011 最后得到32位浮点数的二进制存储格式为： 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000=（41A4C000）16
方法对两个指数大小的比较和对阶操作都比较方便，因为阶码域值大者其指数值也大。
采用这种方式时，将浮点数的指数真值e变成阶码E时，应将指数e加上一个固定的偏移值
127（01111111），即E=e+127。
一个规格化的32位浮点数x的真值可表示为： x=(－1)s×(1.M) × 2E－127 e=E－127
[x]原的具体计算如下：
[x]补= 11111010
变反
10000101
末位加1 +
1
10000110
五、补码的性质：补码的最高位是符号位，在形式上同于原码，0表示正，1表示负。但
应注意，原码的符号位是人为地定义0正1负；而补码的符号位是通过模运算得到的，它
是数值的一部分，可直接参与运算。
[例3]以定点整数为例，用数轴形式说明原码、反码、补码表示范围和可能的数码组合 情况。
解：原码、反码、补码表示分别示于下图。与原码、反码不同，在补码表示中“0”只有 一种形式，且用补码表示负数时范围可到-2n。
11...1 10...01 10...0 00...0 00...01 01...1
-(2n-1)
-1
0
原码
+1 +(2n-1)
10...0 11...10 11...1 00...0 00...01 01...1
（2）最小正数 0 00 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00
X=1.0*2-128 （3）最小负数 1 11 111 111 111 111 111 111 111 111 111 11
X=-[1+（1-2-23）]*2127 （4）最大负数 1 00 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00
X0 X1 X2...Xn-1 Xn 符号 量值（尾数） 如果数X表示的是纯小数: 0≤|X|≤1-2-n 如果数X表示的是纯整数: 0≤|X|≤2n-1 2、浮点表示法，即小数点的位置是浮动的： N=Re.m 其中m称为浮点数的尾数，用定点小数表示。e称为浮点的指数，是一个整数，常称 为阶码。比例因子的基数R对二进计数制的机器是一个常数，一般规定R为2，8或16。因 此一个机器浮点数应当由阶码和尾数及其符号位组成：
=11111010
四、由补码求原码与真值：对于正数，原码与补码相同，其真值在略去正号后，形式上
与机器数相同；对于负数，保持符号位为1，其余各位变反末位加1，即得到原码表示，
将负数原码符号恢复为负号，即得到真值表示。
例：如[x]补=00000110，则[x]原=00000110， x=+110
如[x]补=11111010，则[x]原=10000110，所以 x=-110
解：因为n+1=5，所以n=4，
[x]原=0，0 1 1 0 [x]补=0，0 1 1 0
↑↑ ↑
x0 x1 … x4 显然，正数的原码与补码形式相同。
三、设机器字长8位并用定点整数表示,模为28,若x=-110,求[x]原,[x]补。 解：因为n+1=8，所以n=7，
[x]原=10000110 [x]补=M+x= 28 +（-110）=（100000000）2-110
-(2n-1)
-1
0
反码
+1 +(2n-1)
10...0 10...01 11...1 00...0 00...01 01...1
-2n
-(2n-1) -1 0 +1 +(2n-1)
补码
[例4]设机器字长16位，定点表示，尾数15位，数符1位，问： （1）定点原码整数表示时，最大正数是多少？最小负数是多少？ （2）定点原码小数表示时，最大正数是多少？最小负数是多少？ 解：（1）定点原码整数表示
[例1]若浮点数x的二进制存储格式为（41360000）16，求其32位浮点数的十进制值。 解：将16进制数展开后，可得二进制数格式为
0 100 0001 0011 0110 0000 0000 0000 0000 S 阶码（8位） 尾数（23位） 指数e=阶码-127=10000010-01111111=00000011=（3）10 包括隐藏位1的尾数1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011 于是有 x=(-1)s*1. M*2e =+(1.011011)*23=+1011.011=(11.375)10 [例2]将十进制数20.59375转换成32位浮点数的二进制格式来存储。 解：首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：
n）上加1。
对定点整数，反码表示的定义是
[X]反=X
2n＞X≥0
[X]反=（2n+1-1）+X
0≥X＞-2n
若要一个负数变补码，只要将符号位置1，各位取Biblioteka Baidu，末位加1。
4） 移码：用于阶码的表示，两个移码容易比较大小，便于对阶。由于阶码是个n位的整
数，所以假定定点整数移码形式为x0x1x2...xn时，移码的定义是： [X]移=2n+X ， 2n＞X≥-2n
例如，X=+0.1001, 则[X]原=0.1001
- X= 0.1001, 则[X]原=1.1001
通常，对于正数X=+0.x1x2…xn ,则有: [X]原=0.x1x2...xn 对于负数X=-0.x1x2…xn ,则有: [X]原=1.x1x2...xn
对于0，原码机器中往往有“+0”、“-0”之分，故有两种形式：
2.1.5 校验码 奇、偶校验码：奇偶校验码是一种开销最小 ，能发现数据代码中一位出错情况的编码， 常用于存储器读写检查，或ASCII字符传送过程中的检查。它所约定的编码规律是让整个 校验码（包括有效信息和校验位）“1”的个数为奇数或为偶数。有效信息部分当然既可 能是奇性也可能是偶性，但可以配上一个为0或为1的校验位，使整个校验码能满足指定 的奇偶性要求。
3） 反码：将二进制数的各位数码0变为1，1变为0。它是为计算补码方便而引入.
对定点小数，反码表示的定义为
[X]反=X [X]反=（2-2-n）+X
其中n代表数的位数。
1＞X≥0 0≥X＞-1
一般情况下，对于正数X=+0.x1x2...xn,则有
[X]反=0.x1x2...xn 对于负数X=-0.x1x2...xn,则有
[X]补=X
1＞X≥0
[X]补=2+X=2-|X| 0≥X＞-1 （mod 2)
式中[X]补为机器数，X为真值。
例如，X=+0.1011,则[X]补=0.1011
X=-0.1011，则[X]补=10+X=10.0000-0.1011=1.0101
一般情况下，对于正数X=+0.x1x2...xn,则有: [X]补=0.x1x2...xn
阶符
阶码
数符
尾数
Es
E1E2...Em
Ms
M1M2...Mn
31 30
23 22
0
IEEE标准:
S E M 32位浮点数 32位浮点数中，S是浮点数的符号位，占1位，安排在最高位，S=0表示正数，S=1
表示负数。M是尾数，放在低位部分，占有23位，用小数表示，小数点放在尾数域的最
前面。E是阶码，占有8位，阶符采用隐含方式，即采用移码方法来表示正负指数。移码
思考题：
问：1、计算机中常用的数据表示格式？ 答：定点格式, 浮点格式
2、按照IEEE754标准，32位浮点数的标准格式包含哪几部分？
31 30
23 22
0
S
E
M
数符 阶码
尾数
x=- 3、对于真值：
1.0110110×2100 如何用32位浮点数的标准格式表示？
SE
M
( 1111 0001 1011 0110 0000 0000 0000 0000 )2 =( C1B60000 )16
二、 数的机器码表示：
真值：书写用的数，机器码：机器内部使用的数
1） 原码：比较自然的表示法，最高位表示符号，0为正，1为负。
优
点：简单易懂。缺点：加减法运算复杂。
若定点小数的原码形式为x0.x1x2...xn,则原码表示的定义是
[X]原=X
1＞X≥0
[X]原=1-X=1+|X| 0≥X＞-1
式中[X]原是机器数，X是真值。
[+0]原=0.0000...0
[-0]原=1.0000...0
若定点整数的原码形式为x0x1x2...xn,则原码表示的定义是:
[X]原=X
2n＞X≥0
[X]原=2n-X=2n+|X| 0≥X＞-2n
2） 补码：加减法运算方便，减法可以转换为加法。
若定点小数的补码形式为 x0.x1x2...xn,则补码表示的定义是:
[例5]假设由S，E，M三个域组成的一个32位二进制字所表示的非零规格化浮点数x， 真值表示为：
x=（-1）s*(1.M)*2E-128 问：它所表示的规格化的最大正数、最小正数、最大负数、最小负数是多少？ 解：
（1）最大正数 0 11 111 111 111 111 111 111 111 111 111 11 X=[1（1-2-23）]*2127
对于负数X=-0.x1x2...xn,则有: [X]补=10.00...0-0.x1x2...xn（mod 2)
对于0，在补码情况下，[+0]补=[-0]补=0.0000
（mod 2)
注意，0的补码表示只有一种形式。对2求补电路见图2.6
对于定点整数，补码表示的定义是:
[X]补=X
2n＞X≥0
[X]补=2n+1+X=2n+1-|X| 0≥X＞-2n （mod 2n+1）
第二章：运算方法和运算器
2．1 数据与文字的表示方法 2．2 定点加法、减法运算 2．3 定点乘法运算 2．4 定点除法运算 2．5 定点运算器的组成 2．6 浮点运算方法和浮点运算器
2．1 数据与文字的表示方法
一、计算机中常用的数据表示格式：定点格式, 浮点格式. 1、定点格式：约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。将数据表示成定点纯小 数或定点纯整数。 假设用一个n+1位字来表示一个定点数X,在定点机中可表示为如下形 式：
中符号位x0表示的规律与原码、补码、反码相反。
一、计算：
1、x=23/128 2、x=-35/64 3、x+y=1010
[x]补= [x]补= [x+y]补=
[x]原= [x]原= [x+y]原=
4、x-y=-1101
[x-y]补=
[x-y]原=
二、设机器字长为5位,采用定点整数表示，x=+110,求[x]原, [x]补
其中尾数域所表示的值是1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最左位（最高有效位）
总是1。故这一位经常不予存储，而认为隐藏在小数点的左边。
64位的浮点数中符号位1位，阶码域11位，尾数域52位，指数偏移值是1023。因此规
格化的64位浮点数x的真值为： x=(－1)s ×(1.M) × 2E－1023
e=E－1023
[X]反=1.x1x2...xn 对于0，有[+0]反=[-0]反之分：
[+0]反=0.00...0
[-0]反=1.11...1
我们比较反码与补码的公式
[X]反=2-2-n+X 可得到 [X]补=[X]反+2-n
[X]补=2+X
若要一个负数变补码，其方法是符号位置1，其余各位0变1，1变0，然后在最末位（2-
2.1.3 字符与字符串的表示方式: ASCII码：P28 表2.1
2. 1.4 汉字的表示方式: 1） 输入码：用于汉字输入。数字编码、拼音码、字形编码。 2） 内码：用于汉字的存储、交换、检索等操作的机内代码，一般采用两个字节表示。 3） 字模码：是用点阵表示的汉字字形代码，它是汉字的输出形式，用于汉字的显示。
最大正数值=（215-1）10=（+32767）10 0 111 111 111 111 111
最小负数值=-（215-1）10=（-32767）10 1 111 111 111 111 111
（2）定点原码小数表示 最大正数值=（1-2-15）10=（+0.111...11）2 最小负数值=-（1-2-15）10=（-0.111...11）2
式中[X]移为机器数，X为真值。即将数值向X轴正方向平移2n 若阶码数值部分为5位，以 x表示真值，则
[X]移=25+X ， 25＞X≥-25 例如，当正数x=+10101时，[X]移=1，10101；当负数x=-10101时，[X]移=25+X=2510101=0，01011。移码中的逗号不是小数点，而是表示左边一位是符号位。显然，移码
20.59375=10100.10011 然后移动小数点，使其在第1，2位之间
10100.10011=1.010010011*24 e=4 于是得到：S=0,E=4+127=131=10000011, M=010010011 最后得到32位浮点数的二进制存储格式为： 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000=（41A4C000）16
方法对两个指数大小的比较和对阶操作都比较方便，因为阶码域值大者其指数值也大。
采用这种方式时，将浮点数的指数真值e变成阶码E时，应将指数e加上一个固定的偏移值
127（01111111），即E=e+127。
一个规格化的32位浮点数x的真值可表示为： x=(－1)s×(1.M) × 2E－127 e=E－127
[x]原的具体计算如下：
[x]补= 11111010
变反
10000101
末位加1 +
1
10000110
五、补码的性质：补码的最高位是符号位，在形式上同于原码，0表示正，1表示负。但
应注意，原码的符号位是人为地定义0正1负；而补码的符号位是通过模运算得到的，它
是数值的一部分，可直接参与运算。
[例3]以定点整数为例，用数轴形式说明原码、反码、补码表示范围和可能的数码组合 情况。
解：原码、反码、补码表示分别示于下图。与原码、反码不同，在补码表示中“0”只有 一种形式，且用补码表示负数时范围可到-2n。
11...1 10...01 10...0 00...0 00...01 01...1
-(2n-1)
-1
0
原码
+1 +(2n-1)
10...0 11...10 11...1 00...0 00...01 01...1
（2）最小正数 0 00 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00
X=1.0*2-128 （3）最小负数 1 11 111 111 111 111 111 111 111 111 111 11
X=-[1+（1-2-23）]*2127 （4）最大负数 1 00 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00
X0 X1 X2...Xn-1 Xn 符号 量值（尾数） 如果数X表示的是纯小数: 0≤|X|≤1-2-n 如果数X表示的是纯整数: 0≤|X|≤2n-1 2、浮点表示法，即小数点的位置是浮动的： N=Re.m 其中m称为浮点数的尾数，用定点小数表示。e称为浮点的指数，是一个整数，常称 为阶码。比例因子的基数R对二进计数制的机器是一个常数，一般规定R为2，8或16。因 此一个机器浮点数应当由阶码和尾数及其符号位组成：
=11111010
四、由补码求原码与真值：对于正数，原码与补码相同，其真值在略去正号后，形式上
与机器数相同；对于负数，保持符号位为1，其余各位变反末位加1，即得到原码表示，
将负数原码符号恢复为负号，即得到真值表示。
例：如[x]补=00000110，则[x]原=00000110， x=+110
如[x]补=11111010，则[x]原=10000110，所以 x=-110
解：因为n+1=5，所以n=4，
[x]原=0，0 1 1 0 [x]补=0，0 1 1 0
↑↑ ↑
x0 x1 … x4 显然，正数的原码与补码形式相同。
三、设机器字长8位并用定点整数表示,模为28,若x=-110,求[x]原,[x]补。 解：因为n+1=8，所以n=7，
[x]原=10000110 [x]补=M+x= 28 +（-110）=（100000000）2-110
-(2n-1)
-1
0
反码
+1 +(2n-1)
10...0 10...01 11...1 00...0 00...01 01...1
-2n
-(2n-1) -1 0 +1 +(2n-1)
补码
[例4]设机器字长16位，定点表示，尾数15位，数符1位，问： （1）定点原码整数表示时，最大正数是多少？最小负数是多少？ （2）定点原码小数表示时，最大正数是多少？最小负数是多少？ 解：（1）定点原码整数表示
[例1]若浮点数x的二进制存储格式为（41360000）16，求其32位浮点数的十进制值。 解：将16进制数展开后，可得二进制数格式为
0 100 0001 0011 0110 0000 0000 0000 0000 S 阶码（8位） 尾数（23位） 指数e=阶码-127=10000010-01111111=00000011=（3）10 包括隐藏位1的尾数1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011 于是有 x=(-1)s*1. M*2e =+(1.011011)*23=+1011.011=(11.375)10 [例2]将十进制数20.59375转换成32位浮点数的二进制格式来存储。 解：首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：
n）上加1。
对定点整数，反码表示的定义是
[X]反=X
2n＞X≥0
[X]反=（2n+1-1）+X
0≥X＞-2n
若要一个负数变补码，只要将符号位置1，各位取Biblioteka Baidu，末位加1。
4） 移码：用于阶码的表示，两个移码容易比较大小，便于对阶。由于阶码是个n位的整
数，所以假定定点整数移码形式为x0x1x2...xn时，移码的定义是： [X]移=2n+X ， 2n＞X≥-2n
例如，X=+0.1001, 则[X]原=0.1001
- X= 0.1001, 则[X]原=1.1001
通常，对于正数X=+0.x1x2…xn ,则有: [X]原=0.x1x2...xn 对于负数X=-0.x1x2…xn ,则有: [X]原=1.x1x2...xn
对于0，原码机器中往往有“+0”、“-0”之分，故有两种形式：
2.1.5 校验码 奇、偶校验码：奇偶校验码是一种开销最小 ，能发现数据代码中一位出错情况的编码， 常用于存储器读写检查，或ASCII字符传送过程中的检查。它所约定的编码规律是让整个 校验码（包括有效信息和校验位）“1”的个数为奇数或为偶数。有效信息部分当然既可 能是奇性也可能是偶性，但可以配上一个为0或为1的校验位，使整个校验码能满足指定 的奇偶性要求。
3） 反码：将二进制数的各位数码0变为1，1变为0。它是为计算补码方便而引入.
对定点小数，反码表示的定义为
[X]反=X [X]反=（2-2-n）+X
其中n代表数的位数。
1＞X≥0 0≥X＞-1
一般情况下，对于正数X=+0.x1x2...xn,则有
[X]反=0.x1x2...xn 对于负数X=-0.x1x2...xn,则有
[X]补=X
1＞X≥0
[X]补=2+X=2-|X| 0≥X＞-1 （mod 2)
式中[X]补为机器数，X为真值。
例如，X=+0.1011,则[X]补=0.1011
X=-0.1011，则[X]补=10+X=10.0000-0.1011=1.0101
一般情况下，对于正数X=+0.x1x2...xn,则有: [X]补=0.x1x2...xn
阶符
阶码
数符
尾数
Es
E1E2...Em
Ms
M1M2...Mn
31 30
23 22
0
IEEE标准:
S E M 32位浮点数 32位浮点数中，S是浮点数的符号位，占1位，安排在最高位，S=0表示正数，S=1
表示负数。M是尾数，放在低位部分，占有23位，用小数表示，小数点放在尾数域的最
前面。E是阶码，占有8位，阶符采用隐含方式，即采用移码方法来表示正负指数。移码
思考题：
问：1、计算机中常用的数据表示格式？ 答：定点格式, 浮点格式
2、按照IEEE754标准，32位浮点数的标准格式包含哪几部分？
31 30
23 22
0
S
E
M
数符 阶码
尾数
x=- 3、对于真值：
1.0110110×2100 如何用32位浮点数的标准格式表示？
SE
M
( 1111 0001 1011 0110 0000 0000 0000 0000 )2 =( C1B60000 )16
二、 数的机器码表示：
真值：书写用的数，机器码：机器内部使用的数
1） 原码：比较自然的表示法，最高位表示符号，0为正，1为负。
优
点：简单易懂。缺点：加减法运算复杂。
若定点小数的原码形式为x0.x1x2...xn,则原码表示的定义是
[X]原=X
1＞X≥0
[X]原=1-X=1+|X| 0≥X＞-1
式中[X]原是机器数，X是真值。
[+0]原=0.0000...0
[-0]原=1.0000...0
若定点整数的原码形式为x0x1x2...xn,则原码表示的定义是:
[X]原=X
2n＞X≥0
[X]原=2n-X=2n+|X| 0≥X＞-2n
2） 补码：加减法运算方便，减法可以转换为加法。
若定点小数的补码形式为 x0.x1x2...xn,则补码表示的定义是:
[例5]假设由S，E，M三个域组成的一个32位二进制字所表示的非零规格化浮点数x， 真值表示为：
x=（-1）s*(1.M)*2E-128 问：它所表示的规格化的最大正数、最小正数、最大负数、最小负数是多少？ 解：
（1）最大正数 0 11 111 111 111 111 111 111 111 111 111 11 X=[1（1-2-23）]*2127
对于负数X=-0.x1x2...xn,则有: [X]补=10.00...0-0.x1x2...xn（mod 2)
对于0，在补码情况下，[+0]补=[-0]补=0.0000
（mod 2)
注意，0的补码表示只有一种形式。对2求补电路见图2.6
对于定点整数，补码表示的定义是:
[X]补=X
2n＞X≥0
[X]补=2n+1+X=2n+1-|X| 0≥X＞-2n （mod 2n+1）
第二章：运算方法和运算器
2．1 数据与文字的表示方法 2．2 定点加法、减法运算 2．3 定点乘法运算 2．4 定点除法运算 2．5 定点运算器的组成 2．6 浮点运算方法和浮点运算器
2．1 数据与文字的表示方法
一、计算机中常用的数据表示格式：定点格式, 浮点格式. 1、定点格式：约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。将数据表示成定点纯小 数或定点纯整数。 假设用一个n+1位字来表示一个定点数X,在定点机中可表示为如下形 式：
中符号位x0表示的规律与原码、补码、反码相反。
一、计算：
1、x=23/128 2、x=-35/64 3、x+y=1010
[x]补= [x]补= [x+y]补=
[x]原= [x]原= [x+y]原=
4、x-y=-1101
[x-y]补=
[x-y]原=
二、设机器字长为5位,采用定点整数表示，x=+110,求[x]原, [x]补
其中尾数域所表示的值是1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最左位（最高有效位）
总是1。故这一位经常不予存储，而认为隐藏在小数点的左边。
64位的浮点数中符号位1位，阶码域11位，尾数域52位，指数偏移值是1023。因此规
格化的64位浮点数x的真值为： x=(－1)s ×(1.M) × 2E－1023
e=E－1023
[X]反=1.x1x2...xn 对于0，有[+0]反=[-0]反之分：
[+0]反=0.00...0
[-0]反=1.11...1
我们比较反码与补码的公式
[X]反=2-2-n+X 可得到 [X]补=[X]反+2-n
[X]补=2+X
若要一个负数变补码，其方法是符号位置1，其余各位0变1，1变0，然后在最末位（2-