第5章 数字滤波器的基本概念及一些特殊滤波器总结
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1 0.5
Imaginary Part
0
-0.5
-1 -1 -0.5 0 0.5 Real Part 1
(a) 0.95 1.5 1 0.5 0
(b) 0.95,-1 1.5 1 0.5 0
0
0.5
1 /
1.5
2
0
1 /
2
以上是低通滤波，以下是高通滤波：
1 a H1 z , a 0.95 za
H z h n z n , 式中h n 是其单位脉冲响应
n 0 N 1
5.2 理想数字滤波器
理想滤波器是一类很重要的滤波器，对信号进行滤波能够达到 理想的效果，但是只能近似实现。设计的时候可以把理想滤波 器作为逼近标准用。 本节主要讲述： 5.2.1 理想数字滤波器的特点及分类 5.2.2 理想滤波器的可实现性
j
处理以后滤波器的传输函数 H N e 与理想低通的传输 j 函数 H e 不同是： 1）通带中的幅度产生了波动，不再是常数； 2）阻带的幅度不再是零； 3）原来没有过渡带，现在产生了过渡带。
j
5.3 简单滤波器的设计
用Z平面零极点放置法设计简单滤波器。 基本原理： 极点放置在要加强的频率点附近（单位圆内），极点越靠近 单位圆，频率响应的峰值越高； 零点放置在将要减弱的频率附近，零点越靠近单位圆频率响 应的谷值越小，如放在单位圆上幅度为零。 5.3.1 一阶数字滤波器 5.3.2 一阶低通滤波器带宽的计算 5.3.3 二阶数字滤波器 5.3.4 低通到高通的简单变换
其时域表达式：y n Cx n n0 输入信号 输出信号 幅度放大了C倍 n0 时间延迟
表示输出信号相对输入信号没有发生失真。
理想低通滤波器的单位脉冲响应的特点
假设理想低通滤波器的频率响应为:
jn0 e , c j H e 0, c
(c) -0.95 1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
/
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
/
零极点的作用结合起来考虑： 假设系统函数为： z b 1 bz 1
H3 z za 1 az
1
z 1 z 1 z 2 1 H z G G 2 2 z jr z jr z r
幅度最大处幅度为1，因此
H e
j 2
2 1 r2 G 1 r 2 即G 2
上式中r的值由在 4 9 的幅度值确定，因此
H e
j 4 9
1
1 a 1 z 1 H2 z 2 1 az 1
1
Imaginary Part
-1 -0.5 0 Real Part 0.5 1
0.5
0.5 0 -0.5 -1 -1 -0.5 0 0.5 Real Part
(d) -0.95,1
Imaginary Part
0
-0.5
-1
1
, a 0.8, b 1,0,0.7
式中 0 a 1 ，以保证系统因果稳定； 幅度特性用下图讨论：
1 0.8 0.6 0.4
10 8 6 4 2
-1 -0.5 0 Real Part 0.5 1
Imaginary Part
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0
0
j p
2
j p
2
103 10 1 2
因为滤波器系数是实数，因此
H (e
j p
) H (e
2
j p
) H (e
j p
) H (e
j p
) H (e
j p
) 0.5
将其系统函数带入上式，可推出： p arccos 2 1 a 一般极点很靠近单位圆，上式可以近似表示为 p 1 a 式中， 称为 3dB 带宽。 2a
0.5 /
1
结论:设计单极点单零点低通滤波器应该让零点远离极点。
一阶低通滤波器带宽的计算
1 1 a 1 z 一阶低通滤波器的系统函数：H 2 z 2 1 az 1
设 p ，幅度降到-3dB,则
3 20 lg H e H e
j p
10 lg H e
举例：假设 n0 5, c 4
0.4
c
e jn0 e jn d
c
0.2
x(n)
0 -0.2 -50
0 n
50
由此图看出,h(n)是无限长非因果序列，因此物理不可实现
理想滤波器可以分为低通、高通、带通及带阻滤波器。 它们的幅度特性如下：
H (e )
j
H (e j )
1.数字滤波器与数字滤波 滤波： 改变输入信号的频谱结构，频率选择器; 对信号进行检测和参数估计; 数字滤波器： 对输入信号的进行数值运算的方法； 模拟滤波器： 电阻、电容、电感及有源器件等构成 2.数字滤波器的实现方法 用软件在计算机上实现 用专用的数字信号处理芯片 用硬件
3.数字滤波器的可实现性 要求系统因果稳定 设计的系统极点全部在单位圆内。 差分方程的系数或系统函数的系数为实数 系统的零极 点必须共轭成对出现，或者是实数。 4.数字滤波器的种类 经典滤波器:用线性系统构成的滤波器； 现代滤波器：建立在随机信号处理的理论基础上 滤波特性——数字高通、数字低通、数字带通、数字带阻；
0
2
0
2
低通
H (e j )
H (e j )
高通
0
带通
2
0
带阻
2
5.2.2 理想滤波器的近似实现
非因果序列 不能物理实现 0.4 0.2 近似实现办法： 0 h n 的波形向右移动，忽略 n 0 的部分成为因果序列 1） -0.2 -10 0 10 20 30 40 50 2）截取中间幅度最大的部分，以保持滤波器有线性相位 n
H e j 4
2
，得到
2
1 pe
G
j 4 2
G
1 p cos
4 jp sin 4
Байду номын сангаас
1 p
1 p
2
2 jp
2
2
上式解出p=0.32，则滤波器的系统函数为
H z
1 0.32 z
0.46
1 2
2 是通带中 例5.3.3 设计一个二阶带通滤波器， 心，在 0, 两点，频率响应为零，在 4 9 处，幅 度为 1 2 解：极点设计在通带中心 2 ， j 2 p re jr 极点 1,2 零点在 0, 处，即 z1 1和 z2 1 得系统函数：
实现方法 无限脉冲响应滤波器，简称IIR (Infinite Impulse Response)，它的单位脉冲响应为无限长，网络中有 反馈回路。其系统函数为：
H z
r b z r M r 0 N
1 ar z r
r 1
有限脉冲响应滤波器，简称FIR (Finite Impulse Response)，它的单位脉冲响应为有限长，网络中没 有反馈回路。其系统函数为：
2
1 r
2
2
4
2 2 cos 8 9 1 4 2 1 r 2r cos 8 9 2
即 1.94 1 r
2
2
1 1.88r 2 r 4 , 解得r 0.7
最后得到带通滤波器的系统函数为
1 z 2 H z 0.15 1 0.7 z 2
x(n) x(n)
0.4
理想低通滤波器的 单位脉冲响应
0.2 0 -0.2 -10 0.4 0 10 20 n 30 40 50
x(n)
理想低通的近似实现
0.2 0 -0.2 -10 0 10 20 n 30 40 50
hN ( N ) h(n ) RN ( n ) 1 H N (e ) H (e j ) * RN ( e j ) 2
第五章 数字滤波器的基本概念 及一些特殊滤波器
5.1 数字滤波器的基本概念 5.2 理想数字滤波器 5.3 简单滤波器的设计
特殊滤波器
5.4 数字谐振器 5.5 数字陷波器 5.6 全通滤波器 5.7 最小相位滤波器 5.8 梳状滤波器 5.9 正弦波发生器
5.1 数字滤波器的基本概念
5.2.1 理想数字滤波器的特点及分类
理想滤波器的特点： 在滤波器的通带内幅度为常数（非零），在阻带中幅度为零； 具有线性相位； 单位脉冲响应是非因果无限长序列。 理想滤波器的传输函数：
jn0 Ce , 1 2 j H e 0, 其它 式中，C和n0是常数。
例5.3.2 假设二阶数字滤波器的系统函数为：
H e j0 1 试确定G和p使幅度特性满足： 2 j 4 H e 1 2
H z
1 pz
G
1 2
解：在 0 处，幅度为1，得到： G 2 H e j0 1, 即 G 1 p 2 1 p 在 4 处，幅度为1
H ( z) 1 0.8 z 1 z 1 2 z 0.8 10z 8
(a) 输入波形 xa (t )
(b) 实际输出波形 ya (t ) 及理论波形sin7t（虚线）
5.3.2 二阶数字滤波器
特点： 2个极点； 零点可以有1个或2个，也可以没有； 滤波器的零点和极点是共轭成对出现的,以保证滤波器 的系数是实数 适当地放置零极点可得到各种滤波器：
二阶数字滤波器的系统函数一般表示为：
z b1 z b2 H z G z p1 z p2
p1, p2 式中：G是常数，一般取G使幅度特性的最大值为1； 为共轭极点；b1 , b2 为共轭零点。
图（a）（b）是二阶低通滤波器
图（c）（d）是二阶高通滤波器，图（e）是带通滤波器。
5.3.1 一阶数字滤波器
特点：具有一个极点，零点可以有一个也可以没有。
1 a H1 z , a 0.95 za
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Real Part 1 1.5
| H (e j 0 ) | 1
Imaginary Part
1 a 1 z 1 H2 z 2 1 az 1
c 称为通带截止频率。 式中， n0是一个正整数， 其幅度特性和相位特性图形如下：
H (j )
1
c
O c
c
c O
滤波器的单位脉冲响应为：
1 1 j jn h( n ) H (e )e d 2 2 sin n n0 c h( n ) n n0
一阶低通滤波器的带宽
a
0.6
0.7
精确带宽
近似带宽
0.40
0.30
0.49
0.35
0.22 0.16 0.10
0.8
0.85 0.9 0.95
0.20
0.05
0.15 0.10 0.05
例5.3.1 假设模拟信号 xa (t ) sin 7t sin 200t ，设 计一个低通数字滤波器将信号中的高频分量滤除。 解: 确定采样间隔T：显然要选择 T</200=0.0157，确定T=0.015。 数字频率：低频分量 7 0.015 0.105rad T 高频分量 200 0.015 3rad 选择带宽 0.2rad 利用p 1 a 计算出a=0.8 数字低通滤波器的系统函数为：
j 幅频特性为： H e C
相频特性为： n0 d 群时延为常数，则信号中的所 n 0 群时延为： g 有频率分量的时间延迟相同。 d 则信号 x n 通过滤波器输出的频率响应为：
Y (e j ) X (e j ) H (e j ) CX (e j )e jn0 , 1 2
Imaginary Part
0
-0.5
-1 -1 -0.5 0 0.5 Real Part 1
(a) 0.95 1.5 1 0.5 0
(b) 0.95,-1 1.5 1 0.5 0
0
0.5
1 /
1.5
2
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以上是低通滤波，以下是高通滤波：
1 a H1 z , a 0.95 za
H z h n z n , 式中h n 是其单位脉冲响应
n 0 N 1
5.2 理想数字滤波器
理想滤波器是一类很重要的滤波器，对信号进行滤波能够达到 理想的效果，但是只能近似实现。设计的时候可以把理想滤波 器作为逼近标准用。 本节主要讲述： 5.2.1 理想数字滤波器的特点及分类 5.2.2 理想滤波器的可实现性
j
处理以后滤波器的传输函数 H N e 与理想低通的传输 j 函数 H e 不同是： 1）通带中的幅度产生了波动，不再是常数； 2）阻带的幅度不再是零； 3）原来没有过渡带，现在产生了过渡带。
j
5.3 简单滤波器的设计
用Z平面零极点放置法设计简单滤波器。 基本原理： 极点放置在要加强的频率点附近（单位圆内），极点越靠近 单位圆，频率响应的峰值越高； 零点放置在将要减弱的频率附近，零点越靠近单位圆频率响 应的谷值越小，如放在单位圆上幅度为零。 5.3.1 一阶数字滤波器 5.3.2 一阶低通滤波器带宽的计算 5.3.3 二阶数字滤波器 5.3.4 低通到高通的简单变换
其时域表达式：y n Cx n n0 输入信号 输出信号 幅度放大了C倍 n0 时间延迟
表示输出信号相对输入信号没有发生失真。
理想低通滤波器的单位脉冲响应的特点
假设理想低通滤波器的频率响应为:
jn0 e , c j H e 0, c
(c) -0.95 1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
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1.4
1.6
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0.6
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1
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零极点的作用结合起来考虑： 假设系统函数为： z b 1 bz 1
H3 z za 1 az
1
z 1 z 1 z 2 1 H z G G 2 2 z jr z jr z r
幅度最大处幅度为1，因此
H e
j 2
2 1 r2 G 1 r 2 即G 2
上式中r的值由在 4 9 的幅度值确定，因此
H e
j 4 9
1
1 a 1 z 1 H2 z 2 1 az 1
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Imaginary Part
-1 -0.5 0 Real Part 0.5 1
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0.5 0 -0.5 -1 -1 -0.5 0 0.5 Real Part
(d) -0.95,1
Imaginary Part
0
-0.5
-1
1
, a 0.8, b 1,0,0.7
式中 0 a 1 ，以保证系统因果稳定； 幅度特性用下图讨论：
1 0.8 0.6 0.4
10 8 6 4 2
-1 -0.5 0 Real Part 0.5 1
Imaginary Part
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0
0
j p
2
j p
2
103 10 1 2
因为滤波器系数是实数，因此
H (e
j p
) H (e
2
j p
) H (e
j p
) H (e
j p
) H (e
j p
) 0.5
将其系统函数带入上式，可推出： p arccos 2 1 a 一般极点很靠近单位圆，上式可以近似表示为 p 1 a 式中， 称为 3dB 带宽。 2a
0.5 /
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结论:设计单极点单零点低通滤波器应该让零点远离极点。
一阶低通滤波器带宽的计算
1 1 a 1 z 一阶低通滤波器的系统函数：H 2 z 2 1 az 1
设 p ，幅度降到-3dB,则
3 20 lg H e H e
j p
10 lg H e
举例：假设 n0 5, c 4
0.4
c
e jn0 e jn d
c
0.2
x(n)
0 -0.2 -50
0 n
50
由此图看出,h(n)是无限长非因果序列，因此物理不可实现
理想滤波器可以分为低通、高通、带通及带阻滤波器。 它们的幅度特性如下：
H (e )
j
H (e j )
1.数字滤波器与数字滤波 滤波： 改变输入信号的频谱结构，频率选择器; 对信号进行检测和参数估计; 数字滤波器： 对输入信号的进行数值运算的方法； 模拟滤波器： 电阻、电容、电感及有源器件等构成 2.数字滤波器的实现方法 用软件在计算机上实现 用专用的数字信号处理芯片 用硬件
3.数字滤波器的可实现性 要求系统因果稳定 设计的系统极点全部在单位圆内。 差分方程的系数或系统函数的系数为实数 系统的零极 点必须共轭成对出现，或者是实数。 4.数字滤波器的种类 经典滤波器:用线性系统构成的滤波器； 现代滤波器：建立在随机信号处理的理论基础上 滤波特性——数字高通、数字低通、数字带通、数字带阻；
0
2
0
2
低通
H (e j )
H (e j )
高通
0
带通
2
0
带阻
2
5.2.2 理想滤波器的近似实现
非因果序列 不能物理实现 0.4 0.2 近似实现办法： 0 h n 的波形向右移动，忽略 n 0 的部分成为因果序列 1） -0.2 -10 0 10 20 30 40 50 2）截取中间幅度最大的部分，以保持滤波器有线性相位 n
H e j 4
2
，得到
2
1 pe
G
j 4 2
G
1 p cos
4 jp sin 4
Байду номын сангаас
1 p
1 p
2
2 jp
2
2
上式解出p=0.32，则滤波器的系统函数为
H z
1 0.32 z
0.46
1 2
2 是通带中 例5.3.3 设计一个二阶带通滤波器， 心，在 0, 两点，频率响应为零，在 4 9 处，幅 度为 1 2 解：极点设计在通带中心 2 ， j 2 p re jr 极点 1,2 零点在 0, 处，即 z1 1和 z2 1 得系统函数：
实现方法 无限脉冲响应滤波器，简称IIR (Infinite Impulse Response)，它的单位脉冲响应为无限长，网络中有 反馈回路。其系统函数为：
H z
r b z r M r 0 N
1 ar z r
r 1
有限脉冲响应滤波器，简称FIR (Finite Impulse Response)，它的单位脉冲响应为有限长，网络中没 有反馈回路。其系统函数为：
2
1 r
2
2
4
2 2 cos 8 9 1 4 2 1 r 2r cos 8 9 2
即 1.94 1 r
2
2
1 1.88r 2 r 4 , 解得r 0.7
最后得到带通滤波器的系统函数为
1 z 2 H z 0.15 1 0.7 z 2
x(n) x(n)
0.4
理想低通滤波器的 单位脉冲响应
0.2 0 -0.2 -10 0.4 0 10 20 n 30 40 50
x(n)
理想低通的近似实现
0.2 0 -0.2 -10 0 10 20 n 30 40 50
hN ( N ) h(n ) RN ( n ) 1 H N (e ) H (e j ) * RN ( e j ) 2
第五章 数字滤波器的基本概念 及一些特殊滤波器
5.1 数字滤波器的基本概念 5.2 理想数字滤波器 5.3 简单滤波器的设计
特殊滤波器
5.4 数字谐振器 5.5 数字陷波器 5.6 全通滤波器 5.7 最小相位滤波器 5.8 梳状滤波器 5.9 正弦波发生器
5.1 数字滤波器的基本概念
5.2.1 理想数字滤波器的特点及分类
理想滤波器的特点： 在滤波器的通带内幅度为常数（非零），在阻带中幅度为零； 具有线性相位； 单位脉冲响应是非因果无限长序列。 理想滤波器的传输函数：
jn0 Ce , 1 2 j H e 0, 其它 式中，C和n0是常数。
例5.3.2 假设二阶数字滤波器的系统函数为：
H e j0 1 试确定G和p使幅度特性满足： 2 j 4 H e 1 2
H z
1 pz
G
1 2
解：在 0 处，幅度为1，得到： G 2 H e j0 1, 即 G 1 p 2 1 p 在 4 处，幅度为1
H ( z) 1 0.8 z 1 z 1 2 z 0.8 10z 8
(a) 输入波形 xa (t )
(b) 实际输出波形 ya (t ) 及理论波形sin7t（虚线）
5.3.2 二阶数字滤波器
特点： 2个极点； 零点可以有1个或2个，也可以没有； 滤波器的零点和极点是共轭成对出现的,以保证滤波器 的系数是实数 适当地放置零极点可得到各种滤波器：
二阶数字滤波器的系统函数一般表示为：
z b1 z b2 H z G z p1 z p2
p1, p2 式中：G是常数，一般取G使幅度特性的最大值为1； 为共轭极点；b1 , b2 为共轭零点。
图（a）（b）是二阶低通滤波器
图（c）（d）是二阶高通滤波器，图（e）是带通滤波器。
5.3.1 一阶数字滤波器
特点：具有一个极点，零点可以有一个也可以没有。
1 a H1 z , a 0.95 za
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Real Part 1 1.5
| H (e j 0 ) | 1
Imaginary Part
1 a 1 z 1 H2 z 2 1 az 1
c 称为通带截止频率。 式中， n0是一个正整数， 其幅度特性和相位特性图形如下：
H (j )
1
c
O c
c
c O
滤波器的单位脉冲响应为：
1 1 j jn h( n ) H (e )e d 2 2 sin n n0 c h( n ) n n0
一阶低通滤波器的带宽
a
0.6
0.7
精确带宽
近似带宽
0.40
0.30
0.49
0.35
0.22 0.16 0.10
0.8
0.85 0.9 0.95
0.20
0.05
0.15 0.10 0.05
例5.3.1 假设模拟信号 xa (t ) sin 7t sin 200t ，设 计一个低通数字滤波器将信号中的高频分量滤除。 解: 确定采样间隔T：显然要选择 T</200=0.0157，确定T=0.015。 数字频率：低频分量 7 0.015 0.105rad T 高频分量 200 0.015 3rad 选择带宽 0.2rad 利用p 1 a 计算出a=0.8 数字低通滤波器的系统函数为：
j 幅频特性为： H e C
相频特性为： n0 d 群时延为常数，则信号中的所 n 0 群时延为： g 有频率分量的时间延迟相同。 d 则信号 x n 通过滤波器输出的频率响应为：
Y (e j ) X (e j ) H (e j ) CX (e j )e jn0 , 1 2