常见的运筹学灵敏度分析(整理).ppt

此时，基变量不变
4
P33 例题16 对于生产计划问题，为使最优方案不变，试 讨论第二个约束条件b2的变化范围。
解：生产计划问题的数学模型和最优单纯形表为：
max Z 4 x1 3 x2
2
x1
3
x
2
24
s.t.3 x1 2 x2 26
x1, x2 0
(材料约束) (工时约束)
cj
4
3
0
0
若C3=3,则
cj
CB
XB
3
x2
4
x1
Z
3
2 5
代入最优单纯形表中相应位置
4
320
0
b
x1
x2
y1
x3
x4
4
0
1 -1/5 3/5 -2/5
6
1
0 4/5 -2/5 3/5
36
0
0 -2/5 1/5
6/5
继续迭代以求出新的最优解。
..........
11
（2）当CB(即基变量的目标函数系数)中某个Cj发生变化时
灵敏度分析=对于市场的变化，我们的决策 究竟怎样变化（不需要将 它当成一个新问题）
B
Xb
I
-Z
0
N
B-1N
B-1b
Cj-Zj
CB-CBB-1B
..........
1
灵敏度分析
n
max z cjxj
或
j1
n
ajxj
bi (i 1,2, L ,m)
j1 xj 0(j 1,2, L ,n)
7542585253bb22
0
由
7542585253bb2200
解得：
16 b2 36
写 B-1
..........
6
若b2变化超过范围，则需用对偶单纯形法进行求解。如 b2=6，则
B1
b
3/ 2
5 /5
2 / 524 12
3/5
6
6
0
CB B1 b 3 4126 12
将上述数字替换最优单纯形表中相应位置的数据得：
maxz=cx
AX b
X0
..........
2
灵敏度分析（2）
面对市场变化，灵敏度分析的任务是须解决以下两类问题
一、当系数A、b、C中的某个发生变化时,目前的最优基是 否仍最优（即目前的最优生产方案是否要变化）?(称为模 型参数的灵敏度分析)
二、增加一个变量或增加一个约束条件时，目前的最优基 是否仍最优（即目前的最优生产方案是否要变化） (称为 模型结构的灵敏度分析)
B-1b
B-1A
Z
C BB-1b
C BB-1A-C
因此，当 B1b 0 时，最优基不变（即生产产品的品种 不变，但数量及最优值会变化）。
B1b 0 是一个不等式组，从中可以解得b的变化范围
若B-1b中有小于0的分量，则需用对偶单纯形法迭代，以 求出新的最优方案。
b变化的时候，仅对B-1b有.......影... 响
灵敏度分析的方法是在目前最优基B下进行的。即当参 数A、b、c中的某一个或几个发生变化时，考察是否影响 以下两式的成立？
B 1b 0
C B B
A C 0 1 ..........
3
1、对于参数b的灵敏度分析
从矩阵形式的单纯形表中可以看出，b的变化只影响最优 解的变化和最优值的变化。
b
X
XB
0
4 C1
3
1 5
2 5
C1
63 5..........5
C1
4 C1
3
0
0
12
0
0
12
5 5 C1
6 5
3 5
C1
0
1 5
2 5
C1
0
6
5
3 5
C1
0
2
C1
1 2
即
2 C1 4.5
若 C1 5, 则 CB B1 A C 0
0
1 5
8 5
CB B1 b 36 6 C1 42
..........
8
2.对价值系数Cj变化的分析 （1）当CN（非基变量的目标函数系数）中某个Cj发生变 化时，只影响到非基变量xj的检验数 由于 j (CB B 1Pj ) (C j C j ) j C j 所以,当 j 0 即当 Cj j 时,最优解不变（最小值）
反之,当 j 0 时,最优解改变,需要用单纯形法重新进 行迭代,以求得新的最优解.
cj
CB
XB
b
3
x2
4
4
x1
6
Z
36
4
320
0
x1
x2
y1
x3
x4
0
1 -1/5 3/5 -2/5
1
0 4/5 -2/5 3/5
0
0 3/5 1/5
6/5
..........
10
解：因为y1为非基变量，其目标函数系数c3的变化只会影
响到y1的检验数，因此为使最优解不变，只需 3 0
即
C3 2 3 / 5 13/ 5
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
4
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
36
0
0
1/5Biblioteka Baidu
6/5
..........
5
从矩阵形式的单纯形表中可知，b2的变化只影响解 的可行性B-1b≥0,因此，为使最优解不变，只需变化以后的
B-1b≥0即可。
B1
b
3/ 2
5 /5
2 3/
/ 524
5
b2
cj
CB
XB
b
3
x2
12
4
x1
-6
Z
12
4
3
0
0
x1
x2
x3
x4
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
0
0
1/5
6/5
..........
7
用对偶单纯形法迭代，求出的最优单纯形表如下：
cj
4
3
CB
XB
b
x1
x2
3
x2
3
3/2
1
0
x3
15
-5/2
0
Z
9
1/2
0
0
0
x3
x4
0
1/2
1
-3/2
0
3/2
得到新的最优解为：x1=0,x2=3; maxz=9
则会影响到所有变量的检验数σ=CBB-1A－C
解不等式组
CB B1 A C 0
就可得到 Cj的范围
例18 设基变量x1的系数C1变化为 C1 C1 ，在最优性不变 的条件下，试确定 C1 的范围
解：
CB B1 A C 3
4 C110
1 0
3
/5 2/
5
2 3
/ /
5 5
4
C1
3
0
..........
9
例题17 对于下列线性规划模型,为使最优解不变，讨论非 基变量y1的目标函数系数c3的变化范围。
max Z 4 x1 3 x2 2 y1
2 s.t.3
x1 x1
3 2
x x
2 2
y1 2 y1
24 26
x1
,
x
2
0
(材料约束) (工时约束)
用单纯形法求得其最优表为：
将上述数字替换单纯形表中相应位置的数字得：
cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
5
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
42
0
0
-1/5
8/5
..........
13
用单纯形法迭代得最优解表如下：
cj
4
3
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
0
x3
20/3
0
5/3
1
5
x1
26/3
1
2/3
0
Z
130/3 0
1/3
0
0
x4 -2/3 1/3 16/15
（3）技术系数aij变化的分析 第一种情况（当jJN）：即aij为非基变量xj的技术系数
时，它的变化只影响xj的系数列B-1Pj和检验数 j ，为使最 优方案不变，只需 j 0