张量基础知识

即为
P
* 1
P2*
* e1 * * * P3 e2 P 1 e* 3


P2*
a11 a12 P3* a21 a22 a31 a32

a13 e1 e P a23 1 2 a33 e3
P2
e1 P3 e 2 e3
P AP*
a12 a22 a32 a13 P 1 P a23 2 a33 P3 P a11 1 P a 2 12 P3 a13 a21 a22 a23
* a31 P 1 * a32 P2 * a33 P 3
i 1 j 1 n n
约定
S ai xi a j x j
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标， 表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这 样的指标为哑指标。
Aij xi y j A11 x1 y1 A12 x1 y2 A13 x1 y3 A21 x2 y1 A22 x2 y2 A23 x2 y3 A31 x3 y1 A32 x3 y2 A33 x3 y3
法，这种方法就是张量方法。
在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的，晶体的 对称性的操作对应的坐标变换，一般使用三维正交直角坐标 系的变换就够了。本章中将只限于介绍这种坐标系中所定义 的张量。
2.1标量、矢量、张量
一、标量 在物理学中，有一些量是没有方向而言的，如温度、质 量、密度等，这些物理量只需要一个数值即可描述，我们把 这种物理量称为标量。 有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类
或简写为
e' i aijej （i 1, 2 , 3 )
j 1
3
反之，有
ei ajie' j
j 1
3
( i 1, 2 , 3 )
表示成矩阵形式为
e'1 a11 a12 e'2 a21 a22 e' a a32 31 3
称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵， 它简明的表示出了新老坐标之间变换的规律。
二、矢量分量的变换 设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3, 在新坐标系中的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个 矢量p,故有
p p1e1 p 2e2 p 3e3 p * 1e * 1 p * 2e * 2 p * 3e * 3
1
同一个方程中各项自由标必须相同 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如：
2
a ji xi b j
aki xi b j aki xi bk
wrong right
3．克罗内克（Kronecker-δ ）符号 定义：
1 ij 0
当i j 当i j
由定义
' '
讨论上式的几何意义
说明
1
基矢量具有与坐标分量相同的变换规律 e i ' i' j e j
ei ij' e j'
2
矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换 规律
vi' i' j v j vi ij' v j'
再看三维情况
ei e j ij
考虑一位置矢量
ei' e j' i' j'
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率 张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定 律可表示为
J E
11 12 13 21 22 23 31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分
Pi aij Pj
*
Pi ajiP
*
j
二阶张量的变换
P P Q Q
*
*
P、Q均为矢量
若有：P* AP
若有： Pi * aik Pk
P TQ Q AQ
*
Pk Tkl Ql Ql a jl Q Pi* aikTkl a jlQ* j
* j
P* AT AQ*
或表示成分量形式
Ji ijEj （i 1, 2 , 3 )
j 1
3
矩阵形式
J 1 11 12 13 J 2 21 22 23 J 3 31 32 33
E1 E 2 E 3
x1 x1' 1'1 1' 2 x1 于是： i ' j () x 2 ' 2 x2 x2 2' 2 '1
x1 11' 同样： x2 21'
1 0 0 11 12 I 0 1 0 21 22 0 0 1 31 32
即相当于单位矩阵。
13 23 ij 33
A1 ij Ai 1 j A1 2 j A2 3 j A3 A2 A 3 Aj
' '
（正交性）
于是得到最终的矢量变换法则如下
P* PA1 P A
P
* 1
P2*
P3* P 1

P2百度文库
a11 P3 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
P* AP
* P a11 1 * P2 a21 P3* a31
11 12 13 ij (i, j 1,2,3) ～ 22 23 21 31 32 33
求和约定
哑指标和自由标
1. 求和约定和哑指标
S a1 x1 a2 x2 an xn
S ai xi a j x j
x x j e j x j' e j' x j e j ei' x j' e j' ei'
x j cos(e j ,ei' ) x j' j' i' xi'
xi' i' j x j
同理
xi ij' x j'
同二维问题，可得
ij j k ik
其中σ 为电导率，是标量。 但是对于晶体，由于各向异性，一般情况下J与E并不具
有相同的方向，此时J与E的关系变为
J 1 11E1 12 E 2 13 E 3 J 2 21 E1 22 E 2 23 E 3 J 3 31E1 32 E 2 33 E 3
T x ' 12' x1' 1 i ' j 22' x2 ' x2 '




由（）式得
1 x ' x1 1 i ' j x x2 2'
1 2
求和约定仅对字母指标有效 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aij xi x j i 1 i 1 aij xi x j
3 3
3
哑指标可以换用不同的字母指标
2.自由标
定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
a ji xi b j j
为自由标
j 1
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
系OX1X2X3，其三个方向的单
位矢为 e1, e2, e3 ,经过旋转 变换为新的坐标系 OX'IX'2X'3，在新的坐标系 里的单位矢为 e'1, e'2, e'3 ,令
新坐标系中在旧坐标系中的
方向余弦为 aij （j=1,2,3 )， 则
e'1 a11e1 a12 e2 a13 e3 e'2 a 21e1 a 22 e2 a 23 e3 e'3 a 31e1 a 32 e2 a 33e3
于是得
PP A
*
P PA
*
1
注：此处P与P*均为行向量
为了表示方便我们下面引入指标符号的概念 指标符号：
x1 , x2 xn
记作
xi (i 1,2,n)
下标符号 i 称为指标；n 为维数
指标 i 可以是下标，如 xi 也可以是上标，如 xi 定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标 xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w
点操作时发生改变，这称为赝标量。
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、
电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描 述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 为： f ( f 1, f 2, f 3) 。
a13 e1 e a23 2 a33 e3
aij cos( e'i e j )

将以上关系列成方阵形式则为
X1 X2 X3 （ 新坐标系） X1' X2' X3' a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 (老坐标轴)
令：P T Q
* * * *
令： Pi * Tij*Q* j
则：T AT A
则： Tij* aikTkl a jl
二阶张量
T aik a jlTkl
* ij
三阶张量
四阶张量
T ail a jmaknTlmn
* ijk
T
* ijkl
aima jnakoalpTmnop
j 1 j2 j 3
x2
现在我们 以二维直 角坐标系 为例来看 看一个小 问题：
' x2
' x1
x2
' x2
e2'
e2 e1'
' x1
x1
e1 x1
令：αi' j cos(ei' ,e j )
( i' , j 1,2 )
cos(e1' , e1 ) cos(e1' , e 2 ) cos sin i ' j 则： cos( e , e ) cos( e , e ) sin cos 1 2 2' 2'
比较 :
' ' i j i j
T
1
[i ' j ] 为正交矩阵
引用指标符号：
xi ij x j
xi i j' x j'
由 又
xi i j' x j' ij' j'k xk
xi ik xk
ij j k ik
第二章 张量的基本知识
张量的提出：
晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方 向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性， 特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效 应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。 于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方
量来描述，这种物理量就是二阶张量。
2.2 张量的数学定义
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量
的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换
时分量变换的规律。
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
2,
f 3 ，于是我们将 f 表
与赝标量概念相似，我们可以引入赝矢量，赝矢量与矢
量的区别在于其变换多了一个符号的改变。例如各种轴矢量 （磁场强度、磁感应强度等）就是赝矢量。
三、张量 先看一个例子：对于均匀导体，在电场强度E的作用下，其 电流密度J和电场强度E有相同方向，即均匀导体的欧姆定律
J E