张量基础知识

1
同一个方程中各项自由标必须相同 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如：
2
a ji xi b j
aki xi b j aki xi bk
wrong right
3．克罗内克（Kronecker-δ ）符号 定义：
1 ij 0
当i j 当i j
由定义
2,
f 3 ，于是我们将 f 表
与赝标量概念相似，我们可以引入赝矢量，赝矢量与矢
量的区别在于其变换多了一个符号的改变。例如各种轴矢量 （磁场强度、磁感应强度等）就是赝矢量。
三、张量 先看一个例子：对于均匀导体，在电场强度E的作用下，其 电流密度J和电场强度E有相同方向，即均匀导体的欧姆定律
J E
或表示成分量形式
Ji ijEj （i 1, 2 , 3 )
j 1
3
矩阵形式
J 1 11 12 13 J 2 21 22 23 J 3 31 32 33
E1 E 2 E 3
1 0 0 11 12 I 0 1 0 21 22 0 0 1 31 32
即相当于单位矩阵。
13 23 ij 33
A1 ij Ai 1 j A1 2 j A2 3 j A3 A2 A 3 Aj
T x ' 12' x1' 1 i ' j 22' x2 ' x2 '




由（）式得
1 x ' x1 1 i ' j x x2 2'
即为
P
* 1
P2*
* e1 * * * P3 e2 P 1 e* 3


P2*
a11 a12 P3* a21 a22 a31 a32

a13 e1 e P a23 1 2 a33 e3
P2
e1 P3 e 2 e3
Pi aij Pj
*
Pi ajiP
*
j
二阶张量的变换
P P Q Q
*
*
P、Q均为矢量
若有：P* AP
若有： Pi * aik Pk
P TQ Q AQ
*
Pk Tkl Ql Ql a jl Q Pi* aikTkl a jlQ* j
* j
P* AT AQ*
11 12 13 ij (i, j 1,2,3) ～ 22 23 21 31 32 33
求和约定
哑指标和自由标
1. 求和约定和哑指标
S a1 x1 a2 x2 an xn
S ai xi a j x j
j 1 j2 j 3
x2
现在我们 以二维直 角坐标系 为例来看 看一个小 问题：
' x2
' x1
x2
' x2
e2'
e2 e1'
' x1
x1
e1 x1

令：αi' j cos(ei' ,e j )
( i' , j 1,2 )
cos(e1' , e1 ) cos(e1' , e 2 ) cos sin i ' j 则： cos( e , e ) cos( e , e ) sin cos 1 2 2' 2'
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率 张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定 律可表示为
J E
11 12 13 21 22 23 31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分
系OX1X2X3，其三个方向的单
位矢为 e1, e2, e3 ,经过旋转 变换为新的坐标系 OX'IX'2X'3，在新的坐标系 里的单位矢为 e'1, e'2, e'3 ,令
新坐标系中在旧坐标系中的
方向余弦为 aij （j=1,2,3 )， 则
e'1 a11e1 a12 e2 a13 e3 e'2 a 21e1 a 22 e2 a 23 e3 e'3 a 31e1 a 32 e2 a 33e3
令：P T Q
* * * *
令： Pi * Tij*Q* j
则：T AT A
则： Tij* aikTkl a jl
二阶张量
T aik a jlTkl
* ij
三阶张量
四阶张量
T ail a jmaknTlmn
* ijk
T
* ijkl
aima jnakoalpTmnop
x1 x1' 1'1 1' 2 x1 于是： i ' j () x 2 ' 2 x2 x2 2' 2 '1
x1 11' 同样： x2 21'
' '
讨论上式的几何意义
说明
1
基矢量具有与坐标分量相同的变换规律 e i ' i' j e j
ei ij' e j'
2
矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换 规律
vi' i' j v j vi ij' v j'
再看三维情况
ei e j ij
考虑一位置矢量
ei' e j' i' j'
称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵， 它简明的表示出了新老坐标之间变换的规律。
二、矢量分量的变换 设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3, 在新坐标系中的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个 矢量p,故有
p p1e1 p 2e2 p 3e3 p * 1e * 1 p * 2e * 2 p * 3e * 3
其中σ 为电导率，是标量。 但是对于晶体，由于各向异性，一般情况下J与E并不具
有相同的方向，此时J与E的关系变为
J 1 11E1 12 E 2 13 E 3 J 2 21 E1 22 E 2 23 E 3 J 3 31E1 32 E 2 33 E 3
于是得
PP A
*
P PA
*
1
注：此处P与P*均为行向量
为了表示方便我们下面引入指标符号的概念 指标符号：
x1 , x2 xn
记作
xi (i 1,2,n)
下标符号 i 称为指标；n 为维数
指标 i 可以是下标，如 xi 也可以是上标，如 xi 定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标 xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w
或简写为
e' i aijej （i 1, 2 , 3 )
j 1
3
反之，有
ei ajie' j
j 1
3
( i 1, 2 , 3 )
表示成矩阵形式为
e'1 a11 a12 e'2 a21 a22 e' a a32 31 3
1 2
求和约定仅对字母指标有效 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aij xi x j i 1 i 1 aij xi x j
3 3
3
哑指标可以换用不同的字母指标
2.自由标
定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
a ji xi b j j
为自由标
j 1
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
法，这种方法就是张量方法。
在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的，晶体的 对称性的操作对应的坐标变换，一般使用三维正交直角坐标 系的变换就够了。本章中将只限于介绍这种坐标系中所定义 的张量。
2.1标量、矢量、张量
一、标量 在物理学中，有一些量是没有方向而言的，如温度、质 量、密度等，这些物理量只需要一个数值即可描述，我们把 这种物理量称为标量。 有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类
第二章 张量的基本知识
张量的提出：
晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方 向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性， 特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效 应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。 于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方
' '
（正交性）
于是得到最终的矢量变换法则如下
P* PA1 P A
P
* 1
P2*
P3* P 1

P2
a11 P3 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
P* AP
* P a11 1 * P2 a21 P3* a31
点操作时发生改变，这称为赝标量。
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、
电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描 述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 为： f ( f 1, f 2, f 3) 。
量来描述，这种物理量就是二阶张量。
2.2 张量的数学定义
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量
的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换
时分量变换的规律。
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
a13 e1 e a23 2 a33 e3
aij cos( e'i e j )

将以上关系列成方阵形式则为
X1 X2 X3 （ 新坐标系） X1' X2' X3' a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 (老坐标轴)
x x j e j x j' e j' x j e j ei' x j' e j' ei'
x j cos(e j ,ei' ) x j' j' i' xi'
xi' i' j x j
同理
xi ij' x j'
同二维问题，可得
ij j k ik
P AP*
a12 a22 a32 a13 P 1 P a23 2 a33 P3 P a11 1 P a 2 12 P3 a13 a21 a22 a23
* a31 P 1 * a32 P2 * a33 P 3
比较 :
' ' i j i j
T
1
[i ' j ] 为正交矩阵
引用指标符号：
xi ij x j
xi i j' x j'
由 又
xi i j' x j' ij' j'k xk
xi ik xk
ij j k ik
i 1 j 1 n n
约定
S ai xi a j x j
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标， 表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这 样的指标为哑指标。
Aij xi y j A11 x1 y1 A12 x1 y2 A13 x1 y3 A21 x2 y1 A22 x2 y2 A23 x2 y3 A31 x3 y1 A32 x3 y2 A33 x3 y3