2021版高考数学一轮复习练案(54)第八章解析几何第五讲椭圆(含解析)

[练案54]第五讲 椭圆

A 组基础巩固

一、单选题

1．(2019·上海浦东新区模拟)方程kx 2

＋4y 2

＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( D )

A ．k >4

B ．k ＝4

C ．k <4

D ．0

[解析] 椭圆的标准方程为x 24＋y 2

k

＝1，焦点在x 轴上，所以0

2．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 2

4＝1有相同焦点的椭圆方程为( A )

A ．x 215＋y 2

10＝1 B ．x 225＋y 220＝1 C.

x 210＋y 2

15

＝1 D ．x 2

20＋y 2

15

＝1 [解析] 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a 2－b 2＝c 2

＝5，且9a 2＋4b 2＝1，解方程组

⎩⎪⎨⎪

⎧

a 2

－b 2

＝5，9a 2＋4

b

2＝1，得a 2＝15，b 2

＝10，故所球椭圆方程为x 215＋y 2

10

＝1.

3．(2020·河南中原名校模拟)已知点P (x 1，y 1)是椭圆x 225＋y 2

16＝1上的一点，F 1，F 2是其

左、右焦点，当∠F 1PF 2最大时，△PF 1F 2的面积是( B )

A ．1633

B ．12

C ．16(2＋3)

D ．16(2－3)

[解析] ∵椭圆的方程为

x 2

25

＋

y 2

16

＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝25－16＝3，∴F 1(－3,0)，

F 2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P 与短轴端点重合时，∠F 1PF 2最大，此时△PF 1F 2的面积S

＝1

2

×(2×3)×4＝12，故选B. 4．(2020·杭州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为3

3

，

过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( A )

A ．x 23＋y 2

2

＝1

B ．x 2

3

＋y 2

＝1

C.

x2

12

＋

y2

8

＝1 D．

x2

12

＋

y2

4

＝1

[解析] 由题意及椭圆的定义知4a＝43，则a＝3，又

c

a

＝

c

3

＝

3

3

，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为

x2

3

＋

y2

2

＝1，选A.

5．(2019·惠州二模)设F1，F2为椭圆

x2

9

＋

y2

5

＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则

|PF2|

|PF1|

的值为( D )

A．

5

14

B．

5

9

C．

4

9

D．

5

13

[解析]

如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝

b2

a

＝

5

3

，|PF1|＝2a－|PF2|＝

13

3

，

|PF2|

|PF1|

＝

5

13

，故选D.

6．(2020·青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：

x2

a2

＋

y2

b2

＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－

4

9

，则椭圆C的离心率为( D ) A．

4

9

B．

2

3

C．

5

9

D．

5

3

[解析] 设P(x0，y0)，则

y0

x0＋a

×

y0

x0－a

＝－

4

9

，

化简得

x20

a2

＋

y20

4a2

9

＝1，

则

b2

a2

＝

4

9

，e＝1－

b

a

2＝1－

4

9

＝

5

3

，故选D.

7．(2019·河北省衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y

3

＝1，若

过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( A )

A ．4

5 B ．35 C ．34

D ．15

[解析] 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34，又b

2

＋c 2＝a 2⇒(34c )2＋c 2＝a 2⇒2516c 2＝a 2

，所以e ＝c a ＝45

，故选A.

8．(2019·辽宁省大连市模拟)过椭圆x 225＋y 2

16

＝1的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，

F 是椭圆的一个焦点，则△PFQ 的周长的最小值为( D )

A ．12

B ．14

C ．16

D ．18

[解析] 设椭圆另一个焦点为F ′，则|PF |＝|F ′Q |， ∴|PF |＋|FQ |＝|F ′Q |＋|FQ |＝2a ＝10， 又|PQ |＝2|OQ |≥8(当Q 为短轴端点时取等号) ∴△PFQ 周长的最小值为8.故选D.

9．(2019·广西桂林期末)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2

3＝1的中心和左焦点，点P 为椭

圆上的任意一点，则OP →·FP →

的最大值为( C )

A ．2

B ．3

C ．6

D ．8

[解析] 设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20

3＝1，即y 2

＝3－3x 2

04

.又因为点F (－1,0)，所以OP →·FP →

＝

x 0(x 0＋1)＋y 20＝1

4x 20＋x 0＋3＝14

(x 0＋2)2

＋2.又x 0∈[－2,2]，所以(OP →·FP →

)max ＝6.

10．(2019·南昌二模)已知椭圆C ：y 2

9＋x 2

＝1，过点P (12，12)的直线与椭圆相交于A ，B

两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( B )

A ．9x －y －4＝0

B ．9x ＋y －5＝0

C ．2x ＋y －2＝0

D ．x ＋y －5＝0

[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21

9＋x 2

1

＝1，y 22

9

＋x 2

2＝1，两式相减得y 1－y 2

y 1＋y 2

9