第11章 公司债券定价

因为公司股票价值与公司价值完全正相关，我们可以 利用股票价值与公司价值之间的弹性系数 来求股票 价值和债券价值的波动。 S SV

B BV 其中： S 为股票价值的弹性系数； B 债券价值的弹 性系数。 V S S ( ) S
B B ( )
V B

V 150 S N (d1 )( ) V 0.9544 ( )0.2 38 .89% S 73.62 债券价值的波动为：

V 150 B N (d1 )( )V 0.0458( )0.2 1.80% B 76.38

公司价值的波动率是股票价值和债券价值波动率的加 权平均值。 S B V S ( ) B ( ) V V

因为无风险债券的构成比例为：
N (d2 ) / N (d1 ) [1 N (d2 )]/ N (d1 )

其中公司债券的违约率为 N (d2 ) 。公司债券的违约 率越高，公司债券中无风险债券的比率越低，风险资 产股票的比率越高。当违约率等于1时，公司债券的风 险与公司股票的风险相同。
S V B 150 76.38 73.62

这里计算出的股票价值与前面的例题一致。

13.1.3 风险债券是无风险债券和股票的组合 根据看涨和看跌期权平价关系，债券定价公式写成下 列形式。 B FerT [FerT N (d2 ) VN (d1 )] 首先我们合并同类项，并且用 S B 代替 V ，可以发 现更多的经济意义。 B FerT N (d2 ) (S B) N (d1 )] 移项分离出债券价值，得到： N (d1 ) rT N (d 2 ) B Fe S N (d1 ) N (d1 ) 公式中，风险债券由两部分组成，一是无风险债券， 比例为N (d2 ) / N (d1 )，二是公司股票，比例 为 N (d1 ) / N (d1 ) 。
第11章 公司证券定价

11.1 公司债券定价 11.2 次级债券定价 11.3 股本权证定价 11.4 可转债券定价

源自文库
由于上市公司的市值存在波动性，上市公司的 债券存在一定的风险。这里假设上市公司用股 票价值偿还债券，因为股票价场价格具有波动 性，因此债券的市场价格也存在波动性。也就 是说，债券是股票的衍生工具。本章主要介绍 公司债券定价、次级债券定价、认股权证定价、 可转债券定价。
N (d 2 ) 0.9891

高级债券的发行价值为120-81.1168=38.8832。

根据资本资产定价模型，高级债券的预期收益率为：
V r1 rf (rV rf )1 ( ) B1
0.05 (0.12 0.05)( 0.0031)(


B1 1 1 N (d1 ) 0.0031 V B1 / B1 V 120 1 1 ( ) (0.0031 )( ) 0.0096 V / V B1 38.8832 债券的波动率为0.192%，高级债券的波动率很小，几 乎为无风险债券。


例题11-1 估计债券的价值 假设公司的总资产由股票和零息债券组成，当前的总 价值为150，年波动率20%。零息债券的期限为5年，面 值为100。无风险利率为5%。计算债券到期后股票价值 的波动率和债券价值的波动率。 解：根据看涨期权定价模型，债券到期后公司股票的 价值为：
S 150N (d1 ) 100e0.055 N (d2 ) 73.62


看跌期权的价值可以写成下列形式 rT rT N ( d1 ) pE e [ F Ve ]N (d 2 ) N (d 2 ) 债券到期时，如果公司价值低于债券的面值，残值为 rT N ( d1 ) Ve N (d 2 )
称为债券的预期补偿价值。债券到期时的预期损失为：
因为
100e0.055 77.88
ln(150/ 100) (0.05 0.5(0.2)2 )5 d1 1.6893 0.2 5


d2 1.6893 0.2 5 1.2421
N (d1 ) 0.9544

N (d2 ) 0.8929
N (d2 ) 1 N (d2 ) 1 0.8929 0.1071
股票价值为：

V SB
S V B

债券到期时，如果公司价值大于等于债券的面值，公 司不会违约；如果公司价值小于债券的面值，公司违 约，股票价值为零。到期时股票价值为：
ST max( VT F ,0)

假设资产价值服从正态分布，股东持有股票就像持有 公司看涨期权，期权的执行价格为到期时的公司债券 面值 F ，期限与债券的期限相同。根据欧式期权定价 公式，股票价值为：

其中：
ln(150/ 100) (0.05 0.5 0.22 ) 5 d1 1.6893 0.2 5
d2 1.6893 0.2 5 1.2421


N (d1 ) 0.9544
， N (d2 ) 0.8929
债券的价值为150-73.62=76.38： 股票价值的波动为：
B3 V B1 B2 c(V , F1 F2 F3 )



例题11-4 次级债定价 假设公司价值为120，预期收益率为12%，波动率为20%。 公司有三种发行在外的零息债券，期限为5年，无风险 利率为5%。3种债券的级别依次下降，面值分别为50、 40和30。计算三种债券的市场价值、预期收益率和波 动率。 解：(1)高级债券定价。高级债券相当于持有公司支持 的多头和看涨期权的空头，期权的执行价格为50，到 期时间为5年。看涨期权的价值为：
11.1 公司债券定价


上市公司以利润为担保发行债券，利润的主要表现形 式是股票价值。如果股票价值大于到期时的债券面值， 公司不会违约。股东持有股票就像持有公司看涨期权。 11.1.1 债券的价值 假设上市公司发行的是零息债券，债券的现值为 ， 面值为 ，期限为 ，公司股票价值（又称所有者权 B 益）为 F ，公司总资产等于股票价值加债券价值。则 T 公司价值（又称公司的总资产）为 : S
其中： 1 2 ln(V / F ) (r )T ， 2 d1 T
S VN (d1 ) FerT N (d2 )

d2 d1 T

债券的价值为：
B V S
B VN (d1 ) FerT N (d2 )


为了找出公司价值变化对股票价值和债券价值的影响， 和 分别对 S V B 求偏导数。 S S N (d1 ) V B B N (d1 ) V 假设总资产变化1元，股票价值变化为 S 元，债券变 化为 B 元，二者之和等于1，S B 1 。当公司没 有负债时，资产的变化完全由股票价值的变化来承担。







例题11-3 风险债券的组合 假设公司当前的价值为150，年波动率为20%。公司有 两种融资方式股票和债券。债券的面值为100，期限为 5年。股票不支付股息，无风险利率为5%。构建公司债 券，使公司债券的价值等于无风险债券和公司股票价 值的组合。 解：我们知道股票的价值为 S 73.62 ，公司债券的面 N (d2 ) 0.8929 。 N (d1 ) 0.9544， 值为F 100 。另外， 公司债券的价值为： 0.0456 0.055 0.8929 B 100 e 73.62 76.38 0.9544 0.9544


中级债券持有人享有公司价值减去高级债券的市场价 值，V B1 ，持有看涨期权的空头，看涨期权等于股 票价值，归股东所有。中级债券的市场价值为： B2 V B1 c(V , F1 F2 ) 次级债券持有人享有公司价值与高级债券和中级债券 V B1 B2 ，和看涨期权的空头。 市场价值差额的多头，
S 120N (d1 ) 50e0.055 N (d2 ) 81.1168

其中： ln(120/ 50) (0.05 0.5 0.22 ) 5 d1 2.7403 0.2 5
d2 1.6893 0.2 5 2.2930

N (d1 ) 0.9969
73.62 76.38 0.3889 ( ) 0.0180 ( ) 20% 150 150


从前面的例题中我们可以看到，公司价值越大，公司 的违约率越低，债券的价值上升，最大值为债券的面 值，股票的价值也上升；公司的价值越小，公司违约 的概率越高，债券的价值下降。 股票持有人是看涨期权的多头，而债券持有人是看涨 期权的空头。股票价值随公司价值波动率的增加而增 加，债券价值随公司价值波动率的增加而减少。


11.1.2 债券的预期损失 前面把债券的价值定义为公司的价值减去看涨期权的 价值，可以求出债券的当前价值，具有明显的经济意 义。根据看涨期和看跌期权平价关系，我们可以求出 债券违约损失。看涨和看跌期权平价关系为：
V cE FerT pE

其中： V 表示公司价值，等于股票价值加债券的现值； cE 表示公司看涨期权的价值，也就是公司的股票价 rT pE c VN ( d ) Fe N (； d2 ) 表示公司看跌期 S 值 ， E 1 pE FerT N (d2 ) VN (d 权的价值， 。 1)
11.2 次级债券定价



当公司破产时，公司的残值按债权人的优先级别顺序 支付，首先支付级别最高的债权人，然后支付级别较 高的债务人，最后支付级别较低的债务人。有些债务 人就根本得不到破产公司的残值。 为了给公司债券定价，我们假设公司价值和波动率是 已知的。公司将要发行三种零息债券，债券的编号分 别为1、2、3，债券的级别依次降低。债券的市场价值 F2 和F3 。 分别为 B1 、 B2 和 B3 。债券的面值分别为F1 、 债券的到期时间为 T 。股票的价值等于看涨期权的价 S c(V , F )，标的资产为公司价值 V ，执行价格为 值， 债券面值 F 。公司债券 B1 的市场价值为： B1 V c(V , F1 ) 高级债券的持有人相当于持有公司价值的多头和看涨 期权的空头，看涨期权等于所有者权益，归股东所有。
违约时预期补偿价值为：
150 e

0.05 5
0.0456 82 .00 0.1071

违约时预期损失为： 100 82.00 18.00 违约时预期损失的现值乘以违约概率:
e0.055 (18.00)(0.1071 ) 1.50


公司债券的价值为： B 77.88 1.50 76.38 股票的价值为：
其中：
120 ) 5.0670 % 38.8832
1 1V 0.0096 0.2 0.192%

(2)中级债券定价。对于中级债券，持有人拥有支付了 高级债券面值后的公司残值多头，和执行价格为90的 看涨期权空头。看涨期权的价值为：

S 120N (d1 ) 90e0.055 N (d2 ) 52.1610 其中： ln(120/ 90) (0.05 0.5 0.22 ) 5 d1 1.4259 0.2 5

F Ve

rT

看跌期权价值的经济意义是，当债券到期时，债券违 约损失的现值乘以违约概率 N (d2 ) 。 当公司价值波动率上升时，债券的违约损失和违约概 率上升，而债券的价值下降。
N (d1 ) N ( d 2 )



例题11-2 计算债券的预期损失 假设公司当前的价值为150，年波动率为20%。公司有 两种融资方式股票和债券。债券的面值为100，期限为 5年。股票不支付股息，无风险利率为5%。计算风险中 性违约概率、违约预期损失现值、公司债券的价值和 公司股票价值。 解：5年期零息债券的现值为：