随机变量的数学期望与方差

第9讲随机变量的数学期望与方差

教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。

2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。

教学重点：

1．随机变量的数学期望

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2．随机变量函数的数学期望

3．数学期望的性质

4．方差的定义

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5．方差的性质

教学难点：数学期望与方差的统计意义。

教学学时：2学时。

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教学过程：

第三章随机变量的数字特征

§3.1 数学期望

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在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。

1．离散随机变量的数学期望

我们来看一个问题：

某车间对工人的生产情况进行考察。车工小每天生产的废品数X 是一个随机变量，

如何定义X 取值的平均值呢？

若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，

21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为

27.1100

213100172100301100320=⨯+⨯+⨯+⨯ 这个数能作为X 取值的平均值吗？

可以想象，若另外统计100天，车工小不出废品，出一件、二件、三件废品的天

数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是

1.27。

对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是 ,,21x x ， 相应的概率为 ,,21P P ，

则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数

很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近

∑∞=1k k k p x

由此引入离散随机变量数学期望的定义。

定义1 设X 是离散随机变量，它的概率函数是

,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k

如果 ∑∞

=1||k k k p x 收敛，定义X 的数学期望为

∑∞

==1)(k k k p x X E

也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。

例1 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地

试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数

的数学期望。

解 设试开次数为X ，则

n k X p 1)(==，n , ,2 ,1 =k

于是 ∑=⋅

=n k n k X E 11)(2)1(1n n n +⋅=2

1+=n 2. 连续随机变量的数学期望

为了引入连续随机变量数学期望的定义，我们设X 是连续随机变量，其密度函数

为)(x f ，把区间) , (∞+-∞分成若干个长度非常小的小区间，考虑随机变量X 落在任意

小区间] , (dx x x +的概率，则有

)(dx x X x p +≤<=⎰+dx

x x dx t f )(dx x f )(≈

由于区间] , (dx x x +的长度非常小，随机变量X 在] , (dx x x +的全部取值都可近似为x ，

而取值的概率可近似为dx x f )(。参照离散随机变量数学期望的定义，我们可以引入连

续随机变量数学期望的定义。

定义2 设X 是连续随机变量，其密度函数为)(x f 。如果

⎰∞

∞-dx x f x )(||

收敛，定义连续随机变量X 的数学期望为

⎰∞

∞-=dx x f x X E )()( 也就是说,连续随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。

由连续随机变量数学期望的定义不难计算：

若),(~b a U X ，即X 服从), (b a 上的均匀分布,则

2

)(b a X E += 若X 服从参数为的泊松分布，则λ

λ=)(X E

若X 服从则 ),,(2σμN

μ=)(X E

3.随机变量函数的数学期望

设已知随机变量X 的分布，我们需要计算的不是随机变量X 的数学期望，而是X

的某个函数的数学期望，比如说)(X g 的数学期望，应该如何计算呢？这就是随机变量

函数的数学期望计算问题。

一种方法是，因为)(X g 也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的

X 的分布求出来。一旦我们知道了)(X g 的分布，就可以按照数学期望的定义把)]

([X g E 计算出来，使用这种方法必须先求出随机变量函数)(X g 的分布，一般是比较复杂的。

那么是否可以不先求)(X g 的分布，而只根据X 的分布求得)]([X g E 呢？答案是肯定的，

其基本公式如下：

设X 是一个随机变量，)(X g Y =，则

⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞∞

-∞

=连续离散X dx x f x g X p x g X g E Y E k k k ,)()(,)()]([)(1 当X 是离散时, X 的概率函数为 ,2 ,1 ,)()(====k P x X P x P K K k ；

当X 是连续时，X 的密度函数为)(x f 。

该公式的重要性在于，当我们求E [g (X )]时,不必知道g (X )的分布，而只需知道X

的分布就可以了，这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便。

4.数学期望的性质

（1）设C 是常数，则E(C )=C 。

（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。

（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。

推广到n 个随机变量有∑∑===n

i i n i i X E X E 11)(][。

（4）设X 、Y 相互独立，则有 E (XY )=E (X )E (Y )。