(三)线段的度量和比较分析

（三）线段的度量和比较

知识强化

一、知识概述

1、两点之间的所有连线中，线段最短．简单说成两点之间线段最短.

2、两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离．

线段的长度可用有刻度的直尺测量．

3、线段大小的比较方法

(1)叠合法．如比较线段AB、CD的大小，可将线段AB、CD移到同一条射线上，使它们的端点A、C都与射线的端点重合，再由点B与点D的位置关系，就可得出线段AB和CD的三种大小关系．

(2)度量法．先用刻度尺量每条线段的长度，再按照长度比较它们的大小．线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的．

表示方法：用几何语言表述两线段比较可能出现的三种结果．

若两线段为线段AB、线段CD，如上图，则分别有如下结论：ABCD

4、线段的中点

如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，那么点M叫做线段AB的中点，类似地，线段有三等分点、四等分点等．

如图所示，若点M是线段AB的中点，则

AM=BM=AB或AB=2AM=2BM．

5、求线段长度通常有三种方法：①逐步计算求线段的值；②用字母代换求线段的值；③构造方程求线段的值．

6、直线、射线、线段之间的联系与区别

二、典例讲解

例1、（1）如图，A、B是河流l两旁的两个村庄，若在河流l上建一个水厂，使它到两个村庄铺设的供水管道最短，请你在l上标出点C的位置，并说明理由．

（2）一个圆柱形的柱子，一只蚂蚁由柱子的一条高AB的最底端B点沿侧面转圈爬到顶端A点，问小蚂蚁怎么走路线最短？

答案：

（1）解：连接AB交l于C，则点C就是所求作的点．

理由是：两点之间，线段最短.

（2）解：如图，先将圆柱侧面展开，蚂蚁应沿着BA爬行，路线最短．

例2、（1）C是线段AB的中点，D是线段BC上一点，则下列说法不正确的是（）

A．CD=AC－BD B．

C．CD=AD－BC D．

（2）如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①，②AB=BC，③AC=2AB，④AB＋BC=AC．能表示B是线段AC的中点的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

（3）已知线段AB=10cm，PA＋PB=20cm，下列说法正确的是（）

A．点P不能在直线AB上

B．点P只能在直线AB上

C．点P只能在线段AB的延长线上

D．点P不能在线段AB上

解析：

（1）由线段的中点性质知A、B、C都是正确的，D不正确.

（2）因为点B在线段AC上，所以①，②AB=BC，③AC=2AB 表示B是AC的中点，只有AB+BC不能确定B是AC的中点．

（3）若P在线段AB上，则PA＋PB=AB＝10cm，点P可以在线段AB的延长线上或BA的延长线上，所以选D.

答案：（1）D（2）C（3）D

例3、如图所示，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，BD＝2cm，求AD 的长．

分析：

因为AD＝AC＋CD，而AC＝BC，CD＝DB，BC＝CD＋DB，所以AD＝BC＋DB＝2DB＋DB＝6cm．另外也可以用AD＝AB－DB来解，AB＝2BC，BC ＝2DB，所以AD＝4DB－DB＝6cm．

解：

因为D是CB的中点，所以CB＝2BD．

又因为BD＝2cm，所以CB＝4cm．

又C是AB的中点，所以AB＝2CB＝8cm．

所以AD＝AB－BD＝8－2＝6（cm）．

答：AD的长是6cm．

例4、已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段AC 的中点，求线段AM的长.

分析：

本题是一道无附图问题，由题意知道A、B、 C 三点共线，但未明确C 点是在线段AB 上，还是在AB 的延长线上，所以要分两种情况来讨论，运用这种方法时，要考虑到有可能出现的情形，不能漏掉任何一种，通过画出正确的图形得到正确的答案．本题关键是求出AM 的长.

解：

（1）当点C在线段AB上时，如图（1）

∵M是AC的中点，∴AM=AC.

又∵AC=AB－BC ，AB=8cm，BC=4cm

∴AM=（AB－BC）=(8－4）=2cm

（2）当点C 在线段AB 的延长线上时，如图（2）

∵M是AC 的中点，∴AM=AC.

又∵AC=AB＋BC ，AB=8cm，BC=4cm

∴AM=（AB＋BC）=（8＋4）=6cm.

即线段AM 的长度为2cm或6cm.

课外拓展

例1、如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点，已知图中所有线段长度之和为23，线段AC的长度与线段BC的长度都是正整数，则线段AC的长度为______.

解：

图中共有六条线段，即AC、AD、AB、CD、CB、DB，又因为D是CB的中点，所以CD=DB，CB=2CD，AB=AC＋2CD，AD=AC＋CD，由题可得：AC ＋AD＋AB＋CD＋CB＋DB=23，即AC＋AC＋CD＋AC＋2CD＋CD＋2CD＋

CD=23，也即3AC＋7CD=23，所以因为AC是正整数，所以CD=2，也即23－7CD=9时，能被3整除；所以AC=3.

故填3.

例2、（2008年全国数学竞赛海南预赛）如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，那么只需条件（）

A. AB＝12

B. BC＝4

C. AM＝5

D. CN＝2

分析：